Phương trình bậc 2 với hệ số phức

Ibaitap: Qua bài Phương trình bậc hai với hệ số thực và Phương trình số phức cùng tổng hợp lại các kiến thức về các loại phương trình số phức và hướng dẫn lời giải chi tiết bài tập áp dụng.

Số phức w = x + yi (x , y ∈ R) là căn bậc hai của số phức z = a + bi ⇔ \(w^2=z\).

Mọi số phức z ≠ 0 đều có hai căn bậc hai là hai số đối nhau w và −w.

Căn bậc hai số thực a là:

• a > 0: \(\pm \sqrt{a}\).
• a < 0: \(\pm i\sqrt{\left| a \right|}\).

II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC

Xét phương trình bậc hai tổng quát: \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\left( a;b;c\in \mathbb{R};a\ne 0 \right)\), có \(\Delta ={{b}^{2}}-4ac\):

• \(\Delta >0\): phương trình có hai nghiệm thực \({{x}_{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}\).
• \(\Delta =0\): phương trình có nghiệm thực duy nhất \({{x}_{1,2}}=\frac{-b}{2a}\).
• \(\Delta <0\): phương trình có hai nghiệm phức \({{x}_{1,2}}=\frac{-b\pm i\sqrt{\left| \Delta  \right|}}{2a}\).

Định lí Vi-ét được áp dụng:

\(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\ {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} \end{array} \right.\) 

III. CÔNG THỨC GIẢI NHANH PHƯƠNG TRÌNH SỐ PHỨC

Xét phương trình \(az+b\overline{z}=c\), trong đó a, b, c là các số phức và |a| ≠ |b|, ta có công thức giải nhanh phương trình là:

$$z=\frac{\overline{a}.c-b.\overline{c}}{{{\left| a \right|}^{2}}-{{\left| b \right|}^{2}}}$$

IV. BÀI TẬP THAM KHẢO VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC VÀ PHƯƠNG TRÌNH SỐ PHỨC

Ví dụ: Tìm nghiệm phương trình sau: \(z^4+7.z^2+10=0\)

Lời giải tham khảo:

\(z^4+7.z^2+10=0\)

Đặt \(t={{z}^{2}}\Rightarrow\) Phương trình đã cho tương đương với \({t^2} + 7t + 10 = 0\) 

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = - 5\\ t = - 2 \end{array} \right.\)

\(\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} {z^2} = - 5\\ {z^2} = - 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = \pm i\sqrt 5 \\ z = \pm i\sqrt 2 \end{array} \right.\)

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Phương trình quy về phương trình bậc hai trên tập số phức, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Phương trình quy về phương trình bậc hai trên tập số phức:
Dạng 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai. 1. Phương pháp giải: Nắm vững cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức. Nắm vững cách giải một số phương trình quy về bậc hai, hệ phương trình đại số bậc cao. Ví dụ: Giải phương trình: 4z + 6 = 0 trên tập số phức. Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm. Tổng môđun bốn nghiệm phức của phương trình. Khi đó, tổng môđun bốn nghiệm phức của phương trình đã cho bằng? Bài tập 2: Kí hiệu 1z 2z 3z 4z là bốn nghiệm phức của phương trình. Giá trị z1 z2 bằng? Phương trình có bốn nghiệm lần lượt là: 1z 2z 3z. Bài tập 3: Gọi 1z 2z 3z là các nghiệm phức của phương trình. Giá trị của biểu thức 1z 2z 3z. Bài tập 5: Cho số thực a, biết rằng phương trình có bốn nghiệm thỏa mãn. Tìm a. Bài tập 6: Cho số phức z thỏa mãn 2018 2017. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

• Lý thuyết phương trình bậc hai với hệ số thực

  Các căn bậc hai của số thực a < 0

  Xem chi tiết

• Câu hỏi 1 trang 139 SGK Giải tích 12

  Thế nào là căn bậc hai của số thực dương a ?...

  Xem lời giải

Quảng cáo

• Bài 1 trang 140 sgk giải tích 12

  Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: -7; -8; -12; -20; -121

  Xem lời giải

• Bài 2 trang 140 sgk giải tích 12

  Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

  Xem lời giải

• Bài 3 trang 140 sgk giải tích 12

  Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

  Xem lời giải

• Bài 4 trang 140 sgk giải tích 12

  Cho a, b, c thuộc R, a khác 0

  Xem lời giải

• Bài 5 trang 140 sgk giải tích 12

  Cho z = a + bi là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai

  Xem lời giải