1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
\[x^2+2y^2-2xy+3x-3y+2=0\]
2. Tìm tất cả các số nguyên x,y thõa mãn phương trình
\[xy^3+y^2+4xy=6\]
3.Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
\[x^2+\left[x+y\right]^2=\left[x+9\right]^2\]
PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN DẠNG ĐA THỨC
Các dạng phương trình nghiệm nguyên đa thức:
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn 2. Phương trình bậc 2 hai ẩn 3. Phương trình bậc cao hai ẩn 4. Phương trình đa thức nhiều ẩn
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương pháp:
Ví dụ 1:
Giải:
Ta thấy $11x \vdots 6$ nên $x \vdots 6$. Đặt $x = 6k$ [$k$ nguyên]. Thay vào [1] và rút gọn ta được: $11k + 3y = 20$ Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ [là $y$] theo $k$ ta được: $y = \frac{{20 - 11k}}{3}$ Tách riêng giá trị nguyên của biểu thức này: $y = 7 - 4k + \frac{{k - 1}}{3}$ Lại đặt $\frac{{k - 1}}{3}$ $= t$ với $t$ nguyên suy ra $k = 3t + 1$. Do đó: $\begin{array} y = 7 - 4[3t + 1] + t = 3 - 11t \\ x = 6k = 6[3t + 1] = 18t + 6 \\ \end{array} $ Thay các biểu thức của $x$ và $y$ vào [1], phương trình được nghiệm đúng. Vậy các nghiệm nguyên của [1] được biểu thị bởi công thức: $\left\{ \begin{array} x = 18t + 6 \\ y = 3 - 11t \\ \end{array} \right.$ với $t$ là số nguyên tùy ý
2. Phương trình bậc 2 hai ẩn
Ví dụ 2:
Giải:
Biểu thị $y$ theo $x$: $[2x + 3]y = 5x + 11$ Dễ thấy $2x + 3 \ne 0$ [vì $x$ nguyên ] do đó: $y = \frac{{5x + 11}}{{2x + 3}} = 2 + \frac{{x + 5}}{{2x + 3}}$ Để $y \in \mathbb{Z}$phải có $x + 5 \vdots 2x + 3$ $ \Rightarrow 2[x + 5] \vdots 2x + 3$ $ \Rightarrow 2x + 3 + 7 \vdots 2x + 3$ $ \Rightarrow 7 \vdots 2x + 3$ Nên $[x,y]=[-1,6],[-2,-1],[2,3],[-5,2]$ Thử lại các cặp giá trị trên của $[x , y]$ đều thỏa mãn phương trình đã cho.
Ví dụ 3:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: ${x^2} - 2x - 11 = {y^2}$Giải:
Cách 1: Đưa về phương trình ước số: ${x^2} - 2x + 1 - 12 = {y^2}$ $ \Leftrightarrow {[x - 1]^2} - {y^2} = 12$ $ \Leftrightarrow [x - 1 + y][x - 1 - y] = 12$ Ta có các nhận xét: Vì [1] chứa $y$ có số mũ chẵn nên có thể giả thiết rằng $y \geqslant 0$. Thế thì $x - 1 + y \geqslant x - 1 - y$ $[x - 1 + y] - [x - 1 - y] = 2y$ nên $x - 1 + y$và $x - 1 - y$ cùng tính chẵn lẻ. Tích của chúng bằng 12 nên chúng cùng chẵn. Với các nhận xét trên ta có hai trường hợp: $[x-1+y,x-1-y]=[6,2],[-2,6]$ Do đó: $[x,y]=[5,2],[-3,2]$ Đáp số: $[5 ; 2], [5 ; -2], [-3 ; 2], [-3 ; -2]$
Cách 2: Viết thành phương trình bậc hai đối với $x$:
${x^2} - 2x - [11 + {y^2}] = 0$ $\Delta ' = 1 + 11 + {y^2} = 12 + {y^2}$ Điều kiện cần để [2] có nghiệm nguyên: $\Delta '$ là số chính phương $ \Leftrightarrow 12 + {y^2} = {k^2}[k \in \mathbb{N}]$ $ \Leftrightarrow {k^2} - {y^2} = 12 \Leftrightarrow [k + y][k - y] = 12$ Giả sử $y \geqslant 0$ thì $k + y$ $ \geqslant k – y$ và $k + y \geqslant $ 0 $[k + y] – [k – y] = 2y$ nên $k + y$ và $k – y$ cùng tính chẵn lẻ và phải cùng chẵn. Từ các nhận xét trên ta có: $\left\{ \begin{array} k + y = 6 \\ k - y = 2 \\ \end{array} \right.$ Do đó: $y = 2$ Thay vào [2]: ${x^2} - 2x - 15 = 0$ $ \Rightarrow {x_1} = 5,{x_2} = - 3$ Ta có bốn nghiệm: $[5 ; 2], [5 ; -2], [-3 ; -2], [-3 ; 2]$Ví dụ 4:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: ${x^2} + 2{y^2} + 3xy - x - y + 3 = 0$ [1]Giải:
Viết thành phương trình bậc hai đối với x: ${x^2} + [3y - 1]x + [2{y^2} - y + 3] = 0$ [2] $\Delta = {[3y - 1]^2} - 4[2{y^2} - y + 3] = {y^2} - 2y - 11$ Điều kiện cần và đủ để [2] có nghiệm nguyên là $\Delta $ là số chính phương $ \Leftrightarrow {y^2} - 2y - 11 = {k^2}[k \in \mathbb{N}]$ [3] Giải [3] với nghiệm nguyên ta được ${y_1} = 5,{y_2} = - 3$ Với $y = 5$ thay vào [2] được ${x^2} + 14x + 48 = 0$. Ta có: ${x_1} = - 8,{x_2} = - 6$ Với $y = -3$ thay vào [2] được ${x^2} - 10x + 24 = 0$. Ta có ${x_3} = 6,{x_4} = 4$ Đáp số: $[-8 ; 5], [-6 ; 5], [6 ; -3], [4 ; -3]$
3. Phương trình bậc cao hai ẩn
Ví dụ 5:
Giải:
Nếu $y$ thỏa mãn phương trình thì $ – y$ cũng thỏa mãn, do đó ta giả sử $y \geqslant 0$ [1] $ \Leftrightarrow [{x^2} + 3x][{x^2} + 3x + 2] = {y^2}$ Đặt ${x^2} + 3x + 2 + 1 = a$, ta được: $[a - 1][a + 1] = {y^2} \Leftrightarrow {a^2} - 1 = {y^2}$ $ \Leftrightarrow [a + y][a - y] = 1$ Suy ra $a + y = a – y$, do đó $y = 0$ Thay vào [1] được: ${x_1} = 0;{x_2} = - 1;{x_3} = - 2;{x_4} = - 3$ Đáp số: $[0 ; 0], [-1 ; 0], [-2 ; 0], [-3 ; 0]$Ví dụ 6:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: ${x^3} - {y^3} = xy + 8$ [1]Giải:
Cách 1: $|x - y|.|{x^2} + xy + {y^2}| = |xy + 8|$ Dễ thấy $x \ne y$, vì nếu $x = y$ thì [1] trở thành $0 = {x^2} + 8$, loại. Do $x, y$ nguyên nên $|x - y| \geqslant 1$ Suy ra: $|{x^2} + xy + {y^2}| \leqslant |xy + 8|$ Do đó: ${x^2} + xy + {y^2} \leqslant |xy + 8|$ [2] Xét hai trường hợp: $xy + 8 < 0$. Khi đó [2] trở thành: ${x^2} + xy + {y^2} \leqslant - xy - 8 \Leftrightarrow {[x + y]^2} \leqslant - 8$, loại $xy + 8 \geqslant 0$. Khi đó [2] trở thành: ${x^2} + xy + {y^2} \leqslant xy + 8 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \leqslant 8$ [3] Do đó: ${x^2},{y^2} \in \{ 0;1;4\} $ Nếu $x = 0$ thì từ [1] có ${y^3} = - 8$ nên $y =$ $ - $2 Nếu $y = 0$ thì từ [1] có ${x^3} = - 8$ nên $x = 2$ Nếu $x, y$ khác 0 thì ${x^2},{y^2} \in \{ 1;4\} $. Do $x \ne y$ nên chỉ có: $\left\{ \begin{array} {x^2} = 1 \\ {y^2} = 4 \\ \end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array} {x^2} = 4 \\ {y^2} = 1 \\ \end{array} \right.$ Như vậy trong hai số $x$ và $y$ có một số chẵn, một số lẻ. Khi đó vế trái của [1] lẻ còn vế phải của [1] chẵn, không xảy ra. Đáp số: $[0 ; -2], [2 ; 0]$Cách 2: ${x^3} - {y^3} - xy = 8$ [1]
$ \Leftrightarrow 27{x^3} - 27{y^3} - 27xy = 216$ $ \Leftrightarrow 27{x^3} - 27{y^3} - 1 - 27xy = 215$ [2] Ta thấy $27{x^3}$, $ - 27{y^3}$, $ - 1$ là lập phương của $3x, $ - $3y, $$ - 1$còn $27xy$ là ba lần tích của ba số ấy. Áp dụng hằng đẳng thức: ${a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = [a + b + c].\frac{{{{[a - b]}^2} + {{[b - c]}^2} + {{[c - a]}^2}}}{2}$ Với $a = 3x, b = -3y, c = - 1$, ta biến đổi [2] thành: $[3x - 3y - 1].\left[ {\frac{{{{[3x + 3y]}^2} + {{[1 - 3y]}^2} + {{[3x + 1]}^2}}}{2}} \right] = 215$ [3] Đặt biểu thức trong dấu móc của [3] là $A$. Ta thấy $A > 0$ nên $A$ và $3x - 3y - 1$ là ước tự nhiên của 215. Phân tích ra thừa số nguyên tố: 215 = 5.43 nên 215 cò bốn ước tự nhiên: 1, 5, 43, 215. Do $3x - 3y - 1$ chi cho 3 dư 2 nên $3x - 3y - 1 \in \{ 5;215\} $ Xét hai trường hợp: $\left\{ \begin{array} 3x - 3y - 1 = 5[4] \\ A = 43[5] \\ \end{array} \right.$ và $\left\{ \begin{array} 3x - 3y - 1 = 215 \\ A = 1 \\ \end{array} \right.$Trường hợp 1: từ [4] suy ra $x – y = 2$. Thay $y = x – 2$ vào [5] được:
${[3x + 3[x - 2]]^2} + {[1 - 3[x - 2]]^2} + {[3x + 1]^2} = 86$ Rút gọn được: $x[x – 2] = 0$ $ \Leftrightarrow {x_1} = 0,{x_2} = 2$ Với $x = 0$ thì $y = 2$. Với $x =2$ thì $y =0$Trường hợp 2: Từ $A = 1$ suy ra:
${[3x + 3y]^2} + {[1 - 3y]^2} + {[3x + 1]^2} = 2$ Tổng của ba số chính phương bằng 2 nên có một số bằng 0, hai số bằng số 1. Số bằng 0 không thề là $1 – 3y$ hoặc $3x + 1$, do đó $3x + 3y = 0$. Nghiệm nguyên của hệ: $\left\{ \begin{array} 3x + 3y = 0 \\ {[1 - 3y]^2} = 1 \\ {[3x + 1]^2} = 1 \\ \end{array} \right.$ là $x = y = 0$, không thỏa mãn $3x – 3y – 1 = 215$. Đáp số: $[0 ; -0], [2 ; 0]$Cách 3: ${x^3} - {y^3} = xy + 8$
$ \Leftrightarrow {[x - y]^3} + 3xy[x - y] = xy + 8$ Đặt $x – y = a, xy = b$ ta có: ${a^3} + 3ab = b + 8$ $ \Leftrightarrow {a^3} - 8 = - b[3a - 1]$ Suy ra: ${a^3} - 8 \vdots 3a - 1$ $ \Rightarrow 27[{a^3} - 8] \vdots 3a - 1$ $ \Rightarrow 27{a^3} - 1 - 215 \vdots 3a - 1$ Do $27{a^3} - 1 \vdots 3a - 1$ nên $215 \vdots 3a - 1$ Phân tích ra thứa số nguyên tố: 215 = 5.43 Do đó $3a - 1 \in \{ \pm 1; \pm 5; \pm 43; \pm 215\} $ Do $3a – 1$ chia cho 3 dư 2 nên $3a - 1 \in \{ - 1;5; - 43;215\} $ Ta có: Do $b = \frac{{{a^3} - 8}}{{1 - 3a}}$ nên: $[a,b]=[0,-8],[2,0],[-14,-64],[72,-1736]$ Chú ý rằng ${[x - y]^2} + 4xy \geqslant 0$ nên ${a^2} + 4b \geqslant 0$, do đó trong bốn trường hợp trên chỉ có $a = 2;b = 0$. Ta được: $x – y = 2; xy = 0$ Đáp số: $[0 ; -2]$ và $[2 ; 0]$
4. Phương trình đa thức nhiều ẩn
Ví dụ 7:
Giải:
Ta thấy$10z \vdots 3$ nên $z \vdots 3$. Đặt $z = 3k$ ta được: $6x + 15y + 10.3k = 3$ $ \Leftrightarrow 2x + 5y + 10k = 1$ Đưa về phương trình hai ẩn $x, y$ với các hệ số tương ứng 2 và 5 là hai số nguyên tố cùng nhau. $2x + 5y = 1 - 10k$ $x = \frac{{1 - 10k - 5y}}{2} = - 5k - 2y + \frac{{1 - y}}{2}$ Đặt $\frac{{1 - y}}{2}$ $= t$ với $t$ nguyên. Ta có: $\begin{array} y = 1 - 2t \\ x = - 5k - 2[1 - 2t] + t = 5t - 5k - 2 \\ z = 3k \\ \end{array} $ Nghiệm của phương trình: $[5t - 5k - 2;1 - 2t;3k]$ với $t, k$ là các số nguyên tùy ý.Ví dụ 8:
Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên: ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 1999$ [1]Giải:
Ta biết rằng số chính phương chẵn thì chia hết cho 4, còn số chính phương lẻ thì chia cho 4 dư 1 và chia cho 8 dư 1. Tổng ${x^2} + {y^2} + {z^2}$ là số lẻ nên trong ba số ${x^2};{y^2};{z^2}$phải có: hoặc có một số lẻ, hai số chẵn; hoặc cả ba số lẻ. Trường hợp trong ba số ${x^2};{y^2};{z^2}$ có một số lẻ, hai số chẵn thì vế trái của [1] chia cho 4 dư 1, còn vế phải là 1999 chia cho 4 dư 3, loại. Trong trường hợp ba số ${x^2};{y^2};{z^2}$đều lẻ thì vế trái của [1] chia cho 8 dư 3, còn vế phải là 1999 chia cho 8 dư 7, loại. Vậy phương trình [1] không có nghiệm nguyên.
Bài tập rèn luyện:
Bài 1:
Hướng dẫn:
Đáp số : $[x, y] = [4, 5]$ hoặc $[5,4]$Cách 1: Đổi biến $u = x + y, v = x – y$ ta đưa về phương trình:
$28u = 3[u^2 + 3v^2]. [*]$ Từ [*] chứng minh được $u$ chia hết cho 9 và $0 \le u \le 9$ suy ra $u = 0$ hoặc $u = 9$Cách 2: Xem phương trình đã cho là phương trình bậc hai đối với x.
$3x^2 – [3y + 7]x + 3y^2 – 7y = 0$ [1] Để [1] có nghiệm thì biệt thức $\Delta $ phải là số chính phương Từ đó tìm được yBài 2:
Tìm $x, y$ $ \in {\mathbb{Z}^ + }$ thỏa mãn : $x^{2000} + y^{2000} = 2003^{2000} $ [1]Hướng dẫn:
Đáp số: phương trình vô nghiệm Giả sử $x \ge y$. Từ [1] suy ra $x < 2003$ và $x + 1 < 2003$ Ta có $2003^{2000} ≥ [x + 1]^{2000} > x^{2000} + 2000.x{1999}$ $ \Rightarrow $$y^{2000} > 2000.x^{1999} ≥ 2000.y^{1999}$ $ \Rightarrow $ $2003 > x ≥ y > 2000$ Vậy $x = 2002, y = 2001$ Thử lại không thỏa mãn [1]Bài 3:
Chứng minh $\forall n \in {\mathbb{N}^*},$ phương trình ${x_1} + {x_2} + ... + {x_n} = {x_1}.{x_2}...{x_n}$ luôn có nghiệm trong ${\mathbb{N}^*}$. Hướng dẫn: Cho ${x_1} = {x_2} = ... = {x_{n - 2}} = 1$ ta đi đến phương trình $[{x_{n - 1}} - 1][{x_n} - 1] = n - 1.$ [1] Dễ thấy ${x_n} = n$và${x_{n - 1}} = 2$ thỏa mãn [1] Vậy phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm nguyên dương là $[{x_1};{x_2};...;{x_{_n}}] = [1;1;...;2;n]$Bài4:
Chứng minh rằng phương trình $x^3 + y^3 + z^3 – 3xyz = 2001^n$ luôn có nghiệm nguyên với mọi $n ≥ 2$Hướng dẫn:
Đặt ${2001^n} = 9m$. Bộ ba số $[m; m – 1; m + 1]$ là một nghiệm của phương trình đã cho