Toán 9 chương 2 bài 1 luyện tập

Lý thuyết và bài tập toán 9 bài 1 hình học được KienGuru biên soạn bao gồm hướng dẫn lý thuyết và đáp án chi tiết cho từng bài tập giúp các bạn học sinh luyện tập và hiểu rõ hơn về phần hình học – đường tròn. Qua đó, các bạn học sinh sẽ được ôn tập, củng cố và rèn luyện thêm kiến thức đã học trong chương trình Toán 9.

I. ÔN LÝ THUYẾT TOÁN LỚP 9 HÌNH HỌC BÀI 1 CHƯƠNG 2

Tổng hợp và ôn lại lý thuyết là bước đầu để chúng ta nắm chắc và nhuần nhuyễn kiến thức đã học qua cũng như để nhớ và áp dụng kiến thức một cách chính xác hơn vào các bài tập ứng dụng. Hãy cùng nhau bước vào phần ôn tập lý thuyết nhé!

1. Định nghĩa về đường tròn

Đường tròn tâm O bán kính R > 0 là hình gồm các điểm cách điểm O một khoảng R kí hiệu là (O; R) hay (O).

Toán 9 chương 2 bài 1 luyện tập

Nếu A nằm trên đường tròn (O; R) thì OA = R.

Nếu A nằm trong đường tròn (O; R) thì OA < R.

Nếu A nằm ngoài đường tròn (O; R) thì OA > R.

2. Cách xác định đường tròn

a. Đường tròn đi qua hai điểm

Đường tròn đi qua hai điểm có tâm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng có hai đầu mút là hai điểm đó.

Toán 9 chương 2 bài 1 luyện tập

Trường hợp đặc biệt:

Tâm của đường tròn là trung điểm của đoạn thẳng AB và bán kính bằng

Toán 9 chương 2 bài 1 luyện tập

Toán 9 chương 2 bài 1 luyện tập

b. Đường tròn đi qua ba điểm

Tâm đường tròn đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng là giao điểm các đường trung trực của tam giác ABC.

Bán kính là khoảng cách từ tâm tới một trong ba đỉnh của tam giác.

Toán 9 chương 2 bài 1 luyện tập

Kí hiệu: (O; OA).

Như vậy, một đường tròn được xác định khi biết tâm và bán kính của đường tròn đó, hoặc khi biết một đoạn thẳng là đường kính của đường tròn đó.

Định lí:

Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn.

Chú ý:

Không vẽ được đường tròn nào đi qua ba điểm thẳng hàng.

Toán 9 chương 2 bài 1 luyện tập

c. Đường tròn ngoại tiếp tam giác

Toán 9 chương 2 bài 1 luyện tập

Đường tròn đi qua ba đỉnh A,B,C, của tam giác ABC gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Khi đó tam giác ABC gọi là tam giác nội tiếp đường tròn.

Trường hợp đặc biệt:

Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.

Toán 9 chương 2 bài 1 luyện tập

Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác cân nằm trên đường cao của tam giác cân đó.

Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều trùng với trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp của tam giác đó.

Toán 9 chương 2 bài 1 luyện tập

3. Tâm đối xứng của đường tròn

Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.

Toán 9 chương 2 bài 1 luyện tập

Như vậy, đường tròn có duy nhất một tâm đối xứng.

4. Trục đối xứng của đường tròn

Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn.

Toán 9 chương 2 bài 1 luyện tập

Như vậy, đường tròn có vô số trục đối xứng.

Toán 9 chương 2 bài 1 luyện tập

Bảng đo thị lực dưới đây là một ví dụ về trục đối xứng của đường tròn trong lĩnh vực y học.

Toán 9 chương 2 bài 1 luyện tập

II. GỢI Ý GIẢI TOÁN 9 BÀI 1 HÌNH HỌC SGK

Bài 1 (trang 99 SGK Toán 9 Tập 1)

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12cm, BC = 5cm. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D thuộc cùng một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

Lời giải:

Toán 9 chương 2 bài 1 luyện tập

Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật ABCD. Dựa vào tính chất của hình chữ nhật ta có:

OA = OB = OC = OD

Do đó, bốn điểm A, B, C, D cùng cách đều điểm O một khoảng bằng OA nên A, B, C, D cùng thuộc đường tròn tâm O bán kính R = OA

Xét tam giác ABC vuông tại B có:

AB = 12cm

BC = 5cm

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

AC2 = AB2 + BC2

=> AC2 = 122 + 52 = 169

=> AC = √169 = 13 (cm)

Ta lại có:

OA = AC = .13 = 6,5 (cm) (tính chất của đường chéo hình chữ nhật)

Do đó, đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C, D có tâm O và bán kính R = 6,5cm.

Bài 2 (trang 100 SGK Toán 9 Tập 1)

Hãy nối mỗi ô ở cột trái với một ô ở cột phải để được khẳng định đúng:

Toán 9 chương 2 bài 1 luyện tập

Lời giải:

– Nối (1) với (5): Vì trong tam giác nhọn, giao của ba đường trung trực nằm bên trong tam giác nên tâm đường tròn ngoại tiếp nằm bên trong tam giác.

– Nối (2) với (6): Vì trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh đó. Tức là trung điểm cạnh huyền cách đều ba đỉnh của tam giác.

– Nối (3) với (4): Vì trong tam giác tù, giao của ba đường trung trực nằm bên ngoài tam giác nên tâm đường tròn ngoại tiếp nằm bên ngoài tam giác.

Bài 3 (trang 100 SGK Toán 9 Tập 1)

Chứng minh các định lí sau:

a) Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền

b) Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông.

Lời giải:

Toán 9 chương 2 bài 1 luyện tập

a) Xét tam giác ABC vuông tại A. Gọi O là trung điểm của BC.

Ta có AO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên OA = OB = OC.

=> O là tâm của đường tròn đi qua A, B, C.

Vậy tâm của đường tròn ngoại tiếp ΔABC là trung điểm của cạnh huyền BC. (đpcm)

b) Xét tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC, ta có:

OA = OB = OC

Tam giác ABC có đường trung tuyến AO bằng nửa cạnh BC nên suy ra tam giác ABC vuông tại A. (đpcm)

Bài 4 (trang 100 SGK Toán 9 Tập 1)

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy xác định vị trí của mỗi điểm A(– 1; – 1), B(– 1; – 2), C(√2;√2)C(2;2) đối với đường tròn tâm O bán kính 2.

Lời giải

Toán 9 chương 2 bài 1 luyện tập

Toán 9 chương 2 bài 1 luyện tập

Bài 5 (trang 100 SGK Toán 9 Tập 1)

Đố: Một tấm bìa hình tròn không còn dấu vết của tâm. Hãy tìm lại tâm của hình tròn đó.

Lời giải:

Cách 1:

– Gấp tấm bìa sao cho hai phần của hình tròn trùng nhau, nếp gấp là một đường kính.

– Lại gấp như trên theo nếp gấp khác, ta được một đường kính thứ hai.

– Giao điểm của hai nếp gấp hay chính là giao hai đường kính và là tâm của đường tròn.

Toán 9 chương 2 bài 1 luyện tập

Cách 2:

– Lấy 3 điểm bất kì trên đường tròn. Vẽ hai dây AB và AC.

– Vẽ đường trung trực của AB và AC. Giao điểm O của đường trung trực này chính là tâm của hình tròn.

Toán 9 chương 2 bài 1 luyện tập

III. HỖ TRỢ GIẢI SBT

Bài 1 trang 156 Sách bài tập Toán 9 Tập 1

Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 12cm, CD = 16cm. Chứng minh rằng bốn điểm ABCD cùng thuộc một đường tròn.Tính bán kính của đường tròn đó.

Lời giải:

Toán 9 chương 2 bài 1 luyện tập

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Ta có:

IA = IB = IC = ID (tính chất hình chữ nhật)

Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn bán kính AC/2

Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông ABC ta có:

AC2 = AB2 + BC2 = 162 + 122 = 256 + 144 = 400

Suy ra: AC = √400 = 20 (cm)

Vậy bán kính đường tròn là: IA = AC/2 = 20/2 = 10 (cm)

Bài 2 trang 156 Sách bài tập Toán 9 Tập 1

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy xác định vị trí tương đối của mỗi điểm A(1; -1), B(-√2 ; √2 ) và C(1; 2) đối với đường tròn (O; 2)

Lời giải:

Gọi R là bán kính của đường tròn (O; 2). Ta có: R = 2

OA2 = 12 + 12 = 2 ⇒ OA = √2 < 2

Vì OA < R nên điểm A nằm trong đường tròn (O; 2)

OB2 = (√2 )2 + (√2 )2 = 2 + 2 = 4 ⇒ OB = 2

Vì OB = R nên điểm B thuộc đường tròn (O; 2)

OC2 = 12 + 22 = 1 + 4 = 5 ⇒ OC = √5 > 2

Bài 3 trang 156 Sách bài tập Toán 9 Tập 1

Hãy nối mỗi ô ở cột trái với một ô ở cột phải để được khẳng định đúng:

Toán 9 chương 2 bài 1 luyện tập

Lời giải:

(1) nối với (6)

(2) nối với (5)

(3) nối với (4)

Bài 4 trang 156 Sách bài tập Toán 9 Tập 1

Cho góc nhọn xOy và hai điểm D, E thuộc tia Oy. Dựng đường tròn tâm M đi qua D và E sao cho tâm M nằm trên tia Ox.

Lời giải:

* Cách dựng:

– Dựng đường trung trực của DE cắt Ax tại M

– Dựng đường tròn tâm M bán kính MD

* Chứng minh:

Theo cách dựng ta có: M ∈ Ox

MD = ME (tính chất đường trung trực)

Suy ra: E ∈ (M; MD).

Toán 9 chương 2 bài 1 luyện tập

Bài 5 trang 156 Sách bài tập Toán 9 Tập 1

Trong các câu sau, câu nào đúng, câu nào sai?

a. Hai đường tròn phân biệt có thể có hai điểm chung

b. Hai đường tròn phân biệt có thể có ba điểm chung phân biệt

c. Tâm của đường tròn ngoại tiếp một tam giác bao giờ cũng nằm trong tam giác ấy.

Lời giải:

a. Đúng

b. Sai vì hai đường tròn có ba điểm chung phân biệt thì chúng trùng nhau

c. Sai vì tam giác vuông có tâm đường tròn ngoại tiếp nằm trên cạnh huyền, tam giác tù giao điểm của ba đường trung trực nằm ngoài tam giác.

Bài 6 trang 157 Sách bài tập Toán 9 Tập 1

a. Quan sát hình lọ hoa trên giấy kẻ ô vuông (hình dưới) rồi vẽ lại hình đó vào vở

b. Quan sát đường tròn xoắn ốc (hình dưới) rồi vẽ lại hình đó vào vở. Tính bán kính của các cung tròn tâm B, C, D, A biết cạnh hình vuông ABCD bằng 1 đơn vị dài.

Toán 9 chương 2 bài 1 luyện tập

Lời giải:

a. Hình a

b. Hình b

Cung tròn tâm B có bán kính bằng 1.

Cung tròn tâm C có bán kính bằng 2.

Cung tròn tâm D có bán kính bằng 3.

Cung tròn tâm A có bán kính bằng 4.

Bài 7 trang 157 Sách bài tập Toán 9 Tập 1

Hình bên. Có một chi tiết máy (mà đường viền ngoài là đường tròn) bị gãy. Làm thế nào để xác định được bán kính của đường viền?

Toán 9 chương 2 bài 1 luyện tập

Lời giải:

Toán 9 chương 2 bài 1 luyện tập

Lấy ba điểm A, B, C phân biệt trên đường viền.

Dựng đường trung trực của AB và BC. Hai đường trung trực cắt nhau tại O.

OA, OB, OC chính là bán kính của đường viền.

Bài 8 trang 157 Sách bài tập Toán 9 Tập 1

Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo, OA = √2 cm. Vẽ đường tròn tâm A bán kính 2cm. Trong năm điểm A, B, C, D, O, điểm nào nằm trên đường tròn? Điểm nào nằm trong đường tròn? Điểm nào nằm ngoài đường tròn?

Lời giải:

Toán 9 chương 2 bài 1 luyện tập

OA = √2 < 2 nên điểm O và A nằm trong (A; 2)

AB = 2 nên điểm B nằm trên (A; 2)

AD = 2 nên điểm D nằm trên (A; 2)

AC = 2√2 > 2 nên điểm C nằm ngoài (A; 2)

Bài 9 trang 157 Sách bài tập Toán 9 Tập 1

Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ đường tròn (O) có đường kính BC, nó cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở D, E

a. Chứng minh rằng CD ⊥ AB, BE ⊥ AC

b. Gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng AK vuông góc với BC.

Lời giải:

a. Tam giác BCD nội tiếp trong đường tròn (O) có BC là đường kính nên vuông tại D.

Suy ra: CD ⊥ AB.

Tam giác BCE nội tiếp trong đường tròn (O) có BC là đường kính nên vuông tại E.

Suy ra: BE ⊥ AC.

b. K là giao điểm của hai đường cao CD và BE nên K là trực tâm của tam giác ABC

Suy ra: AK ⊥ BC

Bài 10 trang 157 Sách bài tập Toán 9 Tập 1

Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 3cm. Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng:

A. 2√3 cm B. 2cm C. √3 cm D. √2 cm

Toán 9 chương 2 bài 1 luyện tập
Lời giải:

Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên O là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác ABC.

Kẻ AH ⊥ BC. Ta có: O ∈ AH

Trong tam giác vuông ABH, ta có:

Toán 9 chương 2 bài 1 luyện tập

Vì tam giác ABC đều nên AH là đường cao cũng đồng thời là trung tuyến nên:

Toán 9 chương 2 bài 1 luyện tập

Vậy chọn đáp án C.

Bài 11 trang 158 Sách bài tập Toán 9 Tập 1

Cho hình vuông ABCD.

a. Chứng minh rằng bốn đỉnh của hình vuông cùng nằm trên một đường tròn. Hãy chỉ ra vị trí của tâm đường tròn đó

b. Tính bán kính của đường tròn đó, biết cạnh của hình vuông bằng 2cm.

Lời giải:

Toán 9 chương 2 bài 1 luyện tập

a. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Ta có: IA = IB = IC = ID (tính chất của hình vuông)

Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn. Tâm của đường tròn là I.

b. Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông ABC ta có:

AC2 = AB2 + BC2 = 22 + 22 = 8

Suy ra: AC = 2√2 (cm)

Toán 9 chương 2 bài 1 luyện tập

Bài 12 trang 158 Sách bài tập Toán 9 Tập 1

Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn (O). Đường cao AH cắt đường tròn ở D.

a. Vì sao AD là đường kính của đường tròn (O)?

b. Tính số đo góc ACD

c. Cho BC = 24cm, AC = 20cm. Tính đường cao AH và bán kính đường tròn (O)

Lời giải

a. Tam giác ABC cân tại A nên AH là đường cao đồng thời cũng là đường trung trực của BC.

Vì O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên O nằm trên đường trung trực của BC hay O thuộc AD.

Suy ra AD là đường kính của (O).

Toán 9 chương 2 bài 1 luyện tập

b. Tam giác ACD nội tiếp trong (O) có AD là đường kính nên suy ra góc ACD = 90o.

c. Ta có: AH ⊥ BC ⇒ HB = HC = BC/2 = 24/2 = 12(cm)

Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông ACH ta có:

AC2 = AH2 + HC2

Suy ra: AH2 = AC2 – HC2 = 202 – 122 = 400 – 144 = 256

AH = 16 (cm)

Tam giác ACD vuông tại C nên theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

AC2 = AH.AD ⇒ AD = AC2/AH = 202/16 = 25 (cm)

Vậy bán kính của đường tròn (O) là: R = AD/2 = 25/2 = 12,5 (cm)

Bài 13 trang 158 Sách bài tập Toán 9 Tập 1

Tam giác ABC cân tại A, BC = 12cm, đường cao AH = 4cm. Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Lời giải:

Toán 9 chương 2 bài 1 luyện tập

Kéo dài đường cao AH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Vì tam giác ABC cân tại A nên AH là đường trung trực của BC. Suy ra AD là đường trung trực của BC.

Khi đó O thuộc AD hay AD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Tam giác ACD nội tiếp trong (O) có AD là đường kính nên suy ra góc (ACD) = 90o.

Tam giác ACD vuông tại C nên theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có: CH2 = HA.HD

Toán 9 chương 2 bài 1 luyện tập

Bài 14 trang 158 Sách bài tập Toán 9 Tập 1

Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B nằm bên ngoài đường tròn. Dựng đường kính COD sao cho AC = BD.

Lời giải:

* Cách dựng

– Dựng A’ đối xứng với A qua tâm O của đường tròn

– Dựng đường thẳng x là trung trực của A’B

– Gọi giao điểm của đường thẳng x và đường tròn (O) là D

– Dựng đường kính COD

Toán 9 chương 2 bài 1 luyện tập

* Chứng minh

Ta có: OA = OA’ và OD = OC

Suy ra tứ giác ACA’D là hình bình hành

Suy ra: AC = A’D

Lại có: A’D = BD (tính chất đường trung trực)

Suy ra: AC = BD

IV. KẾT LUẬN

Vừa rồi, Kiến Guru đã hỗ trợ bạn đọc ôn tập toán 9 bài 1 hình học chương 2 – Sự xác định đường tròn, tính chất đối xứng của đường tròn, bao gồm tóm lược các kiến thức lý thuyết trọng tâm và lời giải chi tiết cho từng dạng bài tập. Hy vọng đây sẽ là tài liệu hay giúp các em học sinh ôn tập và củng cố kiến thức.

Ngoài ra, không chỉ có dạng bài tập, kiến thức ôn tập như trên mà bạn đọc cũng có thể tham khảo các đề bài mẫu, tài liệu ôn luyện, gợi ý giải mà Kiến Guru đăng tải trên website cũng như app KienGuru để bổ sung kiến thức phục vụ cho các bài kiểm tra, đánh giá giữa kỳ.