Ta giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:
Từ [1] ta có
Thế [3] vào [2], ta được:
Thế y vừa tìm được vào [3], ta được:
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là:
Điều kiện:
Ta giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
Đặt ta được hệ:
Cộng [3] và [4] vế theo vế, ta được:
Thay vào [1'], ta được:
Suy ra:
So với điều kiện ta được nghiệm của hệ là
Giải Toán 9 bài 41 Trang 27 SGK Ôn tập chương 3 Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn với hướng dẫn và lời giải chi tiết, rõ ràng theo khung chương trình sách giáo khoa môn Toán 9, các bài giải tương ứng với từng bài học trong sách giúp cho các bạn học sinh ôn tập và củng cố các dạng bài tập, rèn luyện kỹ năng giải Toán 9.
Bài 41 trang 27 SGK Toán 9 tập 2
Bài 41 [SGK trang 27]: Giải các hệ phương trình sau:
- ![\left{ {\begin{array}{{20}{c}} {x\sqrt 5 - \left[ {1 + \sqrt 3 } \right]y = 1} \ {\left[ {1 - \sqrt 3 } \right]x + y\sqrt 5 = 1} \end{array}} \right.][//tex.vdoc.vn/?tex=%5Cleft%5C%7B%20%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7B%7B20%7D%7Bc%7D%7D%0A%20%20%7Bx%5Csqrt%205%20%20-%20%5Cleft[%20%7B1%20%2B%20%5Csqrt%203%20%7D%20%5Cright]y%20%3D%201%7D%20%5C%5C%20%0A%20%20%7B%5Cleft[%20%7B1%20-%20%5Csqrt%203%20%7D%20%5Cright]x%20%2B%20y%5Csqrt%205%20%20%3D%201%7D%20%0A%5Cend%7Barray%7D%7D%20%5Cright.]
- ![\left{ {\begin{array}{{20}{c}} {\dfrac{{2x}}{{x + 1}} + \dfrac{y}{{y + 1}} = \sqrt 2 } \ {\dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{3y}}{{y + 1}} = - 1} \end{array}} \right.][//tex.vdoc.vn/?tex=%5Cleft%5C%7B%20%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7B%7B20%7D%7Bc%7D%7D%0A%20%20%7B%5Cdfrac%7B%7B2x%7D%7D%7B%7Bx%20%2B%201%7D%7D%20%2B%20%5Cdfrac%7By%7D%7B%7By%20%2B%201%7D%7D%20%3D%20%5Csqrt%202%20%7D%20%5C%5C%20%0A%20%20%7B%5Cdfrac%7Bx%7D%7B%7Bx%20%2B%201%7D%7D%20%2B%20%5Cdfrac%7B%7B3y%7D%7D%7B%7By%20%2B%201%7D%7D%20%3D%20%20-%201%7D%20%0A%5Cend%7Barray%7D%7D%20%5Cright.]
Hướng dẫn giải
Sử dụng các phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp thế, phương pháp cộng đại số, ….
Lời giải chi tiết
- ![\left{ {\begin{array}{{20}{c}} {x\sqrt 5 - \left[ {1 + \sqrt 3 } \right]y = 1} \ {\left[ {1 - \sqrt 3 } \right]x + y\sqrt 5 = 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left{ {\begin{array}{{20}{c}} {\left[ {1 - \sqrt 3 } \right]x\sqrt 5 - \left[ {1 - \sqrt 3 } \right]\left[ {1 + \sqrt 3 } \right]y = \left[ {1 - \sqrt 3 } \right]} \ {\sqrt 5 \left[ {1 - \sqrt 3 } \right]x + 5y = \sqrt 5 } \end{array}} \right.][////i0.wp.com///i0.wp.com/tex.vdoc.vn/?tex=%5Cleft%5C%7B%20%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7B*%7B20%7D%7Bc%7D%7D%0A%20%20%7Bx%5Csqrt%205%20%20-%20%5Cleft[%20%7B1%20%2B%20%5Csqrt%203%20%7D%20%5Cright]y%20%3D%201%7D%20%5C%5C%20%0A%20%20%7B%5Cleft[%20%7B1%20-%20%5Csqrt%203%20%7D%20%5Cright]x%20%2B%20y%5Csqrt%205%20%20%3D%201%7D%20%0A%5Cend%7Barray%7D%7D%20%5Cright.%20%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5C%7B%20%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7B*%7B20%7D%7Bc%7D%7D%0A%20%20%7B%5Cleft[%20%7B1%20-%20%5Csqrt%203%20%7D%20%5Cright]x%5Csqrt%205%20%20-%20%5Cleft[%20%7B1%20-%20%5Csqrt%203%20%7D%20%5Cright]%5Cleft[%20%7B1%20%2B%20%5Csqrt%203%20%7D%20%5Cright]y%20%3D%20%5Cleft[%20%7B1%20-%20%5Csqrt%203%20%7D%20%5Cright]%7D%20%5C%5C%20%0A%20%20%7B%5Csqrt%205%20%5Cleft[%20%7B1%20-%20%5Csqrt%203%20%7D%20%5Cright]x%20%2B%205y%20%3D%20%5Csqrt%205%20%7D%20%0A%5Cend%7Barray%7D%7D%20%5Cright.][Nhân phương trình trên với , phương trình dưới với ]
![\Leftrightarrow \left{ {\begin{array}{{20}{c}} {\sqrt 5 \left[ {1 - \sqrt 3 } \right]x + 2y = 1 - \sqrt 3 } \ {\sqrt 5 \left[ {1 - \sqrt 3 } \right]x + 5y = \sqrt 5 } \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left{ {\begin{array}{{20}{c}} {3y = \sqrt 5 + \sqrt 3 - 1} \ {x\sqrt 5 - \left[ {1 + \sqrt 3 } \right]y = 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left{ {\begin{array}{{20}{c}} {y = \dfrac{{\sqrt 5 + \sqrt 3 - 1}}{3}} \ {x = \dfrac{{\sqrt 5 + \sqrt 3 + 1}}{3}} \end{array}} \right.][//tex.vdoc.vn/?tex=%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5C%7B%20%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7B%7B20%7D%7Bc%7D%7D%0A%20%20%7B%5Csqrt%205%20%5Cleft[%20%7B1%20-%20%5Csqrt%203%20%7D%20%5Cright]x%20%2B%202y%20%3D%201%20-%20%5Csqrt%203%20%7D%20%5C%5C%20%0A%20%20%7B%5Csqrt%205%20%5Cleft[%20%7B1%20-%20%5Csqrt%203%20%7D%20%5Cright]x%20%2B%205y%20%3D%20%5Csqrt%205%20%7D%20%0A%5Cend%7Barray%7D%7D%20%5Cright.%20%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5C%7B%20%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7B*%7B20%7D%7Bc%7D%7D%0A%20%20%7B3y%20%3D%20%5Csqrt%205%20%20%2B%20%5Csqrt%203%20%20-%201%7D%20%5C%5C%20%0A%20%20%7Bx%5Csqrt%205%20%20-%20%5Cleft[%20%7B1%20%2B%20%5Csqrt%203%20%7D%20%5Cright]y%20%3D%201%7D%20%0A%5Cend%7Barray%7D%7D%20%5Cright.%20%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5C%7B%20%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7B*%7B20%7D%7Bc%7D%7D%0A%20%20%7By%20%3D%20%5Cdfrac%7B%7B%5Csqrt%205%20%20%2B%20%5Csqrt%203%20%20-%201%7D%7D%7B3%7D%7D%20%5C%5C%20%0A%20%20%7Bx%20%3D%20%5Cdfrac%7B%7B%5Csqrt%205%20%20%2B%20%5Csqrt%203%20%20%2B%201%7D%7D%7B3%7D%7D%20%0A%5Cend%7Barray%7D%7D%20%5Cright.]
Vậy hệ phương trình có nghiệm %20%3D%20%5Cleft[%20%7B%5Cfrac%7B%7B%5Csqrt%205%20%20%2B%20%5Csqrt%203%20%20%2B%201%7D%7D%7B3%7D%3B%5Cfrac%7B%7B%5Csqrt%205%20%20%2B%20%5Csqrt%203%20%20-%201%7D%7D%7B3%7D%7D%20%5Cright]]
- ![\left{ {\begin{array}{{20}{c}} {\dfrac{{2x}}{{x + 1}} + \dfrac{y}{{y + 1}} = \sqrt 2 } \ {\dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{3y}}{{y + 1}} = - 1} \end{array}} \right.][//tex.vdoc.vn/?tex=%5Cleft%5C%7B%20%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7B%7B20%7D%7Bc%7D%7D%0A%20%20%7B%5Cdfrac%7B%7B2x%7D%7D%7B%7Bx%20%2B%201%7D%7D%20%2B%20%5Cdfrac%7By%7D%7B%7By%20%2B%201%7D%7D%20%3D%20%5Csqrt%202%20%7D%20%5C%5C%20%0A%20%20%7B%5Cdfrac%7Bx%7D%7B%7Bx%20%2B%201%7D%7D%20%2B%20%5Cdfrac%7B%7B3y%7D%7D%7B%7By%20%2B%201%7D%7D%20%3D%20%20-%201%7D%20%0A%5Cend%7Barray%7D%7D%20%5Cright.]
Điều kiện xác định:
Đặt ![\left{ {\begin{array}{{20}{c}} {\dfrac{x}{{x + 1}} = a} \ {\dfrac{y}{{y + 1}} = b} \end{array}} \right.][//tex.vdoc.vn/?tex=%5Cleft%5C%7B%20%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7B%7B20%7D%7Bc%7D%7D%0A%20%20%7B%5Cdfrac%7Bx%7D%7B%7Bx%20%2B%201%7D%7D%20%3D%20a%7D%20%5C%5C%20%0A%20%20%7B%5Cdfrac%7By%7D%7B%7By%20%2B%201%7D%7D%20%3D%20b%7D%20%0A%5Cend%7Barray%7D%7D%20%5Cright.] Thay a, b vào hệ phương trình ta được hệ phương trình mới biểu diễn như sau:
![\begin{matrix} a = \dfrac{{3\sqrt 2 + 1}}{5} \hfill \ \Leftrightarrow \dfrac{x}{{x + 1}} = \dfrac{{3\sqrt 2 + 1}}{5} \hfill \ \Leftrightarrow \dfrac{{5x}}{{5[x + 1]}} = \dfrac{{\left[ {3\sqrt 2 + 1} \right]\left[ {x + 1} \right]}}{{5\left[ {x + 1} \right]}} \hfill \ \Leftrightarrow 5x = \left[ {3\sqrt 2 + 1} \right]\left[ {x + 1} \right] \hfill \ \Leftrightarrow 5x - \left[ {3\sqrt 2 + 1} \right]x = 3\sqrt 2 + 1 \hfill \ \Leftrightarrow \left[ {4 - 3\sqrt 2 } \right]x = 3\sqrt 2 + 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{{3\sqrt 2 + 1}}{{4 - 3\sqrt 2 }} = - \dfrac{{22 + 15\sqrt 2 }}{2}\left[ {tm} \right] \hfill \ \end{matrix}][////i0.wp.com/tex.vdoc.vn/?tex=%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%20%20a%20%3D%20%5Cdfrac%7B%7B3%5Csqrt%202%20%20%2B%201%7D%7D%7B5%7D%20%5Chfill%20%5C%5C%0A%20%20%20%5CLeftrightarrow%20%5Cdfrac%7Bx%7D%7B%7Bx%20%2B%201%7D%7D%20%3D%20%5Cdfrac%7B%7B3%5Csqrt%202%20%20%2B%201%7D%7D%7B5%7D%20%5Chfill%20%5C%5C%0A%20%20%20%5CLeftrightarrow%20%5Cdfrac%7B%7B5x%7D%7D%7B%7B5[x%20%2B%201]%7D%7D%20%3D%20%5Cdfrac%7B%7B%5Cleft[%20%7B3%5Csqrt%202%20%20%2B%201%7D%20%5Cright]%5Cleft[%20%7Bx%20%2B%201%7D%20%5Cright]%7D%7D%7B%7B5%5Cleft[%20%7Bx%20%2B%201%7D%20%5Cright]%7D%7D%20%5Chfill%20%5C%5C%0A%20%20%20%5CLeftrightarrow%205x%20%3D%20%5Cleft[%20%7B3%5Csqrt%202%20%20%2B%201%7D%20%5Cright]%5Cleft[%20%7Bx%20%2B%201%7D%20%5Cright]%20%5Chfill%20%5C%5C%0A%20%20%20%5CLeftrightarrow%205x%20-%20%5Cleft[%20%7B3%5Csqrt%202%20%20%2B%201%7D%20%5Cright]x%20%3D%203%5Csqrt%202%20%20%2B%201%20%5Chfill%20%5C%5C%0A%20%20%20%5CLeftrightarrow%20%5Cleft[%20%7B4%20-%203%5Csqrt%202%20%7D%20%5Cright]x%20%3D%203%5Csqrt%202%20%20%2B%201%20%5CLeftrightarrow%20x%20%3D%20%5Cdfrac%7B%7B3%5Csqrt%202%20%20%2B%201%7D%7D%7B%7B4%20-%203%5Csqrt%202%20%7D%7D%20%3D%20%20-%20%5Cdfrac%7B%7B22%20%2B%2015%5Csqrt%202%20%7D%7D%7B2%7D%5Cleft[%20%7Btm%7D%20%5Cright]%20%5Chfill%20%5C%5C%20%0A%5Cend%7Bmatrix%7D]
![\begin{matrix} b = \dfrac{{ - 2 - \sqrt 2 }}{5} \hfill \ \Leftrightarrow \dfrac{y}{{y + 1}} = \dfrac{{ - 2 - \sqrt 2 }}{5} \hfill \ \Leftrightarrow \dfrac{{5y}}{{5\left[ {y + 1} \right]}} = \dfrac{{\left[ { - 2 - \sqrt 2 } \right].\left[ {y + 1} \right]}}{{5\left[ {y + 1} \right]}} \hfill \ \Leftrightarrow 5y = - \left[ {2 + \sqrt 2 } \right].\left[ {y + 1} \right] \hfill \ \Leftrightarrow 5y + \left[ {2 + \sqrt 2 } \right]y = - \left[ {2 + \sqrt 2 } \right] \hfill \ \Leftrightarrow \left[ {7 + \sqrt 2 } \right]y = - \left[ {2 + \sqrt 2 } \right] \hfill \ \Leftrightarrow y = \dfrac{{ - 2 - \sqrt 2 }}{{7 + \sqrt 2 }} = - \dfrac{{12 + 5\sqrt 2 }}{{47}}\left[ {tm} \right] \hfill \ \end{matrix}][////i0.wp.com/tex.vdoc.vn/?tex=%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%20%20b%20%3D%20%5Cdfrac%7B%7B%20-%202%20-%20%5Csqrt%202%20%7D%7D%7B5%7D%20%5Chfill%20%5C%5C%0A%20%20%20%5CLeftrightarrow%20%5Cdfrac%7By%7D%7B%7By%20%2B%201%7D%7D%20%3D%20%5Cdfrac%7B%7B%20-%202%20-%20%5Csqrt%202%20%7D%7D%7B5%7D%20%5Chfill%20%5C%5C%0A%20%20%20%5CLeftrightarrow%20%5Cdfrac%7B%7B5y%7D%7D%7B%7B5%5Cleft[%20%7By%20%2B%201%7D%20%5Cright]%7D%7D%20%3D%20%5Cdfrac%7B%7B%5Cleft[%20%7B%20-%202%20-%20%5Csqrt%202%20%7D%20%5Cright].%5Cleft[%20%7By%20%2B%201%7D%20%5Cright]%7D%7D%7B%7B5%5Cleft[%20%7By%20%2B%201%7D%20%5Cright]%7D%7D%20%5Chfill%20%5C%5C%0A%20%20%20%5CLeftrightarrow%205y%20%3D%20%20-%20%5Cleft[%20%7B2%20%2B%20%5Csqrt%202%20%7D%20%5Cright].%5Cleft[%20%7By%20%2B%201%7D%20%5Cright]%20%5Chfill%20%5C%5C%0A%20%20%20%5CLeftrightarrow%205y%20%2B%20%5Cleft[%20%7B2%20%2B%20%5Csqrt%202%20%7D%20%5Cright]y%20%3D%20%20-%20%5Cleft[%20%7B2%20%2B%20%5Csqrt%202%20%7D%20%5Cright]%20%5Chfill%20%5C%5C%0A%20%20%20%5CLeftrightarrow%20%5Cleft[%20%7B7%20%2B%20%5Csqrt%202%20%7D%20%5Cright]y%20%3D%20%20-%20%5Cleft[%20%7B2%20%2B%20%5Csqrt%202%20%7D%20%5Cright]%20%5Chfill%20%5C%5C%0A%20%20%20%5CLeftrightarrow%20y%20%3D%20%5Cdfrac%7B%7B%20-%202%20-%20%5Csqrt%202%20%7D%7D%7B%7B7%20%2B%20%5Csqrt%202%20%7D%7D%20%3D%20%20-%20%5Cdfrac%7B%7B12%20%2B%205%5Csqrt%202%20%7D%7D%7B%7B47%7D%7D%5Cleft[%20%7Btm%7D%20%5Cright]%20%5Chfill%20%5C%5C%20%0A%5Cend%7Bmatrix%7D]
Vậy hệ phương trình có nghiệm %20%3D%20%5Cleft[%20%7B%20-%20%5Cfrac%7B%7B22%20%2B%2015%5Csqrt%202%20%7D%7D%7B2%7D%3B%20-%20%5Cfrac%7B%7B12%20%2B%205%5Csqrt%202%20%7D%7D%7B%7B47%7D%7D%7D%20%5Cright]]
-------
Trên đây GiaiToan đã chia sẻ Giải Toán 9: Ôn tập chương 3 Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Hy vọng với tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn học sinh tham khảo, chuẩn bị cho bài giảng sắp tới tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!