Vecto pháp tuyến đơn vị là gì

Đối với bài toán yêu cầu viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng thì việc xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng là điều rất quan trọng. Đây là một trong những điều kiện giúp cho chúng ta có thể tìm được phương trình đường thẳng, tuy nhiên cũng không phải là yêu cầu bắt buộc phải có nó thì mới viết được phương trình đường thẳng. Chúng ta còn có những cách khác nữa và tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể.

Trong bài giảng này thầy sẽ giúp chúng ta hiểu hơn về vectơ pháp tuyến của đường thẳng, đồng thời chỉ ra cho các bạn biết một số trường hợp có thể gặp để xác định được vectơ pháp tuyến.

Bài giảng: Phương trình đường thẳng trong không gian

1. Vectơ pháp tuyến là gì ?

Vectơ pháp tuyến: Vectơ $\vec{n}$ khác vectơ – không, có giá vuông góc với đường thẳng $d$ gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$.

• Nếu $\vec{n}$ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$ thì $k.\vec{n}$ ( với k khác 0) cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó.
• Một đường thẳng được xác định nếu biết một điểm nằm trên nó và một vectơ pháp tuyến của nó

Cụ thể như sau:

Nếu  $\vec{n} =(1;2)$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$ thì $\vec{n_1} =(2;4) =2\vec{n}$; $\vec{n_2} =(-2;-4) =-2\vec{n}$; $\vec{n_3} =(\frac{1}{4};\frac{1}{2}) =\frac{1}{4}\vec{n}$… cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$.

Tham khảo bài giảng:

2. Xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Dạng 1:

Nếu bài toán cho đường thẳng ở dạng tổng quát $ax+by+c=0$ với $a^2+b^2\neq 0$ thì vectơ pháp tuyến của đường thẳng này sẽ là $\vec{n}=(a;b)$

Dạng 2:

Nếu bài toán cho đường thẳng ở dạng phương trình tham số $\left\{\begin{array}{ll}x=x_0+at\\y=y_0+bt\end{array}\right. t\in Z; (a^2+b^2\neq 0)$

hoặc ở dạng phương trình chính tắc $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}$   $(a\neq 0, b\neq 0)$ thì ta tìm vectơ pháp tuyến thông qua vectơ chỉ phương của đường thẳng.

Vectơ chỉ phương của đường thẳng trong trường hợp này là $\vec{u}=(a;b)$, khi đó vectơ pháp tuyến của đường thẳng sẽ là $\vec{n}=(-b;a)$ hoặc $\vec{n}=(b;-a)$

Dạng 3:

Nếu bài toán yêu cầu viết phương trình đường thẳng $d$ biết $d$ vuông góc với một đường thẳng $d’$ có phương trình: $ax+by+c=0$ thì ta làm như sau:

• Xác định vectơ pháp tuyến của $d’$ là: $\vec{n}(a;b)$
• Suy ra vectơ chỉ phương của đường thẳng $d’$ là: $\vec{u}=(-b;a)$ hoặc $\vec{u}=(b;-a)$
• Vì 2 đường thẳng vuông góc với nhau nên vectơ chỉ phương của đường thẳng này là vectơ pháp tuyến của đường thẳng kia và ngược lại. Do đó vectơ pháp tuyến của $d$ chính là vectơ chỉ phương $\vec{u}=(-b;a)$ của $d’$

Đường thẳng vuông góc với đường thẳng thường liên quan tới khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng, liên quan tới các đường trong tam giác như: đường cao, đường trung trực, hai đường phân giác trong và phân giác ngoài của cùng một góc, đường tiếp tuyến với đường tròn. Tính chất của các hình như: hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình thang, hình vuông

Dạng 4:

Nếu bài toán yêu cầu viết phương trình đường thẳng $d$ biết $d$ song song với một đường thẳng $d’$ có phương trình: $ax+by+c=0$ thì ta làm như sau:

• Xác định vectơ pháp tuyến của $d’$ là: $\vec{n}(a;b)$
• Vì 2 đường thẳng song song với nhau nên vectơ pháp tuyến của đường thẳng này chính là vectơ pháp tuyến của đường thẳng kia và ngược lại. Do đó vectơ pháp tuyến của $d$ chính là vectơ $\vec{n}=(a;b)$ của $d’$

Đường thẳng song song với đường thẳng thường liên quan tới các đường như: đường trung bình trong tam giác, đường trung bình trong hình thang, tính chất của các hình như: hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình thang, hình vuông, tính chất từ vuông góc tới song song.

Xem thêm: Tọa độ trong mặt phẳng

Đó là những phương pháp cơ bản mà chúng ta thường gặp trong việc xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng khi viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Oxy. Bài viết này chỉ là tập hợp lại kiến thức rơi vãi ở một số nơi, giúp các bạn có cái nhìn tổng quan hơn trong việc đi tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng. Điều mà nhiều bạn rất cần để có cái nhìn tổng quan hơn.

SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ

Trong hình học, pháp tuyến (hay trực giao) là một đối tượng như đường thẳng, tia hoặc vectơ, vuông góc với một đối tượng nhất định. Ví dụ, trong hai chiều, đường pháp tuyến của một đường cong tại một điểm nhất định là đường thẳng vuông góc với đường tiếp tuyến với đường cong tại điểm đó. Một vectơ pháp tuyến có thể có chiều dài bằng một (một vectơ pháp tuyến đơn vị) hoặc không. Dấu đại số của nó có thể biểu thị hai phía của bề mặt (bên trong hoặc bên ngoài).

Vectơ u→u→ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ΔΔ nếu u→≠0→u→≠0→ và giá của u→u→ song song hoặc trùng với 

Công thức tính vecto pháp tuyến

1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

* Cho mặt phẳng (P) , vectơ  $\overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0}$ mà giá của nó vuông góc với mặt phẳng (P) thì $\overrightarrow{n}$ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

* Cho mặt phẳng (P) , cặp vectơ  $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}$, $\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}$ không cùng phương mà giá của chúng là hai đường thẳng song song hay nằm trong mặt phẳng (P) được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P). Khi đó vectơ $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right]$. là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

* Nếu $\overrightarrow{a}$ = (a1;  a2 ; a3) , $\overrightarrow{b}$ = (b1 ; b2 ; b3) thì :

$\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right]=(\left|\begin{array}{cc}{a}_2& a_3\\ b_2& b_3\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}{a}_3& a_1\\ b_3& b_1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ b_1& b_2\end{array}\right|)$

= (a2b3 – a3b2 ; a3b1 – a1b3 ; a1b2 – a2b1).

* Mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó, hay một điểm thuộc mặt phẳng và cặp vectơ chỉ phương của nó.

2. Phương trình mặt phẳng

* Mặt phẳng  (P) qua điểm M0 (x0 ; y0 ; z0)  và nhận $\overrightarrow{n}$ (A, B, C) làm vectơ pháp tuyến có phương trình có dạng:       A(x  –  x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0

* Mọi mặt phẳng trong không gian có phương trình tổng quát có dạng :

Ax + By + Cz +D = 0  ở đó  A2+ B2 + C2  > 0.

Khi đó vectơ $\overrightarrow{n}$(A ; B ; C) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

* Mặt phẳng đi qua ba điểm M(a ; 0 ; 0), N( 0 ; b ; 0), C(0 ; 0 ; c) ở đó abc ≠ 0 có phương trình :$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$. Phương trình này còn được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắ

3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng.

Cho hai mặt phẳng (P1) và (P2) có phương trình :

(P1)    :    A1x + B1y  + C1z + D1 = 0;

(P2)    :    A2x + B2y  + C2z + D2 = 0.

Ta có $\overrightarrow{n_1}$(A1 ; B1 ; C1) ⊥  (P1) và $\overrightarrow{n_2}$(A2 ; B2 ; C2) ⊥  (P2) . Khi đó:

(P1) ⊥  (P2)  ⇔ $\overrightarrow{n_1}\perp \overrightarrow{n_2}$ ⇔ $\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}$  ⇔ A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0

(P1) // (P2)  ⇔  $\overrightarrow{n_1}=k.\overrightarrow{n_2}$ và  D1 ≠ k.D2 (k ≠ 0).

(P1) ≡ (P2)  ⇔ $\overrightarrow{n_1}=k.\overrightarrow{n_2}$  và  D1 = k.D2.

(P1) cắt (P2)  ⇔  $\overrightarrow{n_1}\ne k.\overrightarrow{n_2}$ (nghĩa là $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ không cùng phương).

4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P) có phương trình:

Ax + By + Cz +D = 0 và điểm M0 (x0 ; y0 ; z0). Khoảng cách từ M0 đến (P) được cho bởi công thức:

$d(M_0,P)=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.

5. Góc giữa hai  mặt phẳng.

Cho hai mặt phẳng (P1) và (P2) có phương trình :

(P1)    :    A1x + B1y  + C1z + D1 = 0;

(P2)    :    A2x + B2y  + C2z + D2 = 0.

Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (P1) và (P2)  thì 0 ≤ φ ≤ 900 và :

$cos\phi =|cos\widehat{\left(\stackrel{}{},\stackrel{}{}\right)}|=\frac{|A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2+D|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}.\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}$

Vecto chỉ phương và vecto pháp tuyến

tag: chuyển sang gia tốc vector đổi hóa quanh việc véc tơ viết ném ngang diện tích s khấu hao