A. Kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa
- Mỗi biểu thức có dạng a+bi với $a,b \in \mathbb{R}, i^{2}=-1$ được gọi là một số phức. Trong đó a được gọi là phần thực, b được gọi là phần ảo. Ký hiệu tập hợp các số phức là $\mathbb{C}$.
- Điểm M[a,b] trong hệ trục tọa độ vuông góc trong mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn của số phức z=a+bi.
- a+bi=c+di $\Leftrightarrow$ a=c và b=d.
2. Các phép toán
Với $a,b,c,d \in \mathbb{R}$, $c+di \neq 0$, $ z=a+bi$
- $[a+bi]+[c+di]=[a+c]+i[b+d]$
- $[a+bi]-[c+di]=[a-c]+i[b-d]$
- $[a+bi].[c+di]=[ac-bd]+i[ad+bc]$
- $\frac{a+bi}{c+di}=\frac{[a+bi].[c-di]}{[c+di].[c-di]}=\frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}}+i.\frac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}}$
- $|a+bi|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ được gọi là môđun của số phức
- $\overline{z}=a-bi$ được gọi là số phức liên hợp
Chú ý: $z+\overline{z}=2a$ và $z. \overline{z}=|z|^{2}$
B. Các dạng bài tập
Dạng 1: Tìm phần thực, phần ảo và tính môđun của một biểu thức phức
Phương pháp
Cách 1: Tính toán như trong tập số thực, chỉ có $i^{2}$ thay bằng -1, chia thì nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp.
Cách 2: Sử dụng máy tính, nhấn MODE 2 để chuyển sang chế độ CMPLX
Ví dụ 1: Tìm phần thực và phần ảo và tính môđun của số phức $z=[3+2i][\overline{2+5i}] -[3+i]^{3}$
Giải:$z=[3+2i][2-5i]-[ 27+27i+9i^{2}+i^{3}]=16-11i-18-26i=-2-37i$
Vậy $Re[z]=-2, Im[z]=-37$, $|z|= \sqrt{[-2]^{2}+[-37]^{2}}=1373$
Bài tập áp dụng
Câu 1: Cho số phức $z+1=i^{2017}+i^{2018}$ . Tìm $|z'|$ biết $z'=\overline{z}+iz$.
Câu 2: Tính module và số phức liên hợp của mỗi số phức z sau
- $z=[2-5i][3+i]$
- $[1+i]z+3=2i-4z$
- $z=\frac{2+3i}{[4+i][2-3i]}$
Câu 3: Cho $z_{1}=4-3i+[1-i]^{3}$, $z_{2}=\frac{1+2i-[1-i]^{2}}{1+i}$. Tìm môđun của số phức $z=z_{1}.\overline{z_{2}}$.
Dạng 2: Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp
Thay $z=a+bi$ vào điều kiện đề bài, biến đổi để lập biểu thức liên hệ giữa x và y: $f[x,y]=0$.
$f[x,y]=0$ là phương trình của đường nào và kết luận tập hợp các điểm z là đường đó.
Ví dụ 1: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w=[z+i][2+i]$ trong đó z là số phức thỏa $|z - 2| = 3$
Giải: Gọi số phức $w=x+yi$
$w=[z+i][2+i]=x+yi \Leftrightarrow z=\frac{x+yi}{2+i}-i=\frac{2x+y}{5}+i\frac{-x+2y-5}{5}$
Mà $|z-2|=3$ nên $|\frac{2x+y}{5}+i\frac{-x+2y-5}{5}-2|=3 \Leftrightarrow [2x+y-10]^{2} + [2x-y-5]^{2} = 225$
Vậy $ [2x+y-10]^{2} + [2x-y-5]^{2} = 225$ là phương trình biểu diễn tập số phức w.
Bài tập áp dụng
Câu 1: Tìm quỹ tích các điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn
- $|z+\overline{z}+3|=4$
- $[2-z][i+ \overline{z}]$ là số thực
- $|z-4i|+|z+4i|=10$
Câu 2: Xác định tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức $w=[1+i \sqrt{3}]z+2$ trong đó $|z-1| \leq 2$
Câu 3: Giải hệ phương trình sau với $z$ là ẩn số $\left\{\begin{matrix} |z-1-4i|=3\\ \left| \frac{z+3+2i}{z+\frac{3}{2}-i} \right|=2\\ \end{matrix}\right.$
Dạng 3: Giải phương trình với ẩn phức
a] Căn bậc hai của số phức
Cho số phức z = a + bi, số phức w = x + yi được gọi là căn bậc hai của số phức z nếu $w^{2}=z$ hay $[x+yi]^{2}=a+bi$
Khi b = 0 thì z = a, ta có 2 trường hợp đơn giản sau :
+ TH1 : a> 0 $\Rightarrow $ $w = \pm \sqrt{a}$
+ TH2 : a < 0 $\Rightarrow $ $w=\pm i\sqrt{-a}$
Khi b ≠ 0, để tìm căn bậc 2 của z ta giải hệ phương trình từ đồng nhất thức:
$[x + yi] ^{2} = a + bi$ hay $ \left\{\begin{matrix} x^{2}-y^{2}=a\\ 2xy=b\\ \end{matrix}\right.$
b] Phương trình phức bậc hai
Phương pháp
Xét với phương trình phức bậc hai $Az^{2}+Bz+C=0$
TH1: Các hệ số A, B, C là các số thực. Tính $\Delta=B^{2}-4AC$
+ Nếu $\Delta \geq 0$ thì phương trình có nghiệm thực $z=\frac{-B \pm \sqrt{\Delta}}{2A}$
+ Nếu $\Delta