- LG a
- LG b
Trong mặt phẳng \[Oxy\] cho \[\vec v=[-2;1]\], đường thẳng \[d\] có phương trình \[2x-3y+3=0\], đường thẳng \[d_1\] có phương trình \[2x-3y-5=0\].
LG a
Viết phương trình của đường thẳng \[d\] là ảnh của \[d\] qua \[T_{\vec v}\].
Phương pháp giải:
Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến:
Trong mặt phẳng \[Oxy\] cho điểm \[M[x;y]\] và vectơ \[\vec v[a;b]\]. Gọi điểm \[M=[x;y]=T_{\vec v}[M]\].
Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right.\].
Sử dụng lý thuyết phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
- Gọi phương trình \[d'\].
- Lấy một điểm \[A \in d\], tìm ảnh \[A'\] của \[A\] qua \[{T_{\overrightarrow v }}\].
- Cho \[A' \in d'\] và suy ra phương trình của \[d'\].
Lời giải chi tiết:
Lấy một điểm thuộc \[d\], chẳng hạn \[M=[0;1]\].
Khi đó \[M=T_{\vec v}[M]\]
\[=[0-2;1+1]=[-2;2] \in d\].
Vì \[d\]song song với \[d\] nên phương trình của nó có dạng \[2x-3y+C=0\].
Do \[M\in d\]nên \[2.[-2]-3.2+C=0\] từ đó suy ra \[C=10\].
Do đó \[d\]có phương trình \[2x-3y+10=0\].
LG b
Tìm tọa độ của \[\vec w\] có giá vuông góc với đường thẳng \[d\] để \[d_1\] là ảnh của \[d\] qua \[T_{\vec w}\].
Phương pháp giải:
Tính chất của phép tịnh tiến: Phép tịnh tiến biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song với đường thẳng ban đầu.
Ta có \[d_1=T_{\vec w}[d]\], nên \[\vec w\] có điểm đầu thuộc \[d\] điểm cuối thuộc \[d_1\].
Mục tiêu là viết phương trình đường thẳng \[d_2\] đi qua 2 điểm đầu, cuối đó.
Tìm giao của \[d_2\] với \[d\] và \[d_1\].
Lời giải chi tiết:
Lấy một điểm thuộc \[d\], chẳng hạn \[M=[0;1]\]. Gọi đường thẳng \[d_2\]qua \[M\] vuông góc với \[d\] khi đó \[d_2\]có vectơ chỉ phương là \[\vec v=[2;-3]\]. Do đó phương trình của \[d_2\]là \[\dfrac{x-0}{2}=\dfrac{y-1}{-3}\]hay \[3x+2y-2=0\]. Gọi \[M\]là giao của \[d_1\] với \[d_2\]thì tọa độ của nó phải thỏa mãn hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y - 5 = 0\\3x + 2y - 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{16}}{{13}}\\y = - \dfrac{{11}}{{13}}\end{array} \right.\]
Từ đó suy ra \[\overrightarrow {\rm{w}} = \overrightarrow {MM'} = \left[ {\dfrac{{16}}{{13}}; - \dfrac{{24}}{{13}}} \right]\].