- LG a
- LG b
Chứng minh rằng :
LG a
Tâm các mặt của một khối lập phương là các đỉnh của một khối tám mặt đều ;
Lời giải chi tiết:
Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là tâm của các mặt ABCD, ABCD, ABBA, CDDC, BCCB, ADDA của khối lập phương ABCD.ABCD.
Ta có, M là trung điểm AC và P là trung điểm AB'.
Do đó MP là đường trung bình của tam giác ACB' nên \[MP = \frac{1}{2}B'C = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\]
Tương tự MR=MQ=MS=NP=NR=NQ=NS\[= \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\]
Khi đó tám tam giác MPR, MRQ, MQS, MSP, NPR, NRQ, NQS, NSP là những tam giác đều, chúng làm thành khối đa diện với các đỉnh là \[M, N, P, Q, R, S\] mà mỗi đỉnh có \[4\] cạnh.
Vậy đó là khối tám mặt đều.
LG b
Tâm các mặt của một khối tám mặt đều là các đỉnh của một khối lập phương.
Lời giải chi tiết:
Xét khối tám mặt đều ABCDEF. Gọi O1, O2,O3,O4,O5,O6, O7, O8lần lượt là trọng tâm của các mặt EAB, EBC, ECD, EDA, FAB, FBC, FCD, FDA.
- Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC.
Ta có: O1,O2là trọng tâm ΔEAB, EBC nên:
\[\frac{{E{O_1}}}{{EM}} = \frac{{E{O_2}}}{{EN}} = \frac{2}{3}\]
=> O1O2// MN\[ \Rightarrow \frac{{{O_1}{O_2}}}{{MN}} = \frac{2}{3}\]
Mà \[MN//AC,MN = \frac{1}{2}AC\]
\[ \Rightarrow {O_1}{O_2} = \frac{2}{3}MN = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}AC = \frac{1}{3}AC\] và \[{O_1}{O_2}//AC\]
Tương tự \[{O_3}{O_4}//AC;{O_3}{O_4} = \frac{1}{3}AC\]
=> O1O2// O3O4và O1O2= O3O4
=> Tứ giác O1O2O3O4là hình bình hành.
Lại có: O1O4// BD, O1O4=BD/3 kết hợp [*] và lưu ý rằng AC = DB, AC BD
=> O1O2=O1O4, O1O2 O1O4nên tứ giác O1O2O3O4là hình vuông.
- Tương tự ta có: O1O2O6O5, O2O3O7O6, O3O4O8O7, O4O1O5O8, O5O6O7O8là các hình vuông.
Vậy O1, O2,O3,O4,O5,O6, O7, O8là các đỉnh của một khối lập phương.
Chú ý:Giả sử cạnh của khối tám mặt đều là \[a\] thì cạnh của khối lập phương \[O_1O_2O_3O_4O_5O_6O_7O_8\] là \[{2 \over 3}.{{a\sqrt 2 } \over 2} = {{a\sqrt 2 } \over 3}\]