Tài liệu ôn tập tập môn Toán lớp 10
Bài tập trắc nghiệm công thức lượng giác là tài liệu hữu ích mà Download.vn muốn giới thiệu đến quý thầy cô cùng các em học sinh lớp 10 tham khảo.
Bài tập trắc nghiệm công thức lượng giác gồm 30 trang với 315 bài tập trắc nghiệm chuyên đề cung và góc lượng giác - công thức lượng giác. Hi vọng với tài liệu này các em học sinh có nhiều tư liệu tham khảo, củng cố kiến thức chương 6 môn Toán lớp 10. Mời các bạn cùng tham khảo và tải tài liệu tại đây.
Xem thêm
| Làm bài Quảng cáo
Câu hỏi 1 : Cho biết \[\tan x = 5\]. Tính giá trị biểu thức \[Q = \frac{{3\sin x - 4\cos x}}{{\cos x + 2\sin x}}\].
Đáp án: A Phương pháp giải: - Chia cả tử và mẫu của Q cho \[\cos x\] để làm xuất hiện \[\tan x\]. - Thay \[\tan x = 5\] vào tính giá trị của Q. Lời giải chi tiết: \[\begin{array}{l}Q = \frac{{3\sin x - 4\cos x}}{{\cos x + 2\sin x}} = \frac{{\frac{{3\sin x - 4\cos x}}{{\cos x}}}}{{\frac{{\cos x + 2\sin x}}{{\cos x}}}}\\\,\,\,\, = \frac{{3.\frac{{\sin x}}{{\cos x}} - 4.\frac{{\cos x}}{{\cos x}}}}{{\frac{{\cos x}}{{\cos x}} + 2.\frac{{\sin x}}{{\cos x}}}} = \frac{{3\tan x - 4}}{{1 + 2\tan x}}\end{array}\] Thay \[\tan x = 5\] ta được: \[Q = \frac{{3.5 - 4}}{{1 + 2.5}} = 1\] Chọn A. Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 2 : Cho biết \[\frac{\pi }{2} < x < \pi \] và \[\sin x = \frac{1}{3}\]. Tính \[\cos x\].
Đáp án: D Phương pháp giải: Sử dụng công thức \[{\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\] để tính \[{\cos ^2}x\] Kết hợp điều kiện của \[x\] để suy ra dấu của \[\cos x\] và kết luận. Lời giải chi tiết: Ta có: \[{\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\] \[ \Rightarrow {\left[ {\frac{1}{3}} \right]^2} + {\cos ^2}x = 1\]\[ \Rightarrow {\cos ^2}x = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}\] Mà \[\frac{\pi }{2} < x < \pi \] nên \[x\] thuộc góc phần tư thứ II \[ \Rightarrow \cos x < 0\] Vậy \[\cos x = - \sqrt {\frac{8}{9}} = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\] Chọn D. Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 3 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn \[\left[ C \right]:{\mkern 1mu} \,\,{\mkern 1mu} {\left[ {x + 1} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} = 9\] và đường thẳng \[\Delta :3x + 4y - 2m + 4 = 0\] [trong đó \[m\] là tham số]. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số \[m\] sao cho đường thẳng \[\Delta \] là tiếp tuyến của đường tròn \[[C]\]. Tích các số thuộc tập hợp S bằng:
Đáp án: A Phương pháp giải: Đường thẳng \[\Delta \] là tiếp tuyến của đường tròn [C] tâm I bán kính R\[ \Leftrightarrow d\left[ {I,\Delta } \right] = R\] Lời giải chi tiết: Đường tròn \[[C]:{\left[ {x + 1} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} = 9\] có tâm \[I\left[ { - 1;2} \right]\] bán kính \[R = 3\]. Đường thẳng \[\Delta \] là tiếp tuyến của đường tròn [C] \[ \Leftrightarrow d\left[ {I,\Delta } \right] = R\] \[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\left| {3.\left[ { - 1} \right] + 4.2 - 2m + 4} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 3\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {9 - 2m} \right|}}{5} = 3 \Leftrightarrow \left| {9 - 2m} \right| = 15\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}9 - 2m = 15\\9 - 2m = - 15\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2m = - 6\\2m = 24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 3\\m = 12\end{array} \right.\end{array}\] Do đó \[S = \left\{ { - 3;12} \right\}\] nên tích cần tìm bằng \[\left[ { - 3} \right].12 = - 36.\] Chọn A. Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 4 : Tính giá trị của biểu thức \[P = \frac{{2\sin \alpha - \sqrt 2 \cos \alpha }}{{4\sin \alpha + 3\sqrt 2 \cos \alpha }}\] biết \[\cot \alpha = - \sqrt 2 \].
Đáp án: C Phương pháp giải: Vì tồn tại \[\cot \alpha = - \sqrt 2 \Rightarrow \sin \alpha \ne 0\] Chia cả tử và mẫu cho \[\sin \alpha \] và rút gọn \[P.\] Lời giải chi tiết: Vì tồn tại \[\cot \alpha = - \sqrt 2 \Rightarrow \sin \alpha \ne 0\] Chia cả tử và mẫu của \[P\]cho \[\sin \alpha \] \[ \Rightarrow P = \frac{{2\sin \alpha - \sqrt 2 \cos \alpha }}{{4\sin 2\alpha + 3\sqrt 2 \cos \alpha }}\]\[ = \frac{{2 - \sqrt 2 \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}}}{{4 + 3\sqrt 2 \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}}}\]\[ = \frac{{2 - \sqrt 2 .\left[ { - \sqrt 2 } \right]}}{{4 + 3\sqrt 2 .\left[ { - \sqrt 2 } \right]}} = - 2\] Chọn C. Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 5 : Giá trị biểu thức \[\frac{{\sin \frac{\pi }{{15}}\cos \frac{\pi }{{10}} + \sin \frac{\pi }{{10}}\cos \frac{\pi }{{15}}}}{{\cos \frac{{2\pi }}{{15}}\cos \frac{\pi }{5} - \sin \frac{{2\pi }}{{15}}\sin \frac{\pi }{5}}}\] là:
Đáp án: C Phương pháp giải: Sử dụng công thức: \[\left\{ \begin{array}{l}\sin \left[ {a + b} \right] = \sin a\cos b + \cos a\sin b\\\cos \left[ {a + b} \right] = \cos a\cos b - \sin a\sin b\end{array} \right..\] Lời giải chi tiết: \[\begin{array}{l}\frac{{\sin \frac{\pi }{{15}}\cos \frac{\pi }{{10}} + \sin \frac{\pi }{{10}}\cos \frac{\pi }{{15}}}}{{\cos \frac{{2\pi }}{{15}}\cos \frac{\pi }{5} - \sin \frac{{2\pi }}{{15}}\sin \frac{\pi }{5}}} = \frac{{\sin \frac{\pi }{{15}}\cos \frac{\pi }{{10}} + \cos \frac{\pi }{{15}}\sin \frac{\pi }{{10}}}}{{\cos \frac{{2\pi }}{{15}}\cos \frac{\pi }{5} - \sin \frac{{2\pi }}{{15}}\sin \frac{\pi }{5}}}\\ = \frac{{\sin \left[ {\frac{\pi }{{15}} + \frac{\pi }{{10}}} \right]}}{{\cos \left[ {\frac{{2\pi }}{{15}} + \frac{\pi }{5}} \right]}} = \frac{{\sin \frac{\pi }{6}}}{{\cos \frac{\pi }{3}}} = 1.\end{array}\] Chọn C. Đáp án - Lời giải |
Câu hỏi 6 :
Cho \[\Delta ABC.\] Khẳng định nào sau đây là sai?
- A \[\sin \frac{{A + C}}{2} = \cos \frac{B}{2}\]
- B \[\cos \left[ {A + B} \right] = \cos C\]
- C \[\sin \frac{{A + B + 3C}}{2} = \cos C\]
- D \[\sin \left[ {A + B} \right] = \sin C\]
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Ta có: \[A,\,\,B,\,\,C\] là ba góc của một tam giác \[ \Rightarrow A + B + C = {180^0}.\]
Sử dụng công thức: \[\left\{ \begin{array}{l}\sin 2a = 2\sin a\cos a\\\cos \left[ {{{180}^0} - x} \right] = - \cos x\\\cos \left[ {{{90}^0} - x} \right] = \sin x\\\sin \left[ {{{90}^0} - x} \right] = \cos x\end{array} \right..\]
Lời giải chi tiết:
+] Xét đáp án A ta có: \[\sin \frac{{A + C}}{2} = \sin \frac{{{{180}^0} - B}}{2}\]\[ = \sin \left[ {{{90}^0} - \frac{B}{2}} \right] = \cos \frac{B}{2}\]\[ \Rightarrow \] đáp án A đúng.
+] Xét đáp án B ta có: \[\cos \left[ {A + B} \right] = \cos \left[ {{{180}^0} - C} \right] = - \cos C \ne \cos C\] \[ \Rightarrow \] đáp án B sai.
Chọn B.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 7 :
Biểu thức \[\frac{{{{\cos }^3}x\sin x - {{\sin }^3}x\cos x}}{{\sin 4x}}\] không phụ thuộc \[x\] và bằng:
- A \[4\]
- B \[1\]
- C \[\frac{1}{4}\]
- D \[\frac{3}{4}\]
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức: \[\left\{ \begin{array}{l}\sin 2x = 2\sin x\cos x\\{\cos ^2}x - {\sin ^2}x = \cos 2x\end{array} \right..\]
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}\frac{{{{\cos }^3}x\sin x - {{\sin }^3}x\cos x}}{{\sin 4x}} = \frac{{\sin x\cos x\left[ {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right]}}{{2\sin 2x\cos 2x}}\\ = \frac{{\frac{1}{2}\sin 2x.\cos 2x}}{{2\sin 2x\cos 2x}} = \frac{1}{4}\end{array}\]
\[ \Rightarrow \frac{{{{\cos }^3}x\sin x - {{\sin }^3}x\cos x}}{{\sin 4x}}\] là biểu thức không phụ thuộc vào \[x.\]
Chọn C.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 8 :
Rút gọn biểu thức \[P\] [với điều kiện của \[x\] để \[P\] có nghĩa] \[P = \frac{{\sin 2x\cos x}}{{\left[ {1 + \cos 2x} \right]\left[ {1 + \cos x} \right]}}.\]
- A \[P = \tan x\]
- B \[P = - \tan \frac{x}{2}\]
- C \[P = \cot \frac{x}{2}\]
- D \[P = \tan \frac{x}{2}\]
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức: \[\left\{ \begin{array}{l}\sin 2x = 2\sin x\cos x\\\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\\1 + \cos 2x = 2{\cos ^2}x\end{array} \right..\]
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}P = \frac{{\sin 2x\cos x}}{{\left[ {1 + \cos 2x} \right]\left[ {1 + \cos x} \right]}} = \frac{{2\sin x{{\cos }^2}x}}{{2{{\cos }^2}x\left[ {1 + \cos x} \right]}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{\sin x}}{{2{{\cos }^2}\frac{x}{2}}} = \frac{{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}}{{2{{\cos }^2}\frac{x}{2}}} = \frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{\cos \frac{x}{2}}} = \tan \frac{x}{2}.\end{array}\]
Chọn D.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 9 :
Cho \[A,\,\,B,\,\,C\] là ba góc của một tam giác. Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau.
- A \[\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4\cos A\cos B\cos C\]
- B \[\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4\sin A\sin B\sin C\]
- C \[\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = - 4\sin A\sin B\sin C\]
- D \[\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 1 - 4\sin A\sin B\sin C\]
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Ta có: \[A,\,\,B,\,\,C\] là ba góc của một tam giác \[ \Rightarrow A + B + C = {180^0}.\]
Sử dụng công thức: \[\left\{ \begin{array}{l}\sin 2a = 2\sin a\cos a\\\cos \left[ {{{180}^0} - x} \right] = - \cos x\\\cos \left[ {{{90}^0} - x} \right] = \sin x\end{array} \right..\]
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C\]
\[\begin{array}{l} = \sin 2A + 2\sin \frac{{2B + 2C}}{2}\cos \frac{{2B - 2C}}{2}\\ = 2\sin A\cos A + 2\sin \left[ {B + C} \right]\cos \left[ {B - C} \right]\\ = 2\sin A\cos A + 2\sin \left[ {{{180}^0} - A} \right]\cos \left[ {B - C} \right]\\ = 2\sin A\cos A + 2\sin A\cos \left[ {B - C} \right]\\ = 2\sin A\left[ {\cos A + \cos \left[ {B - C} \right]} \right]\\ = 2\sin A.2\cos \frac{{A + B - C}}{2}.\cos \frac{{A - B + C}}{2}\\ = 4\sin A.\cos \frac{{{{180}^0} - 2C}}{2}.\cos \frac{{{{180}^0} - 2B}}{2}\\ = 4\sin A.\cos \left[ {{{90}^0} - C} \right].\cos \left[ {{{90}^0} - B} \right]\\ = 4\sin A\sin B\sin C.\end{array}\]
Chọn B.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 10 :
Rút gọn biểu thức \[P = \frac{{\cos a - \cos 5a}}{{\sin 4a + \sin 2a}}\] [với \[\sin 4a + \sin 2a \ne 0\]] ta được:
- A \[P = 2\cot a\]
- B \[P = 2\cos a\]
- C \[P = 2\tan a\]
- D \[P = 2\sin a\]
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức: \[\left\{ \begin{array}{l}\cos a - \cos b = - 2\sin \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\\\sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}\\\sin 2a = 2\sin a\cos a\end{array} \right..\]
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}P = \frac{{\cos a - \cos 5a}}{{\sin 4a + \sin 2a}} = \frac{{ - 2\sin 3a.\sin \left[ { - 2a} \right]}}{{2\sin 3a.\cos a}}\\ = \frac{{ - \sin \left[ { - 2a} \right]}}{{\cos a}} = \frac{{\sin 2a}}{{\cos a}} = \frac{{2\sin a.\cos a}}{{\cos a}} = 2\sin a.\end{array}\]
Chọn D.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 11 :
Cho \[\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{5}{4}.\] Khi đó \[\sin 2\alpha \] có giá trị bằng:
- A \[\frac{5}{2}\]
- B \[2\]
- C \[\frac{3}{{32}}\]
- D \[\frac{9}{{16}}\]
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức: \[\sin 2\alpha = 2\sin \alpha .\cos \alpha .\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\begin{array}{l}\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{5}{4} \Leftrightarrow {\left[ {\sin \alpha + \cos \alpha } \right]^2} = \frac{{25}}{{16}}\\ \Rightarrow 1 + 2\sin \alpha .\cos \alpha = \frac{{25}}{{16}}\\ \Rightarrow 1 + \sin 2\alpha = \frac{{25}}{{16}} \Rightarrow \sin 2\alpha = \frac{9}{{16}}.\end{array}\]
Chọn D.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 12 :
Gọi \[M = \cos \left[ {a + b} \right]\cos \left[ {a - b} \right] - \sin \left[ {a + b} \right]\sin \left[ {a - b} \right]\] thì:
- A \[M = 1 - 2{\cos ^2}a\]
- B \[M = 1 - 2{\sin ^2}a\]
- C \[M = \cos 4a\]
- D \[M = \sin 4a\]
Đáp án: B
Phương pháp giải:
+] Sử dụng công thức \[\cos a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left[ {a + b} \right] + \cos \left[ {a - b} \right]} \right]\]; \[\sin a\sin b = - \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left[ {a + b} \right] - \cos \left[ {a - b} \right]} \right]\].
+] Sử dụng công thức nhân đôi \[\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a\].
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}M = \cos \left[ {a + b} \right]\cos \left[ {a - b} \right] - \sin \left[ {a + b} \right]\sin \left[ {a - b} \right]\\M = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos 2a + \cos 2b} \right] + \dfrac{1}{2}\left[ {\cos 2a - \cos 2b} \right]\\M = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos 2a + \cos 2b + \cos 2a - \cos 2b} \right]\\M = \cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a\end{array}\]
Chọn B.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 13 :
Cho \[\sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\] với \[0 < \alpha < \frac{\pi }{2}.\] Tính giá trị của \[\sin \left[ {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right].\]
- A \[\frac{{\sqrt 3 }}{6} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\]
- B \[\frac{{\sqrt 3 }}{3} - \frac{1}{2}.\]
- C \[\frac{{\sqrt 3 }}{6} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\]
- D \[\sqrt 6 - \frac{1}{2}.\]
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức cộng: \[\sin \left[ {a + b} \right] = \sin a\cos b + \cos a\sin b.\]
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[\sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\] mà \[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{2}{3}.\]
Lại có \[0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\] nên \[\cos \alpha > 0 \Rightarrow \cos \alpha = \sqrt {\frac{2}{3}} \]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \sin \left[ {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right] = \sin \alpha \cos \frac{\pi }{3} + \cos \alpha \sin \frac{\pi }{3}\\\, = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\frac{1}{2} + \cos \alpha .\frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\frac{1}{2} + \sqrt {\frac{2}{3}} .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{6} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\end{array}\]
Chọn C.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 14 :
Cho \[\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{3}{4},\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi .\] Tính \[\cos \alpha - \sin \alpha .\]
- A \[\frac{{\sqrt {23} }}{4}.\]
- B \[ \pm \frac{{\sqrt {23} }}{4}.\]
- C \[\frac{{ - \sqrt {30} }}{4}.\]
- D \[\frac{{ - \sqrt {23} }}{4}.\]
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Từ \[\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{3}{4}\] và \[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\], tìm \[\cos \alpha ,\sin \alpha .\]
Lời giải chi tiết:
\[\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{3}{4} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{3}{4} - \sin \alpha .\]
Lại có: \[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\]
\[ \Rightarrow {\sin ^2}\alpha + {\left[ {\frac{3}{4} - \sin \alpha } \right]^2} = 1 \Rightarrow 2{\sin ^2}\alpha - \frac{3}{2}\sin \alpha - \frac{7}{{16}} = 0\]
\[ \Rightarrow \sin \alpha = \frac{{3 + \sqrt {23} }}{8}\] [vì với \[\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \] thì \[\sin \alpha > 0]\].
\[ \Rightarrow \cos \alpha = \frac{3}{4} - \sin \alpha = \frac{3}{4} - \frac{{3 + \sqrt {23} }}{8} = \frac{{3 - \sqrt {23} }}{8}\] \[ \Rightarrow \cos \alpha - \sin \alpha = - \frac{{\sqrt {23} }}{4}.\]
Chọn D.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 15 :
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
- A \[\tan \left[ {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right] = \cot a.\]
- B \[\tan \left[ { - \alpha } \right] = - \tan \alpha .\]
- C \[\tan \left[ {\pi + \alpha } \right] = - \tan a.\]
- D \[\tan \left[ {\pi - \alpha } \right] = - \tan \alpha .\]
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức: \[\left\{ \begin{array}{l}\tan \left[ {\alpha + \pi } \right] = \tan \alpha \\\tan \left[ {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right] = \cot \alpha \\\tan \left[ { - \alpha } \right] = - \tan \alpha \\\tan \left[ {\pi - \alpha } \right] = - \tan \alpha \end{array} \right..\]
Lời giải chi tiết:
Trong các đáp án chỉ có đáp án C sai, công thức đúng: \[\tan \left[ {\pi + \alpha } \right] = \tan \alpha .\]
Chọn C.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 16 :
Cho \[\cos \alpha = \frac{4}{{13}},0 < \alpha < \frac{\pi }{2}.\] Khi đó \[\sin \alpha \] bằng:
- A \[\frac{{ - 3\sqrt {17} }}{{13}}\]
- B \[\frac{4}{{3\sqrt {17} }}\]
- C \[\frac{{3\sqrt {17} }}{{13}}\]
- D \[\frac{{3\sqrt {17} }}{{14}}\]
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Sử dụng \[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\].
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[0 < \alpha < \frac{\pi }{2} \Rightarrow \sin \alpha > 0.\]
Có \[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow \sin \alpha = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = \sqrt {1 - \frac{{16}}{{169}}} = \frac{{3\sqrt {17} }}{{13}}.\]
Chọn C.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 17 :
Gọi \[M = \cos x + \cos 2x + \cos 3x\] thì :
- A \[M = 2\cos 2x\left[ {\cos x + 1} \right]\]
- B \[M = 4\cos 2x\left[ {\dfrac{1}{2} + \cos x} \right]\]
- C \[M = 2\cos 2x\cos \left[ {\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi }{6}} \right]\cos \left[ {\dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi }{6}} \right]\]
- D \[M = 4\cos 2x\cos \left[ {\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi }{6}} \right]\cos \left[ {\dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi }{6}} \right]\]
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức \[\cos a + \cos b = 2\cos \dfrac{{a + b}}{2}\cos \dfrac{{a - b}}{2}\].
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,M = \cos x + \cos 2x + \cos 3x \Leftrightarrow M = 2\cos 2x\cos x + \cos 2x\\ \Leftrightarrow M = \cos 2x\left[ {2\cos x + 1} \right] \Leftrightarrow M = 2\cos 2x\left[ {\cos x + \dfrac{1}{2}} \right]\\ \Leftrightarrow M = 2\cos 2x\left[ {\cos x + \cos \dfrac{\pi }{3}} \right] \Leftrightarrow M = 2\cos 2x.2\cos \dfrac{{x + \dfrac{\pi }{3}}}{2}\cos \dfrac{{x - \dfrac{\pi }{3}}}{2}\\M = 4\cos 2x\cos \left[ {\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi }{6}} \right]\cos \left[ {\dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi }{6}} \right]\end{array}\]
Chọn D.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 18 :
Rút gọn biểu thúc \[\cos {54^0}\cos {4^0} - \cos {36^0}\cos {86^0}\], ta được:
- A \[\cos {50^0}\]
- B \[\cos {58^0}\]
- C \[\sin {50^0}\]
- D \[\sin {58^0}\]
Đáp án: B
Phương pháp giải:
+] Sử dụng công thức \[\cos a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left[ {a + b} \right] + \cos \left[ {a - b} \right]} \right]\].
+] Sử dụng công thức \[\cos a - \cos b = - 2\sin \dfrac{{a + b}}{2}\sin \dfrac{{a - b}}{2}\].
+] Sử dụng quan hệ \[\sin a = \cos \left[ {{{90}^0} - a} \right]\].
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}\cos {54^0}\cos {4^0} - \cos {36^0}\cos {86^0} = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos {{58}^0} + \cos {{50}^0}} \right] - \dfrac{1}{2}\left[ {\cos {{122}^0} + \cos {{50}^0}} \right]\\ = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos {{58}^0} + \cos {{50}^0} - \cos {{122}^0} - \cos {{50}^0}} \right] = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos {{58}^0} - \cos {{122}^0}} \right]\\ = \dfrac{1}{2}.\left[ { - 2} \right]\sin {90^0}\sin \left[ { - {{32}^0}} \right] = \sin {32^0} = \sin \left[ {{{90}^0} - {{58}^0}} \right] = \cos {58^0}\end{array}\]
Chọn B.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 19 :
Rút gọn biểu thức \[A = \dfrac{{1 + \cos x + \cos 2x + \cos 3x}}{{2{{\cos }^2}x + \cos x - 1}}\].
- A \[\cos x\]
- B \[2\cos x - 1\]
- C \[2\cos x\]
- D \[\cos x - 1\]
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức \[\cos a + \cos b = 2\cos \dfrac{{a + b}}{2}\cos \dfrac{{a - b}}{2};\,\,\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1\].
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}A = \dfrac{{1 + \cos x + \cos 2x + \cos 3x}}{{2{{\cos }^2}x + \cos x - 1}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{2{{\cos }^2}x + 2\cos 2x\cos x}}{{\cos x + \left[ {2{{\cos }^2}x - 1} \right]}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{2\cos x\left[ {\cos x + \cos 2x} \right]}}{{\cos x + \cos 2x}}\\\,\,\,\,\, = 2\cos x\end{array}\]
Chọn C.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 20 :
Rút gọn biểu thức \[M = \dfrac{{\sin 3x - \sin x}}{{2{{\cos }^2}x - 1}}\].
- A \[\tan 2x\]
- B \[\sin x\]
- C \[2\tan x\]
- D \[2\sin x\]
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức \[\sin a - \sin b = 2\cos \dfrac{{a + b}}{2}\sin \dfrac{{a - b}}{2}\] và \[\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1\].
Lời giải chi tiết:
\[M = \dfrac{{\sin 3x - \sin x}}{{2{{\cos }^2}x - 1}} = \dfrac{{2\cos 2x\sin x}}{{\cos 2x}} = 2\sin x\].
Chọn D.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 21 :
Cho \[\cos a = \dfrac{3}{4}\]. Tính \[\cos \dfrac{{3a}}{2}\cos \dfrac{a}{2}\].
- A \[\dfrac{{23}}{{16}}\]
- B \[\dfrac{{21}}{{16}}\]
- C \[\dfrac{7}{{16}}\]
- D \[\dfrac{{23}}{8}\]
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức \[\cos a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left[ {a + b} \right] + \cos \left[ {a - b} \right]} \right]\].
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}\cos \dfrac{{3a}}{2}\cos \dfrac{a}{2} = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left[ {\dfrac{{3a}}{2} + \dfrac{a}{2}} \right] + \cos \left[ {\dfrac{{3a}}{2} - \dfrac{a}{2}} \right]} \right]\\ = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos 2a + \cos a} \right] = \dfrac{1}{2}\left[ {2{{\cos }^2}a - 1 + \cos a} \right]\\ = \dfrac{1}{2}\left[ {2.\dfrac{9}{{16}} - 1 + \dfrac{3}{4}} \right] = \dfrac{7}{{16}}.\end{array}\]
Chọn C.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 22 :
Biết \[\sin x = \dfrac{1}{3}\] và \[{90^0} < x < {180^0}\] thì biểu thức \[\dfrac{{1 + \sin 2x + \cos 2x}}{{1 + \sin 2x - \cos 2x}}\] có giá trị bằng:
- A \[2\sqrt 2 \]
- B \[\dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}\]
- C \[ - 2\sqrt 2 \]
- D \[ - \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}\]
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức nhân đôi: \[1 + \cos 2x = 2{\cos ^2}x,\,\,1 - \cos 2x = 2{\sin ^2}x\].
Lời giải chi tiết:
\[\dfrac{{1 + \sin 2x + \cos 2x}}{{1 + \sin 2x - \cos 2x}} = \dfrac{{2{{\cos }^2}x + 2\sin x\cos x}}{{2{{\sin }^2}x + 2\sin x\cos x}} = \dfrac{{2\cos x\left[ {\sin x + \cos x} \right]}}{{2\sin x\left[ {\sin x + \cos x} \right]}} = \cot x\].
\[1 + {\cot ^2}x = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} = 9 \Leftrightarrow {\cot ^2}x = 8\]
Do \[{90^0} < x < {180^0} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin x > 0\\\cos x < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \cot x < 0 \Leftrightarrow \cot x = - 2\sqrt 2 \].
Chọn C.
Đáp án - Lời giải
Câu hỏi 23 :
Cho hai góc nhọn \[a,\,\,b\] với \[\sin a=\frac{1}{3}\] và \[\sin b=\frac{1}{2}\]. Giá trị của \[\sin 2\left[ a+b \right]\] là:
- A \[\frac{2\sqrt{2}+7\sqrt{3}}{18}\]
- B \[\frac{3\sqrt{2}+7\sqrt{3}}{18}\]
- C \[\frac{4\sqrt{2}+7\sqrt{3}}{18}\]
- D \[\frac{5\sqrt{2}+7\sqrt{3}}{18}\]
Đáp án: C
Phương pháp giải:
+] Tính \[\cos a,\,\,\cos b\].
+] Sử dụng các công thức \[\sin 2x=2\sin x\cos x,\,\,\sin \left[ a+b \right]=\sin a\cos b+\cos a\sin b,\] \[\cos \left[ a+b \right]=\cos a\cos b-\sin a\sin b\].
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\begin{align} {{\cos }^{2}}a=1-{{\sin }^{2}}a=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}\Leftrightarrow \cos a=\frac{2\sqrt{2}}{3}\,\,\left[ Do\,\,0