Hướng dẫn giải và đáp án chuyên đề dãy số
Hướng dẫn:
ü Đây là các gợi ý và đáp số của các bài tập về nhà chuyên đề dãy số. Các bài giải chỉ mang tính gợi ý và đã được rút gọn. Một số bài tương tự thầy sẽ chỉ cung cấp đáp án. Phương pháp giải bài siêu tốc của từng dạng thầy đã hướng dẫn trong các buổi học.
ü Mỗi giáo viên có thể có những cách trình bày khác nhau. Khi làm bài ở trường chúng ta cần trình bày đúng theo cách mà thầy cô giáo trên lớp hướng dẫn.
Mặc dù thầy đã kiểm tra rất kỹ nhưng cũng có thể khi đánh máy sẽ có những lỗi sai.Bạn nào phát hiện ra lỗi đánh máy sai nào hãy báo cho thầy biết để chúng ta cùng chỉnh sửa.
TÌM SỐ CÁC SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ CÁCH ĐỀU
Chú ý:Công thức tìm số số hạng của dãy số cách đều:
Số số hạng = [số lớn nhất – số bé nhất] : khoảng cách + 1
1. Có bao nhiêu số tự nhiên liên tiếp kể từ :
a]1 đến 1945 ?
b]187 đến 718 ?
c]1000 đến 2000 ?
Đáp án: a]1945 b]532 c]1001
2. Có bao nhiêu số tự nhiên là :
a] Các số chẵn liên tiếp có hai chữ số ?
b] Các số lẻ liên tiếp có ba chữ số ?
c] Các số lẻ từ 1 đến 2001 ?
Giải:
a] Dãy các số chẵn liên tiếp có 2 chữ số là:
10,12,14,16,…,98
Số lượng các số chẵn có 2 chữ số là:
[98– 10] : 2 + 1 = 45
Cách làm câu [b] và [c] tương tự câu [a]
Đáp án: a]45 b]450 c]1001
3. Dãy số sau đây có bao nhiêu số hạng :
a] 1, 2, 3, 4, …., 98, 99, 100, 99, 98, …., 4, 3, 2, 1 ?
b] 1, 3, 5, 7, …., 95, 97, 99, 100, 98, …., 8, 6, 4, 2 ?
Đáp án: a]199 b]100
4. Cho dãy số 298, 295, 292, …., 7, 4, 1. Hỏi dãy này có bao nhiêu số hạng ?
Đáp án:100
5. Có bao nhiêu số gồm ba chữ số có tận cùng là 5 ?
Đáp án:90
6. Tìm tất cả các số chẵn có ba chữ số, biết rằng mỗi số đó đều chia hết cho 9 và thương là số có ba chữ số.
Giải:
Hướng dẫn suy luận:
_Số chẵn lớn nhất có 3 chữ số mà chia hết cho 9 là 990.
_Thương của 1 số chẵn với 9 cũng là 1 số chẵn mà thương của phép chia trên cũng là 1 số có 3 chữ số nên thương nhỏ nhất của phép chia trên là 100.Vậy số bị chia nhỏ nhất là:
100
Dãy các số chẵn có 3 chữ số mà mỗi số đó đều chia hết cho 9 và thương là số có 3 chữ số là:
900 , 918 , 936 , 954 , 972 , 990
7.Viết dãy các số chẵn, biết rằng mỗi số đó đều chia hết cho 9 và thương là số có ba chữ số. Dãy đó có bao nhiêu số hạng ?
Giải:
_Thương của 1 số chẵn với 9 cũng là 1 số chẵn. Dãy các số chẵn có 3 chữ số là:
100,102,104,…,998
Dãy các số chẵn chia hết cho 9 và thương là số có 3 chữ số là:
100x9 , 102x9 , 104x9 , … , 998x9
Hay : 900,918,936,…,8982
Số số hạng của dãy trên là:
[8982 – 900]: 18 + 1 = 450
8. Viết dãy các số lẻ, biết rằng khi chia mỗi số đó cho 5 thì được thương là số có ba chữ số, các số thương đều chia hết cho 3. Dãy đó có bao nhiêu số hạng ?
Giải:
Khi 1 số lẻ chia hết cho 5 thì sẽ được thương là 1 số lẻ.
Dãy các số lẻ có 3 chữ số mà chia hết cho 3 là:
105,111,117,123,…,999
Dãy các số lẻ chia hết cho 5 mà được thương là số có 3 chữ số mà các số thương đều chia hết cho 3 là:
105
Hay:
525 , 555 , 585 , 615 , … , 4995
Số các số hạng của dãy là:
[4995 – 525] : 30 + 1 = 150
Đáp số: Dãy số:525 , 555 , 585 , 615 , … , 4995
Số số hạng : 150
9. Trên một đoạn đường dài 1km 260m, trung bình cứ 20m lại có một cụm đèn chiếu sáng, mỗi cụm đèn giá 135 000 đồng. Hãy tính số tiền mua các cụm đèn đó, biết rằng ở hai đầu đường đều có cụm đèn.
Giải:
1km260m = 1260m
Số cụm đèn chiếu sáng trên đoạn đường là:
1260 : 20 + 1 = 64 [cụm đèn]
Số tiền mua cụm đèn đó là:
64 x 135000 = 8640000 [đồng]
Đáp án:8.640.000 đồng
2.TÍNH TỔNG CÁC SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ CÁCH ĐỀU
Chú ý:Công thức tính tổng của dãy số cách đều:
Tổng = [số đầu + số cuối]
10. Tính tổng của các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2000.
Đáp án:2001000
11. Tính tổng của các số :
a] Có hai chữ số.
b] Có ba chữ số.
Đáp án: a]4905 b]494550
12. Tỉnh tổng của các số lẻ liên tiếp từ 1 đến 2001.
Đáp án:1002001
13. Tính tổng của 100 số chẵn liên tiếp kể từ 2.
Đáp án:10100
14. Cho 100 số hạng của dãy số cách đều là 1, 4, 7, 10, … Tính tổng của 100 số đó.
Lời giải rút gọn:
Số hạng thứ 100 là: 1 + [100 – 1]
Tổng: [1 + 298]
Đáp án:14950
15. Tính tổng của các số gồm ba chữ số đều có tận cùng là 5.
Giải:
Dãy các số gồm 3 chữ số có tận cùng bằng 5 là:
105,115,125,…,995
Số số hạng của dãy số trên là:
[995 – 105]:10 + 1 = 90
Tổng của dãy số trên là:
[105 + 995]
Đáp án:49500
16. Tính tổng của các số gồm ba chữ số, các số đó đều chia hết cho 9.
Đáp án:55350
17. Tính tổng của các số gồm ba chữ số đều có tận cùng là 4, các số đó đều chia hết cho 4.
Đáp án:24480
18. Tính tổng của các số gồm ba chữ số, các số đều chia hết cho 5 có dư là 3.
Đáp án:99090
19. Một chiếc đồng hồ chỉ đánh chuông theo mỗi giờ đúng: 1 giờ điểm 1 tiếng chuông, 2 giờ điểm 2 tiếng chuông… 24 giờ điểm 24 tiếng chuông. Hỏi sau một ngày 1 đêm đống hồ đó đã điểm bao nhiêu tiếng chuông?
Giải:
Coi số tiếng chuông mỗi lần đánh là 1 số hạng của dãy số cách đều thì ta có dãy số cách đều đó là:
1,2,3,4,..,23,24
Tổng của dãy số cách đều trên hay tổng số tiếng chuông đánh trong 1 ngày là:
[1 + 24]
Đáp án:300 tiếng chuông
20. Một phòng học có số ghế được xếp theo các hàng như sau: hàng ghế đầu có 12 ghế, hàng thứ hai có 13 ghế, hàng thứ ba có 14 ghế… cứ xếp như thế cho đến hàng cuối cùng có 30 ghê. Hỏi phòng họp đó có đủ số ghế cho 390 người ngồi họp hay không?
Giải:
Coi số ghế mỗi hàng là các số hạng của 1 dãy số cách đều thì dãy số đó là:12,13,14,…,30
Số số hạng hay số hàng ghế của phòng học là:
[30 – 12]:1 + 1 = 19
Tổng của dãy số trên hay tổng số ghế của phòng học là:
[12 + 30]
Kết luận:phòng đủ chỗ cho 390 người ngồi học và thừa ra 9 ghế.
3. TÌM MỘT SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ CÁCH ĐỀU
Chú ý:Công thức tìm số hạng thứ n.
Đối với dãy số tăng dần:
Số hạng thứ n = Số đầu + [n – 1]
Đối với dãy số giảm dần:
Số hạng thứ n = Số đầu – [n – 1]
21. Người ta viết các số tự nhiên liên tiếp từ 1945. Hỏi số hạng thứ 2001 của dãy số là số nào?
Đáp án:3945
22. Người ta viết 200 số lẻ liên tiếp đầu tiên. Hỏi số hạng cuối cùng của dãy số là số nào?
Đáp án:399
23. Cho dãy số gồm các số chia 5 dư 2. Tìm số hạng thứ 300, biết rằng số hạng đầu tiên là số nhỏ nhất có hai chữ số.
Đáp án:1507
24. Cho dãy các số tự nhiên, mỗi số đều có tận cùng là 3. Tìm số hạng thứ 123, biết rằng số hạng đầu tiên là số nhỏ nhất có 3 chữ số.
Đáp án:1323
25. Người ta viết dãy các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n. Tìm n biết rằng tổng các số hạng đó bằng số có hai chữ số giống nhau.
Giải:
Áp dụng công thức tính tổng dãy số liên tiếp từ 1 đến n ta có:
[1 + n]
ð [1 + n]
ð [1 + n]
ð a = 5 hoặc a = 6
Thử TH1 với a = 5 ta có:
n
ð n = 10
Thử TH2 với a = 6 ta có:
n
ð n = 11
Đáp án:10 và 11
26. Có thể tìm được số tự nhiên n sao cho tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n bằng 999 được hay không?
Giải:
Áp dụng công thức tính tổng dãy số liên tiếp từ 1 đến n ta có:
[1 + n]
ð n
Vì không có tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nào có chữ số tận cùng bằng 8 nên không có giá trị nào của n thỏa mãn điều kiện.
27. Hãy viết dãy 10 số tự nhiên, biết số hạng đầu tiên là 10 và số hạng cuối cùng là 37, hiệu hai số liền nhau là một số không đổi.
Đáp án:10,13,16,19,22,25,28,31,34,37
28.Hãy viết dãy số cách đều, biết số hạng đầu tiên là 1 và số hạng thứ mười lăm là 57.
Đáp án:1,5,9,13,17,…
29. Tính tổng của dãy số cách đều có 10 số hạng:
a] Số hạng đầu tiên là 1 và số hạng thứ hai là 5.
b] Số hạng đầu tiên là 5 và số hạng cuối cùng là 50.
Đáp án: a]190 b]275
30. Cho dãy số tự nhiên gồm 11 số hạng có tổng bằng 176, biết rằng hiệu của số hạng cuối cùng và số hạng đầu tiên bằng 30. Hãy viết dãy số đó.
Giải:
Áp dụng công thức tính tổng ta được:
[số lớn nhất + số bé nhất]x11:2 = 176
ð số lớn nhất + số bé nhất = 176
Như vậy ta có biểu thức sau:
số lớn nhất + số bé nhất = 32
số lớn nhất – số bé nhất = 30
Áp dụng cách tìm 2 số biết tổng và hiệu ta được:
Số lớn nhất = [32 + 30 ]: 2 =31
Số bé nhất = [32 – 30]: 2 = 1
Áp dụng công thức tìm số số hạng ta có:
Số số hạng = [số lớn nhất – số bé nhất]: khoảng cách + 1
Khoảng cách = [số lớn nhất – số bé nhất] :[Số số hạng – 1]
Khoảng cách = [31 – 1]: [11 – 1] = 3
Dãy số phải tìm là:1 , 4 , 7 ,…, 31
Đáp án:1,4,7,10,…,28,31
31. Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp có tổng bằng 146.
Đáp án: 35,36,37,38
32. Tìm bốn số chẵn liên tiếp có tổng bằng 156.
Đáp án: 36,38,40,42
33. Tìm ba số lẻ liên tiếp có tích bằng 315.
Hướng dẫn:
315
3 số hạng này phải là số có 1 chữ số vì nếu 3 số hạng này là số có 2 chữ số thì tích của chúng sẽ lớn hơn 1000.
Ta có các bộ số sau: [1,3,5] ; [3,5,7];[5,7,9]
Nhận thấy chỉ có: 5x7x9 = 315 , nên 3 số cần tìm là 5,7,9
Đáp án: 5,7,9
34. Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp có tích bằng 3024.
Hướng dẫn:
4 số hạng này sẽ phải là số có 1 chữ số vì nếu là số có 2 chữ số trở lên thì tích của chúng sẽ lớn hơn 10000
4 số tự nhiên liên tiếp có tích có chữ số tận cùng là 4 thì chỉ có 2 cặp đó là [1,2,3,4] và [6,7,8,9]
Thử TH1 : 1x2x3x4 = 24
Thử TH2: 6x7x8x9 = 3024
Vậy 4 số tự nhiên liên tiếp đó là:6,7,8,9
Đáp án:6 ; 7; 8; 9
35.a] Số 916 có thể là tích của ba số tự nhiên liên tiếp hay không ? Vì sao ?
b] Số 1935 có thể là tích của ba số tự nhiên liên tiếp hay không ? Vì sao ?
c] Số 13579 có thể là tổng của ba số tự nhiên liên tiếp hay không ? Vì sao ?
Hướng dẫn:
a] Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp sẽ phải chia hết cho 3 nhưng 916 không chia hết cho 3 nên 916 không phải là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp
b]1935 không thể là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp vì tích của 3 số tự nhiên liên tiếp sẽ có chữ số tận cũng là số chẵn.
c] Tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp sẽ chia hết cho 3 nhưng 13579 lại không chia hết cho 3 nên 13579 không thể là tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp.
36. Hãy viết dãy số cách đều, biết rằng ba số hạng đầu tiên có tổng bằng 15 và có tích bằng 80.
Đáp án: 2,5,8,11,14…
5. DÃY SỐ CÁCH ĐỀU VÀ CHỮ SỐ
37. Bạn Khôi viết dãy số cách đều là 1, 5, 9, 13, …, 1001. Hỏi bạn Khôi đã viết tất cả bao nhiêu chữ số.
Đáp án:726
38. Người ta tính rằng phải dùng 2001 chữ số để ghi số trang một quyển sách. Hỏi quyển sách đó dày bao nhiêu trang?
Đáp án:703
39. Bạn Tú viết dãy số tự nhiên liên tiếp kể từ 1.Hỏi chữ số thứ 6897 của dãy số đó là chữ số nào?
Đáp án: 1
40. Bạn Minh Anh viết dãy số tự nhiên liên tiếp kể từ 1.Hỏi chữ số thứ 1000 của dãy số đó là chữ số nào?
Đáp số: 2
41. Bạn Quang viết dãy số chẵn liên tiếp kể từ 2.Hỏi chữ số thứ 2002 của dãy số đó là chữ số nào?
Giải:
Các số chẵn từ 2 đến 8 có : 4 cs
Các số chẵn từ 10 đến 98 có : 45 x 2 = 90 cs
Các số chẵn từ 100 đến 998 có : 450 x 3 = 1350 cs
Các số chẵn từ 1000 đến 9998 có : 4500x4 = 18000 cs.
Chữ số thứ 2002 sẽ thuộc 1 chữ số chẵn nằm trong khoảng từ 1000 đến 9998.
2002 có thể viết được số các số chẵn có 4 cs là:
[2002 – [4 + 90 + 1350]]:4 = 139 [dư 2]
Dãy số chẵn có 4 cs là:
1000,1002,1004,….
Số hạng thứ 139 là:
1000 + [139 – 1]x2 = 1276
Số hạng thứ 140 là 1278
Chữ số thứ 2002 là số 2
Đáp số: 2
42. Viết dãy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 99. Tính tổng của tất cả các chữ số của dãy số đó.
Giải:
Đối với các số từ 1 đến 9 ta thêm 1 chữ số 0 vào đằng trước ta sẽ được 1 dãy số như sau:
01,02,03,04,05,06,07,08,09,10,11,12,13,…,99
Nhận xét:
Số lần xuất hiện của các chữ số {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ở hàng chục và hàng đơn vị là 10 lần nên ta có tổng của các chữ số như sau:
[0+1+2+…+9]x10 + [0+1+2+3+…+9]x10 = 900
Đáp án:900
43. Cho dãy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến N. Tìm số N sao cho số chữ số của dãy đó gấp 4 lần số N.
Giải:
Để số chữ số gấp 4 lần số số hạng thì trung bình 1 số phải có 4 chữ số.
Từ 1 đến 9 có 9 số gồm 1 chữ số.Mỗi số đó cần phải viết thêm 3 chữ số. Nên số chữ số cần viết thêm là:
3x9 = 27 [chữ số]
Từ 10 đến 99 có 90 số gồm hai chữ số.Mỗi số cần viết thêm 2 chữ số. Nên số chữ số cần viết thêm là:
2x90 = 180 [chữ số]
Từ 100 đến 999 có 900 số gồm 3 chữ số.Mỗi số cần viết thêm 1 chữ số. Nên số chữ số cần viết thêm là:
1 x 900 = 900 [chữ số]
Từ 1000 đến 9999 có 9000 số có 4 chữ số. Vì mỗi số đều gồm 4 chữ số nên số chữ số của dãy từ 1000 đến 9999 gấp 4 lần số các số hạng của dãy số đó.
Số lượng các chữ số cần bù để đảm bảo mỗi số có 4 chữ số là:
27 + 180 + 900 = 1107
Số N cần tìm là:
10000 + 1107 – 1 = 11106
Đáp số: 11106
44. Cho các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 101. Tính giá trị biểu thức một cách hợp lý :
a] 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 98 + 99 + 100 + 101
b] 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + … + 97 – 98 + 99 – 100 + 101,
trong đó lần lượt cứ một phép từ lại một phép cộng, rồi
lại phép trừ và phép cộng.
Giải:
a] Tổng của dãy số này là:
[1 + 101]x101 : 2 = 5151
b] Ta thay đổi vị trí các phép toán như sau:
S = 1 + [3 – 2] + [5 – 4]+[7 – 6]+…+[101 – 100]
S = 1 + 50
Đáp án: a]5151 b]51
45. Tính giá trị biểu thức một cách hợp lý :
10 – 12 + 14 – 16 + 18 – 20 + … + 90 – 92 + 94 – 96 + 98,
trong đó lần lượt cứ một phép trừ lại một phép cộng, rồi lại phép trừ và phép cộng.
Đáp án:54
46. Tính giá trị biểu thức một cách hợp lý :
1 + 2 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7 – 8 + 9 + … + 1997 + 1998 – 1999 – 2000 + 2001 + 2002.
Đáp số : 2003
47. Bạn Hòa viết biểu thức :
1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 = 21
Bạn Bình viết biểu thức :
1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 = 20
Trong đó dấu [*] chỉ dấu [+] hoặc dấu [-]. Hỏi ai đúng, ai sai ?Hãy điền dấu [+] và [-] vào dấu [*] để có biểu thức đúng.
Đáp án:Bình sai,Hòa đúng.
Biểu thức đúng là:1+2+3+4-5+6-7+8+9=21
48. Tìm số tự nhiên a, biết:
[a
Trong đó 1, 4, 7, 10, …, 28 là dãy số cách đều.
Đáp số: a=1
49. Cho dãy số cách đều 1, 4, 7, 10, …, x.Tìm x biết rằng tổng các số hạng của dãy đó bằng 117.
Đáp số: 25
50. Cho dãy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n. Tìm n và ab, biết:
1 + 2 + 3 + 4 + … + n =
Đáp số: 100 và 101
51. Tìm x biết:
[ x + 9 ] + [ x – 2 ] + [x + 7 ] + [ x – 4 ] + [ x + 5 ] + [ x – 6 ] + [x + 3 ] +[ x – 8 ] + [ x + 1 ] = 95.
Đáp số: x = 10
52. Tính nhanh:
10,11 + 11,12 + 12,13 + … + 97,98 + 98,99 + 99,100.
Hướng dẫn giải:
Ta ghép các cặp số sau để tính tổng:
10,11 + 97,98 = 108,09
11,12 + 96,97 = 108,09
12,13 + 95,96 = 108,09
…
53,54+ 54,55 = 108,09
108,09
Tổng của biểu thức là:
4755,96 + 98,99 + 99,100 = 4954,05
Đáp số: 4954,05
53. Tính giá trị biểu thức một cách hợp lý:
1,3 – 3,2 + 5,1 – 7 + 8,9 – 10,8 + … + 35,5 – 37,4 + 39,3 – 41,2 + 43,1.
Đáp số: 43,1
54. Viết dãy số cách đều có 10 số hạng, biết rằng tổng các số hạng thứ 1, 3, 5, 7 và 9 bằng 12,5 ; tổng các số hạng thứ 2, 4 ,6 , 8 và 10 bằng 15.
Đáp án:0,5 ; 1 ; 1,5 ; 2 ; 2,5 ; 3 ;3,5 ; 4 ; 4,5 ; 5
55. Cho các số tự nhiên liên tiếp kể từ 1 được phân thành từng nhóm:
[ 1 ; 2 ], [ 3 ; 4 ; 5 ], [ 6 ; 7 ; 8 ; 9 ], [ 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ], ….
Tính tổng các số hạng đã cho của nhóm thứ 10.
Đáp án:660
56. Cho N=123456789101112…99100[viết các STN liên tiếp]. Phải xóa 100 số nào để số tự nhiên còn lại là số lớn nhất. Viết số đó.