Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng

CáchLập phương trình đường thẳng d qua A cắt d và vuông góc với[hoặc song song với [P]]

Phương pháp giải viết phương trình đường thẳng d qua A

Giả sửdcắt d tại điểmB, gọi tọa độ điểm $B\in d$theo tham số, ta có $\overrightarrow{AB}\bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=0\Rightarrow $tọa độ điểm B, phương trình đường thẳng cần tìm là AB.

Chú ý:Trong trường hợpd//[P]ta có $\overrightarrow{AB}\bot \overrightarrow{{{n}_{[P]}}}\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{n}_{[P]}}}=0$

Bài tập lập phương trình đường thẳng trong hệ trục tọa độ OXYZ có đáp án chi tiết

Lời giải chi tiết

Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=[2;1;-1]$. Gọi $H[1+2t;-1+t;-t]\in \Delta $là giao điểm của d và

Suy ra $\overrightarrow{MH}=[2t-1;t-2;-t]$, do $\overrightarrow{MH}\bot \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\Rightarrow \overrightarrow{MH}.\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=0$

$\Leftrightarrow 2[2t-1]+[t-2]-[-t]=0\Leftrightarrow t=\frac{2}{3}\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\frac{1}{3}[1;-4;-2]$

Do đó $d\equiv MH:\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{-4}=\frac{z}{2}$.

Lời giải chi tiết

Gọi $H[2+2t;1+t;3+2t]\in d\Rightarrow \overrightarrow{AH}=[1+2t;t-1;4+2t]$

Ta có: $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=4t+2+t-1+4t+8=0\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow H[0;0;1]\Rightarrow AH:\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{-2}$.Chọn D.

Lời giải chi tiết

Gọi $\Delta $là đường thẳng cần tìm, ta có $B=\Delta \cap Ox\Rightarrow B[x;0;0]$

Khi đó $\overrightarrow{AB}=[x-1;-2;-3],\overrightarrow{{{u}_{d}}}=[2;1;-2]$

Do $\Delta \bot d\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=2[x-1]-2+6=0\Leftrightarrow x=-1\Rightarrow B[-1;0;0]\Rightarrow \overrightarrow{AB}[-2;-2;-3]$

Vậy $\Delta :\left\{ \begin{array}{} x=-1+2t \\{} y=2t \\{} z=3t \\ \end{array} \right.$.Chọn A.

Lời giải chi tiết

Gọi $H[1+t;t;-1+2t]\in d$là hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d

Ta có: $\overrightarrow{AH}=[t;t;2t-3]$suy ra $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=t+t+4t-6=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow H[2;1;1];\overrightarrow{AH}=[1;1;-1]$

Suy ra $\Delta \equiv AH:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{-1}$.Chọn B.

Lời giải chi tiết

Giả sử d cắt và vuông góc với $\Delta $tại $H[1+2t;-1+t;-t]\in \Delta $

Khi đó: $\overrightarrow{MH}=[2t-1;t-2;-t]$, do $\overrightarrow{MH}\bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow{MH}.\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=2[2t-1]+t-2+t=0$

$\Leftrightarrow 6t=4\Leftrightarrow t=\frac{2}{3}\Rightarrow \overrightarrow{MH}=\left[ \frac{1}{3};-\frac{4}{3};-\frac{2}{3} \right]\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{MH}}}=[1;-4;-2]$

Vậy $d:\left\{ \begin{array}{} x=2+t \\{} y=1-4t \\{} z=-2t \\ \end{array} \right.$.Chọn A.

Lời giải chi tiết

Giả sử đường thẳng cắt trục Oz tại B[0;0;a]. Ta có $\overrightarrow{AB}=[-1;-2;a-3]$

Mà d song song với [P] $\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{n}_{P}}}=0\Leftrightarrow 2.[-1]+1.[-2]-4[a-3]=0\Leftrightarrow a=2\Rightarrow B[0;0;2]$

Khi đó $\overrightarrow{AB}=[-1;-2;-1]\Rightarrow AB:\left\{ \begin{array}{} x=t \\{} y=2t \\{} z=2+t \\ \end{array} \right.$.Chọn B.

Lời giải chi tiết

Gọi [P] là mặt phẳng qua $A[1;2;3]$và vuông góc với ${{d}_{1}}\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{P}}}=[2;-1;1]\Rightarrow [P]:2x-y+z-3=0$

Khi đó gọi $B=[P]\cap {{d}_{2}}$. Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ PT sau:

$\left\{ \begin{array}{} 2x-y+z-3=0 \\{} \frac{x-1}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{1} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{} x=2 \\{} y=-1\Rightarrow B[2;-1;-2] \\{} z=-2 \\ \end{array} \right.$

Đường thẳng cần lập chính là đường thẳng AB: qua $A[1;2;3]$và có vecto chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{AB}}}=[1;-3;-5]$

$\Delta \equiv AB:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z-3}{-5}$là đường thẳng cần tìm.Chọn D.

Chú ý:Đối với bài toán viết phương trình đường thằng $\Delta $nằm trong mặt phẳng [P], đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng d ta làm như sau:

nBước 1:Tìm giao điểmAcủadvà mặt phẳng[P]

nBước 2:Do $\left\{ \begin{array}{} \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\bot \overrightarrow{{{n}_{[P]}}} \\{} \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{[P]}}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]$, dường thẳng cần tìm đi quaAvà có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}$

Lời giải chi tiết

Gọi $M=[\Delta ]\cap [d]\Rightarrow M\in d\Rightarrow M[2t-1;t;3t-2]$

Mà $M\in [P]\Leftrightarrow 2t-1+2t+3t-2-4=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow M[1;1;1]$

Ta có $\left\{ \begin{array}{} \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\bot \overrightarrow{{{n}_{[P]}}} \\{} \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{[P]}}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=[5;-1;-3]\Rightarrow $phương trình $\Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-1}{-3}$.Chọn A.

Lời giải chi tiết

Gọi $M=[\Delta ]\cap [d]\Rightarrow M\in d\Rightarrow M[-1+2t;-t;-2+2t]$

Mà $M\in [P]\Leftrightarrow [-1+2t]+[-t]-[-2+2t]+1=0\Rightarrow t=2\Rightarrow M[3;-2;2]$

Ta có $\left\{ \begin{array}{} \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\bot \overrightarrow{{{n}_{[P]}}} \\{} \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{[P]}}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=[-1;4;3]\Rightarrow $phương trình $\Delta :\left\{ \begin{array}{} x=3+t \\{} y=-2-4t \\{} z=2-3t \\ \end{array} \right.$.Chọn C.

Lời giải chi tiết

Gọi d là đường thẳng cần tìm, gọi $A=d\cap [\alpha ]\Rightarrow A\in d'$

Ta có $d:\left\{ \begin{array}{} x=1+t \\{} y=2+2t \\{} z=3+t \\ \end{array} \right.[t\in \mathbb{R}]\Rightarrow A[t+1;2t+2;t+3]$

Mà $A\in [\alpha ]\Rightarrow [t+1]+[2t+2]-[t+3]-2=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow A[2;4;4]$

Lại có $\left\{ \begin{array}{} \overrightarrow{{{u}_{d}}}=[1;2;1] \\{} \overrightarrow{{{n}_{[\alpha ]}}}=[1;1;-1] \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{n}_{[\alpha ]}}} \right]=[-3;2;-1]$là một VTCP của d

Kết hợp với d qua $\Rightarrow A\left[ 2;4;4 \right]\Rightarrow d:\frac{x-2}{-3}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-4}{-1}\Leftrightarrow \frac{x-5}{3}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z-5}{1}$.Chọn A.