Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = sinx

Một số dạng bài tập tìm Giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một đoạn đã được peaceworld.com.vn giới thiệu ở bài viết trước. Nếu chưa xem qua bài này, các em có thể xem lại nội dung bài viết tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Bạn đang xem: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sinx + cosx là:

Trong nội dung bài này, chúng ta tập trung vào một số bài tập tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác, vì hàm số lượng giác có tập nghiệm phức tạp và dễ gây nhầm lẫn cho rất nhiều em.

I. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số - kiến thức cần nhớ

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D ⊂ R.

- Nếu tồn tại một điểm x0 ∈ X sao cho f(x) ≤ f(x0) với mọi x ∈ X thì số M = f(x0) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f trên X.

 Ký hiệu: 

- Nếu tồn tại một điểm x0 ∈ X sao cho f(x) ≥ f(x0) với mọi x ∈ X thì số m = f(x0) được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên X.

 Ký hiệu: 

II. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác

* Phương pháp tìm GTLN và GTNN của hàm số lượng giác

+ Để tìm Max (M), min (m) của hàm số y = f(x) trên ta thực hiện các bước sau:

- Bước 1: Tính f"(x), tìm nghiệm f"(x) = 0 trên .

- Bước 2: Tính các giá trị f(a); f(x1); f(x2);...; f(b) (xi là nghiệm của f"(x) = 0)

- Bước 3: So sánh rồi chọn M và m.

> Lưu ý: Để tìm M và m trên (a;b) thì thực hiện tương tự như trên nhưng thay f(a) bằng 

• Nếu f tăng trên thì M = f(b), m = f(a).

• Nếu f giảm trên thì m = f(b), M = f(a).

• Nếu trên D hàm số liên tục và chỉ có 1 cực trị thì giá trị cực trị đó là GTLN nếu là cực đại, là GTNN nếu là cực tiểu.

* Bài tập 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm lượng giác sau:

y = sinx.sin2x trên <0;π>

* Lời giải:

- Ta có f(x) = y = sinx.sin2x

Vậy 

* Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm y = sinx + cosx trong đoạn <0;2π>.

* Lời giải:

- Ta có: f(x) = y = sinx + cosx ⇒ f"(x) = cosx - sinx 

 f"(x) = 0 ⇔ cosx = sinx ⇔ x = π/4 hoặc x = 5π/4

- Như vậy, ta có:

f(0) = 1; f(2π) = 1;

Vậy 

• Cách khác:

 f(x) = sinx + cosx = √2.sin(x + π/4)

 Vì -1 ≤ sin(x + π/4) ≤ 1 nên -√2 ≤ √2.sin(x + π/4) ≤ √2.

Xem thêm: Những Cách In Bản Đồ Từ Google Map Hiệu Quả Chính Xác Nhất, Cách In Bản Đồ Từ Google Map Khổ Lớn Chuẩn Nhất

 Nên 

* Bài tập 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y= 3sinx+ 4cosx + 1

* Lời giải:

- Với bài này ta có thể áp dụng bất đẳng thức sau:

 (ac + bd)2 ≤ (c2 + d2)(a2 + b2) dấu "=" xảy ra khi a/c = b/d

- Vậy ta có: (3sinx+ 4cosx)2 ≤ (32 + 42)(sin2x + cos2x) = 25

Suy ra: -5 ≤ 3sinx+ 4cosx ≤ 5

 ⇒ -4 ≤ y ≤ 6

Vậy Maxy = 6 đạt được khi tanx = 3/4

 miny = -4 đạt được khi tanx = -3/4.

> Nhận xét: Cách làm tương tự ta có được kết quả tổng quát sau:

Tức là: 

* Bài tập 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3cosx + sinx - 2

* Lời giải:

- Bài này làm tương tự bài 3 ta được: 

* Bài tập 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = 3cosx + 2

* Lời giải:

- Ta có: -1 ≤ cosx ≤ 1 ∀x ∈ R.

 Maxy = 3.1 + 1 = 4 khi cosx = 1 ⇔x = k2π

 Minxy = 3.(-1) + 1 = -2 khi cosx = -1 ⇔x = π + k2π

* Bài tập 6: Tìm m để phương trình: m(1 + cosx)2 = 2sin2x + 2 có nghiệm trên <-π>.

* Lời giải:

- Phương trình trên tương đương: 

Đặt 

khi đó: 

(*) ⇔ t4 - 4t3 + 2t2 + 4t + 1 = 2m.

Xét f(t) = t4 - 4t3 + 2t2 + 4t + 1 trên đoạn <-1;1>

Ta có: f"(t) = 4t3 - 12t2 + 4t + 4 = 0 ⇔ t = 1; t = 1 - √2; t = 1 + √2(loại)

Có: f(-1) = 1 + 4 + 2 - 4 + 1 = 4

 f(1) = 1 - 4 + 2 + 4 + 1 = 4

 f(1 - √2) = (1 - √2)4 - 4(1 - √2)3 + 2(1 - √2)2 + 4(1 - √2) + 1 = 0

Ta được: Minf(t) = 0; Maxf(t) = 4

Để phương trình có nghiệm ta phải có 0 ≤ 2m ≤ 4.

Vậy 0 ≤ m ≤ 2 thì phương trình có nghiệm.

III. Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác tự làm

* Bài tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác: 

* Đáp số bài tập 1:

* Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác: f(x) = 2cos2x - 3cosx - 4 trên <-π>.

* Đáp số bài tập 2:

* Bài tập 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: f(x) = x + 2cosx trên (0;π/2).

* Đáp số bài tập 3:

* Bài tập 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác: f(x) = 2sin2x + 2sinx - 4.

* Đáp số bài tập 4:

* Bài tập 5: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y = x + sin2x trên <-π>.

* Đáp số bài tập 5:

Như vậy, để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác ngoài cách dùng đạo hàm các em cũng cần vận dụng một cách linh hoạt các tính chất đặc biệt của hàm lượng giác hay bất đẳng thức. Hy vọng, bài viết này hữu ích cho các em, chúc các em học tập tốt.