Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số bằng máy tính

PHƯƠNG PHÁP CASIO VINACAL
BÀI 1. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
1] PHƯƠNG PHÁP
- Bước 1: Để tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x trên miền a; b

THS
.NET

ta sử dụng máy tính Casio với lệnh MODE 7 [Lập bảng giá trị]
- Bước 2: Quan sát bảng giá trị máy tính hiển thị, giá trị lớn nhất xuất hiện là max ,
giá trị nhỏ nhất xuất hiện là min
- Chú ý:
ba
Ta thiết lập miền giá trị của biến x Start a End b Step
[có thể làm tròn để
19
Step đẹp]
Khi đề bài liên có các yếu tố lượng giác sin x, cos x, tan x... ta chuyển máy tính về
chế độ Radian
2] VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1.[Thi thử chuyên KHTN HN lần 2 năm 2017]
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y x3 2 x 2 4 x 1 trên đoạn 1;3
A. max

67
27

B. max 2

C. max 7

D. max 4

Hướng dẫn giải

TMA

Cách 1: CASIO
Sử dụng chức năng MODE 7 của máy tính Casio với thiết lập Start 1 End 3
3 1
Step
19
w7Q]^3$p2Q]dp4Q]+1==1=
3=[3p1]P19=

f 3 2

VIE

Quan sát bảng giá trị F X ta thấy giá trị lớn nhất F X có thể đạt được là

Vậy max 2 , dấu = đạt được khi x 3 Đáp số chính xác là B
Cách tham khảo: Tự luận
x 2
2
Tính đạo hàm y ' 3 x 4 x 4 , y ' 0
2
x
3

Lập bảng biến thiên


Trang 1




THS
.NET

PHƯƠNG PHÁP CASIO VINACAL

Nhìn bảng biến thiên ta kết luận max f 3 2

Bình luận:
Qua ví dụ 1 ta đã thấy ngay sức mạnh của máy tính Casio, việc tìm Max chỉ
cần quan sát bảng giá trị là xong.
Phương pháp tự luận tìm Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số được
tiến hành theo 3 bước:
+]Bước 1: Tìm miền xác định của biến x .
+]Bước 2: Tính đạo hàm và xác định khoảng đồng biến nghịch biến.
+]Bước 3: Lập bảng biến thiên, nhìn vào bảng biến thiên để kết luận.
Trong bài toán trên đề bài đã cho sẵn miền giá trị của biến x là 1;3 nên ta bỏ
qua bước 1.

Ví dụ 2. [Thi thử chuyên Hạ Long Quảng Ninh lần 1 năm 2017]
Hàm số y 3cos x 4sin x 8 với x 0; 2 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất,

VIE

TMA


giá trị nhỏ nhất của hàm số . Khi đó tổng M m bằng bao nhiêu ?
A. 8 2
B. 7 3
C. 8 3
D. 16
Hướng dẫn giải
Cách 1: CASIO
Để tính toán các bài toán liên quan đến lượng giác ta chuyển máy tính về chế
độ Radian
qw4
Sử dụng chức năng MODE 7 của máy tính Casio với thiết lập Start 0 End 2
2 0
Step
19
w7qc3kQ]]p4jQ]]+8==0=2
qK=2qKP19=

Quan sát bảng giá trị F X ta thấy giá trị lớn nhất F X có thể đạt được là

f 5.2911 12.989 13 M

Trang 2


PHƯƠNG PHÁP CASIO VINACAL

Ta thấy giá trị nhỏ nhất F X có thể đạt được là f 2.314 3.0252 3 m

3cos x 4sin x


2



32 4

2

THS
.NET

Vậy M m 16 Đáp số D là chính xác
Cách tham khảo: Tự luận
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được :

sin

2

x cos 2 x 25

3cos x 4sin x 5 5 3cos x 4sin x 5 3 3cos x 4sin x 8 13


Vậy 3 3cos x 4sin x 8 13

Bình luận:
Nếu bài toán liên quan đến các đại lượng lượng giác ta nên chuyển máy tính
về chế độ Radian để được kết quả chính xác nhất.



2

Trong Bất đẳng thức Bunhiacopxki có dạng ax by a 2 b 2 x 2 y 2 . Dấu
= xảy ra khi và chỉ khi

a b

x y

TMA

Ví dụ 3. [Thi thử nhóm toán Đoàn Trí Dũng lần 3 năm 2017]
Cho các số x, y thỏa mãn điều kiện y 0, x 2 x y 12 0 Tìm giá trị nhỏ nhất :
P xy x 2 y 17
A. 12
B. 9
C. 15
D. 5
Hướng dẫn giải
Cách 1: CASIO
Từ x 2 x y 12 0 ta rút được y x 2 x 12 Lắp vào P ta được :
P x 2 x 2 x 12 x 17

VIE

Để tìm Min của P ta sử dụng chức năng lập bảng giá trị MODE 7, tuy nhiên
việc còn thiếu của chúng ta là miền giá trị của x . Để tìm điều này ta xét
y 0 x 2 x 12 0 4 x 3

7
Sử dụng MODE 7 với thiết lập Start 4 End 3 Start
ta được:
19
w7[Q]+2][Q]d+Q]p12]+Q]
+17==p4=3=7P12=

Quan sát bảng giá trị ta thấy giá trị nhỏ nhất là f 1.25 11.6 12
Vậy đáp số chính xác là A
Cách tham khảo: Tự luận
Dùng phương pháp dồn biến đưa biểu thức P chứa 2 biến trở thành biểu thức
P chứa 1 biến x
Trang 3


PHƯƠNG PHÁP CASIO VINACAL
P x 2 x 2 x 12 x 17 x3 3x 2 9 x 7
Đặt f x x3 3 x 2 9 x 7



Tìm miền giá trị của biến x ta có : y 0 x 2 x 12 0 4 x 3
x 1
Khảo sát hàm f x ta có : f ' x 3x 2 6 x 9 , f ' x 0
x 3
So sánh f 1 12; f 3 20; f 4 13; f 3 20

THS
.NET


Vậy giá trị nhỏ nhất f max 12 đạt được khi x 1

Bình luận:
Một bài tìm Min max sử dụng phương pháp dồn biến hay. Việc tìm cận và tìm
giá trị nhỏ nhất có sự đóng góp rất lớn của Casio để tiết kiệm thời gian.

VIE

TMA

Ví dụ 4. [Khảo sát chất lượng chuyên Lam Sơn Thanh Hóa năm 2017]
2mx 1
1
Giá trị lớn nhất của hàm số y
trên đoạn 2;3 là khi m nhận giá trị
m x
3
bằng :
A. 5
B. 1
C. 0
D. 2
Hướng dẫn giải
Cách 1: CASIO
1
Ta hiểu nếu giá trị nhỏ nhất của y trên đoạn 2;3 có nghĩa là phương
3
1
trình y 0 có nghiệm thuộc đoạn 2;3
3

10 x 1 1
0 . Sử dụng chức
Thử nghiệm đáp án A với m 5 ta thiết lập
5 x 3
năng dò nghiệm SHIFT SOLVE
ap10Q]+1Rp5pQ]$+a1R3qr
2.5=

Ta thấy khi y

1
thì x 0.064... không phải là giá trị thuộc đoạn 2;3 vậy
3

đáp án A sai

Tương tự như vậy ta thấy đáp án C đúng với m 0 khi đó y có dạng

1
x

a1RpQ]$+a1R3qr2.5=

Ta thấy khi y

1
khi x 3 là giá trị thuộc đoạn 2;3 đáp án C chính xác
3
Trang 4



PHƯƠNG PHÁP CASIO VINACAL
Cách tham khảo: Tự luận
2m m x 2mx 1 1 2m 2 1
Tính đạo hàm y '

0 với mọi x D
2
2
m x
m x

THS
.NET

Hàm y luôn đồng biến
Hàm y đạt giá trị lớn nhất tại cận trên x 3
1
6m 1 1

m0
Vậy y 3
3
m3
3
Bình luận:
Ta có thể sử dụng máy tính Casio theo VD1 và VD2 với chức năng MODE 7
1
1
Ta thấy với đán án C hàm số y đạt giá trị lớn nhất khi x 3

x
3
w7a1RpQ]==2=3=1P19=

Ví dụ 5. [Thi Học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình năm 2017]

Cho hàm số y a sin x b cos x x 0 x 2 đạt cực đại tại các điểm x


3

và x

TMA

. Tính giá trị của biểu thức T a b 3
A. T 2 3
B. T 3 3 1
C. T 2
D. T 4
Hướng dẫn giải
Cách 1: CASIO
Ta hiểu hàm số đạt cực trị tại x x0 thì x0 là nghiệm của phương trình y ' 0
Tính y ' a cos x b sin x 1 .

1
3


Ta có y ' 0 a

b 0 [1]
2
2
3
3
Lại có y ' 0 a 0 a . Thế vào [1] ta được

VIE

SHIFT SOLVE
ap10Q]+1Rp5pQ]$+a1R3qr
2.5=

Ta thấy khi y

1
thì x 0.064... không phải là giá trị thuộc đoạn 2;3 vậy
3

đáp án A sai

Tương tự như vậy ta thấy đáp án C đúng với m 0 khi đó y có dạng

1
x

a1RpQ]$+a1R3qr2.5=

Trang 5



PHƯƠNG PHÁP CASIO VINACAL

1
khi x 3 là giá trị thuộc đoạn 2;3 đáp án C chính xác
3
Cách tham khảo: Tự luận
2m m x 2mx 1 1 2m 2 1
Tính đạo hàm y '

0 với mọi x D
2
2
m x
m x

THS
.NET

Ta thấy khi y

Hàm y luôn đồng biến
Hàm y đạt giá trị lớn nhất tại cận trên x 3
1
6m 1 1

m0
Vậy y 3
3
m3

3
Bình luận:
Ta có thể sử dụng máy tính Casio theo VD1 và VD2 với chức năng MODE 7
1
1
Ta thấy với đán án C hàm số y đạt giá trị lớn nhất khi x 3
x
3
w7a1RpQ]==2=3=1P19=

TMA

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. [Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017]

Gọi M , m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y
Khi đó
1
e

A. M ; m 0

B. M e ; m 0

C. M e, m

x2
trên đoạn 1;1 .
ex


1
e

D.

VIE

M e; m 1
Bài 2. [Thi Học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình năm 2017]
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y x 3 6 x

A. M 3
B. M 3 2
C. M 2 3
M 2 3
Bài 3. [Thi thử chuyên Vị Thanh Hậu Giang lần 1 năm 2017]

D.

2

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 2 2 x 3 7
A. min y 5

B. min y 7

C. min y 3
D. Không tồn tại min
Bài 4. [Thi thử THPT Lục Ngạn Bắc Giang lần 1 năm 2017]
mx 4

Tìm m để hàm số y
đạt giá trị lớn nhất bằng 5 trên 2;6
xm
Trang 6


PHƯƠNG PHÁP CASIO VINACAL
3
6
D. m
4
7
Bài 5. [Thi thử THPT Vũ Văn Hiếu Nam Định lần 1 năm 2017]
Gọi M , n lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y x3 3 x 2 1

A. m

2
6

B. m

4
5

C. m

trên đoạn 2;1 thì :
A. M 19; m 1


B. M 0; m 19

C. M 0; m 19

D. Kết quả

THS
.NET

khác
Bài 6. [Thi thử THPT Ngô Gia Tự - Vĩnh Phúc lần 1 năm 2017]
Giá trị nhỏ nhất của hàm số y 1 sin x 1 cos x là :
A. min y 0
B. min y 1

C. min y 4 2 2
D. Không tồn tại GTNN
Bài 7. [Thi thử chuyên Trần Phú Hải Phòng lần 1 năm 2017]

Cho hàm số y 3sin x 4sin 3 x . Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng ;
2 2
bằng :
A. 1 .
B. 7
C. 1
D. 3
Bài 8. [Thi HK1 THPT chuyên Ngoại Ngữ - ĐHSP năm 2017]
Gọi M , n lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x 2 3 e x

trên đoạn 0; 2 . Giá trị của biểu thức P m 2 4 M

B. e 2016

là :

C. 1

D. 22016

TMA

A. 0

2016

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. [Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017]

VIE

x2
Gọi M , m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y x trên đoạn 1;1 .
e
Khi đó
1
1
A. M ; m 0
B. M e ; m 0
C. M e, m
D.
e

e
M e; m 1
Hướng dẫn giải

2

Lập bảng giá trị cho y f x

2
x
với lệnh MODE 7 Start 1 End 1 Step
x
e
19

w7aQ]dRQK^Q]==p1=1=2P19=

Trang 7


PHƯƠNG PHÁP CASIO VINACAL
Quan sát bảng giá trị thấy ngay M 2.7182 e đạt được khi

x 1 và

m 2.6x103 0 Sử dụng Casio

Đáp số chính xác là B
Bài 2. [Thi Học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình năm 2017]
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y x 3 6 x

B. M 3 2

C. M 2 3

THS
.NET

A. M 3
M 2 3

D.

Hướng dẫn giải
x 3 0
Theo điều kiện xác định thì
3 k 6
6 x 0

Lập bảng giá trị cho y x 3 6 x với lệnh MODE 7 Start 3 End 6 Step 0.5
w7sQ]+3$+s6pQ]==p3=6=0.5
=

Quan sát bảng giá trị thấy ngay M 4.2421 3 2 đạt được khi x 1 và

Đáp số chính xác là B

TMA

m 2.6x103 0 Sử dụng Casio


Bài 3. [Thi thử chuyên Vị Thanh Hậu Giang lần 1 năm 2017]
2

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 2 2 x 3 7
A. min y 5
C. min y 3

B. min y 7
D. Không tồn tại min

VIE

Hướng dẫn giải
Đề bài không nói gì đến miền giá trị của x . Khi đó ta chọn Start 9 End 10 Step 1
2

Lập bảng giá trị cho y x 2 2 x 3 7 với lệnh MODE 7
w7[Q]dp2Q]+3]dp7==p9=10=
1=



Quan sát bảng giá trị thấy ngay min y 3 đạt được khi x 1
Đáp số chính xác là C
Trang 8


PHƯƠNG PHÁP CASIO VINACAL

D. m


6
7

THS
.NET

Bài 4. [Thi thử THPT Lục Ngạn Bắc Giang lần 1 năm 2017]
mx 4
Tìm m để hàm số y
đạt giá trị lớn nhất bằng 5 trên 2;6
xm
3
2
4
A. m
B. m
C. m
6
5
4
Hướng dẫn giải
2
Thử với m thì giá trị lớn nhất là 25 A sai
6

w7a2Q]P6p4RQ]+2P6==p2=6=
0.5=

Tương tự như vậy với m 34 thì giá trị lớn nhất là 5. Đáp số C chính xác

w7a34Q]p4RQ]+34==p2=6=0.
5=

trên đoạn 2;1 thì :
A. M 19; m 1
khác

TMA

Bài 5. [Thi thử THPT Vũ Văn Hiếu Nam Định lần 1 năm 2017]
Gọi M , n lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y x3 3 x 2 1
B. M 0; m 19

C. M 0; m 19

D. Kết quả

VIE

Hướng dẫn giải
Hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối ta thêm lệnh SHIFT HYP. Sử dụng MODE 7 với Start
3
-2 End 1 Step
19
w7qcQ]^3$p3Q]d+1==p2=1=3
P19=

Quan sát bảng giá trị thấy M 19; m 0 . Đáp số C chính xác
Bài 6. [Thi thử THPT Ngô Gia Tự - Vĩnh Phúc lần 1 năm 2017]
Giá trị nhỏ nhất của hàm số y 1 sin x 1 cos x là :

A. min y 0
B. min y 1

Trang 9


PHƯƠNG PHÁP CASIO VINACAL
C. min y 4 2 2

D. Không tồn tại GTNN
Hướng dẫn giải

Vì chu kì của hàm sin, cos là 2 nên ta chọn Start 2 End 2 Step

4
19

THS
.NET

Lập bảng giá trị cho y 1 sin x 1 cos x với lệnh MODE 7
qw4w7s1+jQ]]$+s1+kQ]]==p
2qK=2qK=4qKP19=

Quan sát bảng giá trị thấy ngay M 1.0162 1 Đáp số chính xác là B
Bài 7. [Thi thử chuyên Trần Phú Hải Phòng lần 1 năm 2017]


Cho hàm số y 3sin x 4sin 3 x . Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng ;
2 2

bằng :
A. 1 .
B. 7
C. 1
D. 3
Hướng dẫn giải

Lập bảng giá trị cho y 3sin x 4sin 3 x với lệnh MODE 7 Start



End



Step



TMA

2
2
19
qw4w73jQ]]p4jQ]]^3==pqK
P2=qKP2=qKP19=

Quan sát bảng giá trị lớn nhất là 1 Đáp số chính xác là A
Bài 8. [Thi HK1 THPT chuyên Ngoại Ngữ - ĐHSP năm 2017]
Gọi M , n lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x 2 3 e x


A. 0

VIE

trên đoạn 0; 2 . Giá trị của biểu thức P m 2 4 M

2016

B. e 2016
C. 1
Hướng dẫn giải

là :
D. 22016

2
19
w7[Q]dp3]QK^Q]==0=2=2P19
=

Lập bảng giá trị cho y 1 sin x 1 cos x với lệnh MODE 7 Start 0 End 2 Step

Trang 10


PHƯƠNG PHÁP CASIO VINACAL
Quan

sát


bảng

P m2 4M

2016

giá

trị

0.157916

ta

2016

thấy

m 5.422

và

M 7.389

0

VIE

TMA


THS
.NET

Đáp số chính xác là A.

Trang 11