- LG a
- LG b
LG a
Tìm các giá trị m sao cho hàm số
\[y = {{ - 2{x^2} + [m + 2]x - 3m + 1} \over {x - 1}}\]
Nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
Lời giải chi tiết:
Ta viết hàm số đã cho dưới dạng
\[y = - 2x + m + {{1 - 2m} \over {x - 1}}\]
Khi đó: \[y' = - 2 + {{2m - 1} \over {{{[x - 1]}^2}}}\]
+] Nếu \[2m - 1 \le 0\] hay \[m \le {1 \over 2}\] thì \[y' < 0\] với mọi \[x \ne 1\].
Do đó hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \[\left[ { - \infty ;1} \right]\] và \[\left[ {1; + \infty } \right]\]
+] Dễ thấy nếu \[2m - 1 > 0\] hay \[m > {1 \over 2}\] thì phương trình \[y' = 0\] có hai nghiệm \[{x_1},{x_2}\] trong đó \[{x_1} < 1 < {x_2}\]
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \[\left[ {{x_1};1} \right]\] và \[\left[ {1;{x_2}} \right]\].
Trong trường hợp này, các giá trị của m không thỏa mãn điều kiện đòi hỏi.
LG b
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 0.
Lời giải chi tiết:
Với \[m = 0\] ta được \[y = \frac{{ - 2{x^2} + 2x + 1}}{{x - 1}} = - 2x + \frac{1}{{x - 1}}\]
+] TXĐ: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\]
+] Chiều biến thiên:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = - \infty \] nên TCĐ: \[x = 1\].
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y + 2x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {\frac{1}{{x - 1}}} \right] = 0\] nên TCX: \[y = x - 1\].
Ta có:
\[y' = - 2 - \frac{1}{{{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}} < 0,\forall x \in D\]
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng \[\left[ { - \infty ;1} \right]\] và \[\left[ {1; + \infty } \right]\] và không có cực trị.
BBT:
+] Đồ thị: