Trừ vô cùng là gì

Vô hạn, vô cực, vô tận [ký hiệu: ] là một khái niệm mô tả một cái gì đó mà không có bất kỳ giới hạn nào, hoặc một cái gì đó lớn hơn bất kỳ số tự nhiên nào. Các nhà triết học đã suy đoán về bản chất của vô hạn, ví dụ Zeno xứ Elea, người đã đề xuất nhiều nghịch lý liên quan đến vô cực, và Eudoxus của Cnidus, người đã sử dụng ý tưởng về số lượng nhỏ vô hạn trong phương pháp cạn kiệt của mình. Ý tưởng này cũng là cơ sở của vi tích phân.

Hermann Weyl đã mở đầu một bài diễn thuyết về toán học-triết học vào năm 1930 với câu nói:[13] "Toán học là môn khoa học của vô hạn".

Biểu tượng vô cựcSửa đổi

Biểu tượng vô cực {\displaystyle \infty } là một biểu tượng toán học đại diện cho khái niệm vô cực. Biểu tượng được mã hóa bằng Unicode tại U+221E infinity [HTML∞· ∞] và trong LaTeX như \infty.

Nó được giới thiệu vào năm 1655 bởi John Wallis,[14][15] và, kể từ khi được giới thiệu, nó cũng đã được sử dụng bên ngoài toán học trong chủ nghĩa thần bí hiện đại [16] và ký hiệu văn học.[17]

Giải tíchSửa đổi

Leibniz, một trong những người đồng phát minh ra phép tính vi tích phân, đã suy đoán rộng rãi về số lượng vô hạn và việc sử dụng chúng trong toán học. Đối với Leibniz, cả số lượng vô hạn và số lượng vô hạn đều là những thực thể lý tưởng, không có cùng bản chất với số lượng đáng kể, nhưng được hưởng các tính chất tương tự theo Luật liên tục.[18][19]

Giải tích thựcSửa đổi

Trong giải tích thực, biểu tượng {\displaystyle \infty } , được gọi là "vô cực", được sử dụng để biểu thị một giới hạn không giới hạn.[20] Ký hiệu x {\displaystyle x\rightarrow \infty } có nghĩa là x tăng không giới hạn và x {\displaystyle x\to -\infty } có nghĩa là x giảm không giới hạn. Nếu f [t] 0 cho mọi t, thì [21]

• a b f [ t ] d t = {\displaystyle \int _{a}^{b}f[t]\,dt=\infty } có nghĩa là f[t] không bị giới hạn trong khoảng nào từ a {\displaystyle a} tới b . {\displaystyle b.}
• f [ t ] d t = {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f[t]\,dt=\infty } nghĩa là tổng diện tích f[t] là vô hạn trong miền giới hạn.
• f [ t ] d t = a {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f[t]\,dt=a} nghĩa là tổng diện tích của f[t] trong miền giới hạn là hữu hạn, và bằng a . {\displaystyle a.}

Vô hạn cũng được sử dụng để mô tả chuỗi vô hạn:

• i = 0 f [ i ] = a {\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }f[i]=a} nghĩa là tổng của chuỗi vô hạn này là hội tụ đến số thực a . {\displaystyle a.}
• i = 0 f [ i ] = {\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }f[i]=\infty } tổng của chuỗi vô hạn này là phân kỳ.[cần dẫn nguồn]

• 0,999...
• Lũy thừa
• Định lý con khỉ vô hạn
• Tập hợp không đếm được
• Tập hợp vô hạn
• Danh sách nghịch lý

• Vô tận tại Từ điển bách khoa Việt Nam
• Vô hạn tại Từ điển bách khoa Việt Nam
• Vô hạn và hữu hạn tại Từ điển bách khoa Việt Nam
• Infinity [mathematics] tại Encyclopædia Britannica [tiếng Anh]
• The Infinite. Internet Encyclopedia of Philosophy.
• Infinity trên chương trình In Our Time của BBC. [Nghe tại đây]
• A Crash Course in the Mathematics of Infinite Sets Lưu trữ 2010-02-27 tại Wayback Machine, by Peter Suber. From the St. John's Review, XLIV, 2 [1998] 159. The stand-alone appendix to Infinite Reflections, below. A concise introduction to Cantor's mathematics of infinite sets.
• Infinite Reflections Lưu trữ 2009-11-05 tại Wayback Machine, by Peter Suber. How Cantor's mathematics of the infinite solves a handful of ancient philosophical problems of the infinite. From the St. John's Review, XLIV, 2 [1998] 159.
• Grime, James. Infinity is bigger than you think. Numberphile. Brady Haran. Bản gốc lưu trữ ngày 22 tháng 10 năm 2017. Truy cập ngày 14 tháng 8 năm 2019.
• Hotel Infinity
• John J. O'Connor and Edmund F. Robertson [1998]. 'Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor', MacTutor History of Mathematics archive.
• John J. O'Connor and Edmund F. Robertson [2000]. 'Jaina mathematics' Lưu trữ 2008-12-20 tại Wayback Machine, MacTutor History of Mathematics archive.
• Ian Pearce [2002]. 'Jainism', MacTutor History of Mathematics archive.
• Source page on medieval and modern writing on Infinity
• The Mystery Of The Aleph: Mathematics, the Kabbalah, and the Search for Infinity
• Dictionary of the Infinite [compilation of articles about infinity in physics, mathematics, and philosophy]