T c là gì trong toán học

Dạng định nghĩa epsilon-delta được đề cập đầu tiên bởi Bernard Bolzano năm 1817. Định nghĩa liên tục ban đầu liên quan đến giới hạn được đưa ra bởi Augustin-Louis Cauchy. Cauchy định nghĩa liên tục của f {\displaystyle f}   như sau: Một sự tăng vô cùng nhỏ của biến độc lập x {\displaystyle x}   luôn luôn là một sự thay đổi tăng vô cùng nhỏ của f ( x ) {\displaystyle f(x)}  . Cauchy định nghĩa trên một lượng vô cùng nhỏ của biến, định nghĩa của ông ta rất gần với định nghĩa của chúng ta sử dụng ngày nay.

Định nghĩa chính thức và phân biệt giữa liên tục điểm và liên tục đều được đưa ra đầu tiên bởi Bolzano vào năm 1830 nhưng điều đó không được công bố mãi đến năm 1930. Eduard Heine công bố lần đầu tiên định nghĩa liên tục đều năm 1872, nhưng dựa trên những ý tưởng từ bài giảng của Peter Gustav Lejeune Dirichlet năm 1854.

Một hàm số thực, ở đây nghĩa là hàm số từ tập số thực đến tập số thực, có thể được biểu diễn bằng đồ thị trong mặt phẳng tọa độ; một hàm số như thế là liên tục nếu, nói đại khái, đồ thị của nó là một đường cong duy nhất không bị đứt gãy chạy trên toàn tập số thực. Một định nghĩa chính xác hơn được đưa ở dưới.[1]

Định nghĩa chặt chẽ cho tính liên tục của hàm số thực thường sử dụng khái niệm giới hạn. Hàm số f theo biến x được gọi là liên tục tại điểm c trên trục số thực, nếu giới hạn của f(x) khi x tiến tới c, bằng giá trị f(c); và hàm số được gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm. Một hàm số được gọi là gián đoạn tại một điểm khi nó không liên tục tại điểm đó. Những điểm này gọi là các điểm gián đoạn.

Có một số cách hiểu khác nhau cho tính liên tục của hàm số. Do đó, khi sử dụng khái niệm liên tục, cần phải cẩn thận coi ý nghĩa liên tục nào được dùng. Khi nói một hàm số là liên tục, người ta có thể mang một trong các ý nghĩa sau:

• Hàm số liên tục tại mọi điểm trong tập xác định của nó. Theo nghĩa này, hàm số f(x) = tan(x) liên tục trên tập xác định là tất cả số thực x ≠ (2n+1)π/2, n số nguyên bất kỳ.
• Tại giá trị biên của tập xác định, chỉ xét giới hạn một bên. Ví dụ, hàm số g(x) = √x, với tập xác định là các số thực không âm, chỉ có giới hạn bên phải tại x = 0. Trong trường hợp này chỉ cần giới hạn một bên của hàm số bằng giá trị của hàm số, tức g có thể coi là liên tục trên toàn bộ tập số thực không âm.
• Hàm số liên tục tại mọi số thực. Theo nghĩa này, hai hàm số nêu trên không liên tục, còn các hàm đa thức, hàm sin, cosin, và hàm mũ đều liên tục.

Sử dụng ký hiệu toán học, có vài cách để định nghĩa hàm liên tục theo một trong ba cách hiểu nói trên.

Đặt f: D ⟶ R là hàm số định nghĩa trên một tập con D của tập số thực R. Tập con D này là tập xác định của f. Một số khả năng cho D bao gồm:

Liên tục trên không gian mê tric với định nghĩa:

Cho ( X , d 1 ) {\displaystyle (X,d_{1})}   và ( Y , d 2 ) {\displaystyle (Y,d_{2})}   là 2 không gian mê tric.

Ánh xạ f : ( X , d 1 ) → ( Y , d 2 ) {\displaystyle f\,\,:\,(X,d_{1})\,\rightarrow \,(Y,d_{2})}   liên tục tại x ∈ X {\displaystyle x\in X}   nếu

∀ ε > 0 , ∃ σ > 0 , d 1 ( x , y ) < σ ⇒ d 2 ( f ( y ) , f ( x ) ) < ε {\displaystyle \forall \varepsilon >0,\,\exists \sigma >0,\,d_{1}(x,y)\,<\,\sigma \,\Rightarrow d_{2}(f(y),f(x))\,<\varepsilon }  

hay với mọi B ( f ( x ) , ε ) {\displaystyle B(f(x),\varepsilon )}   tâm tại f ( x ) {\displaystyle f(x)}   khi đó ∃ B ( x , σ ) {\displaystyle \exists B(x,\sigma )}   tâm tại x {\displaystyle x}   sao cho

f ( B ( x , σ ) ) ⊂ B ( f ( x ) , ε ) {\displaystyle f(B(x,\sigma ))\subset B(f(x),\varepsilon )}  .

Tính chất

• Cho ( X , d ) {\displaystyle (X,\,d)}   là không gian mêtric, A {\displaystyle A}   là tập con của X {\displaystyle X}   thì f A : X → R {\displaystyle f_{A}\,:\,X\rightarrow \mathbb {R} }   với f A ( x ) = d ( { x } , A ) {\displaystyle f_{A}(x)=d(\{x\},\,A)}   là liên tục.

Liên tục Lipchitz[4]

Cho hai không gian mêtric ( X , d X ) {\displaystyle (X,d_{X})}   và ( Y , d Y ) {\displaystyle (Y,d_{Y})}   với d X {\displaystyle d_{X}}   là mêtric trên X {\displaystyle X}   và d Y {\displaystyle d_{Y}}   là mêtric trên Y {\displaystyle Y}  .

f : X → Y {\displaystyle f\,:\,X\rightarrow Y}   là liên tục Lipchitz nếu tồn tại hằng số K ≥ 0 {\displaystyle K\geq 0}   sao cho với mọi x 1 , x 2 ∈ X {\displaystyle x_{1},\,x_{2}\in X}  

d Y ( f ( x 1 ) , f ( x 2 ) ) ≤ K d X ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle d_{Y}(f(x_{1}),\,f(x_{2}))\leq K\,d_{X}(x_{1},\,x_{2})}  

Ví dụ

Hàm f ( x ) = x 2 + 5 {\displaystyle f(x)={\sqrt {x^{2}}}+5}   liên tục Lipchitz với K = 1 {\displaystyle K=1}  .

Liên tục Holder[4]

Cho hai không gian mêtric ( X , d X ) {\displaystyle (X,d_{X})}   và ( Y , d Y ) {\displaystyle (Y,d_{Y})}   với d X {\displaystyle d_{X}}   là mêtric trên X {\displaystyle X}   và d Y {\displaystyle d_{Y}}   là mêtric trên Y {\displaystyle Y}  , với α {\displaystyle \alpha }   là số thực.

f : X → Y {\displaystyle f\,:\,X\rightarrow Y}   là liên tục Holder nếu tồn tại hằng số K ≥ 0 {\displaystyle K\geq 0}   sao cho với mọi x 1 , x 2 ∈ X {\displaystyle x_{1},\,x_{2}\in X}  

d Y ( f ( x 1 ) , f ( x 2 ) ) ≤ K ( d X ( x 1 , x 2 ) ) α {\displaystyle d_{Y}(f(x_{1}),\,f(x_{2}))\leq K(\,d_{X}(x_{1},\,x_{2}))^{\alpha }}  

Ví dụ

f ( x ) = x {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}   là liên tục Holder với α ≤ 1 2 {\displaystyle \alpha \leq {\frac {1}{2}}}  , nhưng không liên tục Lipchitz.

Liên tục Cauchy[5]

Cho X {\displaystyle X}   và Y {\displaystyle Y}   là hai không gian mêtric, f {\displaystyle f}   là hàm từ X {\displaystyle X}   vào Y {\displaystyle Y}  .

Hàm f {\displaystyle f}   là liên tục Cauchy nếu và chỉ nếu cho dãy Cauchy bất kì ( x 1 , x 2 , . . . ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},...)}   trong X {\displaystyle X}  , dãy ( f ( x 1 ) , f ( x 2 ) , . . . ) {\displaystyle (f(x_{1}),\,f(x_{2}),\,...)}   là dãy Cauchy trong Y {\displaystyle Y}  .

Mọi hàm liên tục đều thì liên tục Cauchy, liên tục Cauchy là liên tục. Nếu X {\displaystyle X}   là không gian đầy đủ, thì mọi hàm liên tục trên X {\displaystyle X}   là liên tục Cauchy.

ví dụ

Trên đường thẳng thực R {\displaystyle \mathbb {R} }   liên tục cũng chính là liên tục Cauchy.

Hàm f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0}   khi x 2 < 2 {\displaystyle x^{2}<2}   và f ( x ) = 1 {\displaystyle f(x)=1}   khi x 2 > 2 {\displaystyle x^{2}>2}   với mọi số hữu tỉ x {\displaystyle x}  . Hàm này liên tục trên Q {\displaystyle \mathbb {Q} }   nhưng không liên tục Cauchy

Nghiên cứu về không gian Tô pô, ta có nhiều khái niệm khác nhau về quan hệ giữa các không gian tô pô với nhau và giữa các không gian con của chúng. Ta muốn xem xét hàm đưa một không gian tô pô vào không gian tô pô khác, Tính liên tục của là một trong những khái niệm cốt lõi của không gian tô pô, được mô tả trực quan tính sinh động trong không gian hình học.

Định nghĩa

• Cho X {\displaystyle X}   và Y {\displaystyle Y}   là hai không gian tô pô. Ánh xạ f : X → Y {\displaystyle f\,\,:\,X\,\rightarrow \,Y}   là liên tục tại điểm x {\displaystyle x}   trong X {\displaystyle X}   nếu mọi tập mở V {\displaystyle V}   trong Y {\displaystyle Y}   chứa f ( x ) {\displaystyle f(x)}   thì có tập mở U {\displaystyle U}   của X {\displaystyle X}   chứa x {\displaystyle x}   sao cho f ( U ) {\displaystyle f(U)}   chứa trong V {\displaystyle V}  . Ta nói f {\displaystyle f}   liên tục trên X {\displaystyle X}   nếu nó liên tục tại mọi điểm trên X {\displaystyle X}  .
• Lân cận của điểm x ∈ X {\displaystyle x\in X}   là tập con của X {\displaystyle X}   chứa tập mở chứa x {\displaystyle x}  . Lân cận không cần phải mở.
• f {\displaystyle f}   liên tục tại x {\displaystyle x}   nếu mọi tập mở V {\displaystyle V}   chứa f ( x ) {\displaystyle f(x)}   thì tập f − 1 ( V ) {\displaystyle f^{-1}(V)}   là lân cận của x {\displaystyle x}  .[6]

Định lý

• Ánh xạ là liên tục nếu và chỉ nếu ảnh ngược [7] của tập mở là tập mở. Hay f : X → Y {\displaystyle f\,\,:\,X\,\rightarrow \,Y}   liên tục khi và chỉ khi với mọi V {\displaystyle V}   mở trong Y {\displaystyle Y}   thì f − 1 ( V ) {\displaystyle f^{-1}(V)}   mở trong X {\displaystyle X}  .

Một số tính chất và mệnh đề[8]

• Ánh xạ là liên tục nếu và chỉ nếu ảnh ngược của tập đóng là tập đóng.
• Cho X {\displaystyle X}   và Y {\displaystyle Y}   là hai không gian tô pô và B {\displaystyle \mathbb {B} }   là cơ sở của tô pô trên Y {\displaystyle Y}  . Khi đó f : X → Y {\displaystyle f\,\,:\,X\,\rightarrow \,Y}   liên tục nếu và chỉ nếu f − 1 ( B ) {\displaystyle f^{-1}(B)}   là mở trong X {\displaystyle X}   với mọi B ∈ B {\displaystyle B\in \mathbb {B} }  .
• Cho R {\displaystyle \mathbb {R} }   với tô pô định chuẩn. Khi đó mọi hàm đa thức p : R → R {\displaystyle p\,:\,\mathbb {R} \,\rightarrow \,\mathbb {R} }   với p ( x ) = a n x n + . . . + a 1 x + a + 0 {\displaystyle p(x)\,=a_{n}x^{n}+...+a_{1}x+a+0}   là liên tục.
• Giả sử f : X → Y {\displaystyle f\,\,:\,X\,\rightarrow \,Y}   là liên tục. Nếu dãy ( x 1 , x 2 , . . . ) {\displaystyle (x_{1},\,x_{2},\,...)}   trong X {\displaystyle X}   hội tụ về x {\displaystyle x}   khi đó dãy ( f ( x 1 ) , f ( x 2 ) , . . . ) {\displaystyle (f(x_{1}),\,f(x_{2}),\,...)}   trong Y {\displaystyle Y}   hội tụ về f ( x ) {\displaystyle f(x)}  .
• Cho f : X → Y {\displaystyle f\,\,:\,X\,\rightarrow \,Y}   và g : Y → Z {\displaystyle g\,\,:\,Y\,\rightarrow \,Z}   liên tục. Khi đó hàm hợp g ∘ f : X → Z {\displaystyle g\,\circ \,f\,\,:\,X\,\rightarrow \,Z}   là liên tục.
• Cho X , Y {\displaystyle X,Y}   là hai không gian tô pô, A {\displaystyle A}   là không gian con của X {\displaystyle X}  . Cho f : X → Y {\displaystyle f\,:\,X\rightarrow Y}   liên tục. Khi đó f | A : A → Y {\displaystyle f|_{A}\,:\,A\rightarrow Y}   liên tục.

Liên tục trong không gian tô pô liên thông[8]

• Cho f : X → Y {\displaystyle f\,\,:\,X\,\rightarrow \,Y}   liên tục, nếu X {\displaystyle X}   liên thông thì f ( X ) {\displaystyle f(X)}   liên thông.
• Cho f : X → Y {\displaystyle f\,\,:\,X\,\rightarrow \,Y}   liên tục, nếu X {\displaystyle X}   liên thông đường thì f ( X ) {\displaystyle f(X)}   liên thông đường.
• Cho X {\displaystyle X}   là không gian tô pô liên thông, và f : X → R {\displaystyle f\,:\,X\rightarrow \mathbb {R} }   liên tục. Nếu p , q ∈ f ( X ) {\displaystyle p,\,q\in f(X)}   và p ≤ r ≤ q {\displaystyle p\leq r\leq q}  , khi đó r ∈ f ( X ) {\displaystyle r\in f(X)}  . (Định lý giá trị trung bình mở rộng)
• Cho f : S 2 → R {\displaystyle f\,:\,S^{2}\rightarrow \mathbb {R} }   liên tục, khi đó tồn tại c ∈ S 2 {\displaystyle c\in S^{2}}   sao cho f ( c ) = f ( − c ) {\displaystyle f(c)=f(-c)}  .

Liên tục trong không gian tô pô compact[8]

• Cho f : X → Y {\displaystyle f\,\,:\,X\,\rightarrow \,Y}   liên tục, nếu X {\displaystyle X}   compact thì f ( X ) {\displaystyle f(X)}   compact.
• Cho X {\displaystyle X}   compact và f : X → R {\displaystyle f\,:\,X\rightarrow \mathbb {R} }   là liên tục, khi đó f {\displaystyle f}   có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên X {\displaystyle X}  , hay tồn tại a , b ∈ X {\displaystyle a,\,b\in X}   sao cho f ( a ) ≤ f ( x ) ≤ f ( b ) {\displaystyle f(a)\leq f(x)\leq f(b)}   với mọi x ∈ X {\displaystyle x\in X}  .
• Cho [ a , b ] {\displaystyle [a,\,b]}   là khoảng đóng và bị chặn trong R {\displaystyle \mathbb {R} }  . Giả sử f : [ a , b ] → R {\displaystyle f\,:\,[a,\,b]\rightarrow \mathbb {R} }   là liên tục. Khi đó ảnh của f {\displaystyle f}   là khoảng đóng và bị chặn trong R {\displaystyle \mathbb {R} }  .

Ví Dụ

1. ^ Speck, Jared (2014). “Continuity and Discontinuity” (PDF). MIT Math. tr. 3. Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 6 tháng 10 năm 2016. Truy cập ngày 2 tháng 9 năm 2016. Example 5. The function 1/x is continuous on (0, ∞) and on (−∞, 0), i.e., for x > 0 and for x < 0, in other words, at every point in its domain. However, it is not a continuous function since its domain is not an interval. It has a single point of discontinuity, namely x = 0, and it has an infinite discontinuity there.
2. ^ [1]
3. ^ [2]
4. ^ a b [3]
5. ^ [4]
6. ^ Lecture notes on Topology Lưu trữ 2014-02-03 tại Wayback Machine, trang 14, HCMUS.
7. ^ [5],
8. ^ a b c Introduction to topology pure and applied[liên kết hỏng] của Colin Adam và Robert Franzosa
9. ^ The trivial toplogy[liên kết hỏng]

• Continuous function [6]
• Colin Adam và Robert Franzosa Introduction to topology pure and applied
• James Munkres (2000), Topology, Prentice Hall, ISBN 0-13-181629-2
• Gregory L. Naber Topology, Geometry and Gauge fields: Foundations
• Topics in a Topology Coursel