Viết phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng lớp 11

21:22:5327/09/2021

Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với đường thẳng cho trước cũng là một dạng toán về phương trình đường tròn mà chúng ta thường gặp.

Khối A (KhoiA) sẽ giới thiệu với các em cách viết viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với đường thẳng cho trước qua bài này một cách ngắn gọn, chi tiết và đẩy đủ để các em tham khảo.

I. Cách viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với đường thẳng

Giả sử đường tròn (C) có tâm I(a; b); bán kính R và và đường thẳng (d) cho trước

Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng (d):

Để viết phương trình tiếp tuyến Δ của đường tròn (C) vuông góc với đường thẳng (d): Ax + By + C = 0 ta thực hiện như sau:

- Bước 1: Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn (C).

- Bước 2: Vì Δ ⊥ (d): Ax + By + C = 0 nên Δ có vectơ pháp tuyến là vectơ chỉ phương của (d):

 Khi đó phương trình tiếp tuyến Δ có dạng: Bx - Ay + c1 = 0

- Bước 3: Vì Δ tiếp xúc với đường tròn (C) nên d(I,Δ) = R. Giải phương trình này ta tìm được c1.

II. Bài tập vận dụng viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với đường thẳng

* Bài tập 1 (Bài 6 trang 84 SGK Hình học 10): Cho đường tròn C có phương trình: x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) vuông góc với đường thẳng: 3x – 4y + 5 = 0.

> Lời giải:

- Ta có: x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0

⇔ (x2 – 4x + 4) + (y2 + 8y + 16) = 25

⇔ (x – 2)2 + (y + 4)2 = 25.

Vậy (C) có tâm I(2 ; –4), bán kính R = 5.

- Gọi tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): 3x – 4y + 5 = 0 cần tìm là (Δ).

- Ta có (d) có VTPT 

- Vì (Δ) ⊥ (d) nên có VTPT 

Vậy phương trình tiếp tuyến (Δ) có dạng: 4x + 3y + c = 0.

(C) tiếp xúc với (Δ) ⇒ d(I; Δ) = R

 

 

Vậy (Δ) : 4x + 3y + 29 = 0 hoặc 4x + 3y – 21 = 0.

* Bài tập 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x2 + y2 - 4x + 8y - 5 = 0. Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d); 3x + 4y + 21 = 0

> Lời giải:

- Ta có: x2 + y2 - 4x + 8y - 5 = 0

 ⇔ (x2 - 4x + 4) + (y2 + 2.4y + 16) - 25 = 0

 ⇔ (x - 2)2 + (y + 4)2 = 52

Nên đường tròn (C) có tâm I(2;-4) và bán kính R = 5.

Tiếp tuyến Δ vuông góc với (d): 3x+ 4y + 21 = 0 nên Δ nhận VTCP của (d) làm VTPT, có: 

Khi đó phương trình tiếp tuyến Δ có dạng: 4x - 3y + c = 0.

Vì Δ tiếp xúc với đường tròn (C) nên khoảng cách từ tâm I tới đường thẳng Δ bằng R: d(I,Δ) = R

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa yêu cầu là:

4x - 3y + 5 = 0 và 4x - 3y - 45 = 0.

Như vậy KhoiA.Vn đã giới thiệu với các em về cách viết về cách viết phương trình tiếp tuyến của đương tròn vuông góc với đường thẳng, hy vọng giúp các em hiểu bài hơn. Nếu có câu hỏi hay góp ý các em hãy để lại bình luận dưới bài viết nhé, chúc các em thành công.

I. Phương trình tiếp tuyến là gì?

Tiếp tuyếncủa một đường cong tại một điểm bất kì thuộc đường cong là một đường thẳng chỉ "chạm" vào đường cong tại điểm đó. Tiếp tuyến như một đường thẳng nối một cặp điểm gần nhau vô hạn trên đường cong. Chính xác hơn, một đường thẳng là một tiếp tuyến của đường congy=f(x) tại điểmx=ctrên đường cong nếu đường thẳng đó đi qua điểm (c,f(c)) trên đường cong và có độ dốcf'(c) vớif' là đạo hàm củaf.

Khi tiếp tuyến đi qua điểm giao của đường tiếp tuyến và đường cong trên, được gọi làtiếp điểm, đường tiếp tuyến "đi theo hướng" của đường cong, và do đó là đường thẳng xấp xỉ tốt nhất với đường cong tại điểm tiếp xúc đó.

Mặt phẳng tiếp tuyến của mặt cong tại một điểm nhất định là mặt phẳng "chỉ chạm vào" mặt cong tại điểm đó.

- Hệ số góc kcủa tiếp tuyến chính làf′(x). Vậy khi bài toán cho hệ số góc k thì các bạn sẽ đi giải phương trình sau:
f′(x0) = k; với x0là hoành độ tiếp điểm.

Giải phương trình này các bạn sẽ tìm đượcx0, từ đó sẽ tìm đượcy0.

Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tai điểm M(x0;y0).

Khi đóphương trình tiếp tuyến của (C)tại điểmM(x0;y0)lày = y′(x0)(x−x0) + y0

Nguyên tắc chung để lập được phương trình tiếp tuyến ta phải tìm đượchoành độ tiếp điểmx

Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểmx0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểmM0(x0; f(x0))

Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểmM0(x0; f(x0)) là:

y - y0 = (f'(x0)(x-x0) (y0 = f(x0)

Nếu (C1) : y = px + q và (C2) : y = ax2 + bx + c thì (C1) và (C2) tiếp xúc nhau

<=>phương trình ax2 + bx + c = px + q có nghiệm kép.

II. Các dạng toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Phương trình tiếp tuyến được chia thành 3 dạng cơ bản là:

+ Viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm M

+Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A cho trước

+Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k

Viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm M(x0,y0) có dạng:

y=f‘(x0)(x−x0)+y0(1)

Trong đó f‘(x0) là đạo hàm của hàm số tại điểm x0.

x0;y0là hoành độ, tung độ của tiếp điểm M.

Như vậy với bài tập yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến thì ta phải tìm 3 đại lượng, là: f′(x0);x0 và y0.

Viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm cho trước M(x0,y0)

Cách làm: Bài toán yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm M(x0,y0) thì công việc cần làm là tìm f′(x0);x0và y0, trong đó x0,y0chính là tọa độ của điểm M, vì vậy chỉ cần tính f′(x0), rồi thay vào phương trình (1) là xong.

Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm

Cho đồ thị hàm số y=f(x), viết phương trình tiếp tuyến Δ của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua A(a,b)

Phương pháp:

Gọi phương trình tiếp tuyến của Δ có dạng: f'x0(x - x0) + y0

Và có tiếp điểm M0(x0,y0)

Vì A(a,b) thuộc tiếp tuyến nên thay tọa độ A vào phương trình ta có:

b=f′x0(a–x0)+fx0với fx0=y0

Phương trình này chỉ chứa ẩn x0, do đó chỉ cần giải phương trình trên để tìm x0.

Sau đó sẽ tìm được f′x0và y0.

Tới đây phương trình tiếp tuyến của chúng ta đã tìm được

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k

Để viết phương trình tiếp tuyến Δ của đồ thị (C) y = f(x) khi hệ số góc k ta làm theo các bước sau:

Bước 1: Tính đạo hàm f’(x)

Bước 2: Giải phương trình f’(x) = k để tìm hoành độ x0của tiếp điểm. Từ đây suy ra tọa độ điểm M0(x0;y0) với y0=f(x0)

Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến Δ tại tiếp điểm M0(x0;y0):

y=f′(x0)(x–x0)+y0

Chú ý: Tính chất của hệ số góc k của tiếp tuyến

Phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b nên tiếp tuyến có hệ số góc k=a. Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua tiếp điểm M(x0,y0) là y=a(x−x0)+y0

Phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

III. Bài tập

Bài 1:

Hướng dẫn:

Tập xác định: D = R

Đạo hàm: y’ = x2+ 6x

Ta có:

k = -9⇔ y’(xo) = - 9

⇔ xo2+ 6xo= -9

⇔ (xo+ 3)2= 0

⇔ xo= -3⇒ yo= 16

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là (d): y = -9(x + 3) + 16 = -9x – 11

Bài 2:

Hướng dẫn:

1.Hàm số đã cho xác định D = R

Gọi (t) là tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số và (t) vuông góc với đường thẳng y = (1/6)x - 1, nên đường thẳng (t) có hệ số góc bằng -6

Cách 1: Gọi M(xo; yo) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến (t) và đồ thị (C) của hàm số . Khi đó, ta có phương trình:

y’(xo) = -6⇔ -4xo3- 2xo= -6⇔ (xo-1)(2xo2+2xo+3) = 0(*).

Vì 2xo2+ 2xo+ 3 > 0∀xo∈ R nên phương trình

(*)⇔ xo= 1⇒ yo= 4⇒ M(1;4)

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -6(x – 1) + 4 = -6x + 10

Cách 2: Phương trình (t) có dạng y = -6x + m

(t) tiếp xúc (C) tại điểm M(xo; yo) khi hệ phương trình sau có nghiệm xo

2.Hàm số đã cho xác định D = R