| Tìm tọa độ của các vectơ. Quảng cáo
Video hướng dẫn giải Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơnCho ba vectơ \[\overrightarrow a \left[ {2; - 5;3} \right],\,\,\overrightarrow b \left[ {0;2; - 1} \right],\,\,\overrightarrow c \left[ {1;7;2} \right]\]
Bài tiếp theo Quảng cáo Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay Báo lỗi - Góp ý |
Bài tập 3 – Trang 68 – SGK Hình học 12: Bài 1. Hệ tọa độ trong không gian. Tính tọa độ các đỉnh của hình hộp.
Bài3. Cho hình hộp \[ABCD.A’B’C’D’\] biết \[A = [1; 0; 1], B = [2; 1; 2], D = [1; -1; 1]\],
\[C’ [4; 5; -5]\]. Tính tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
Ta có:
\[\eqalign{ & \overrightarrow {AB} = \left[ {1;1;1} \right] \cr & \overrightarrow {A{\rm{D}}} = \left[ {0; – 1;0} \right] \cr & \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {A{\rm{D}}} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_C} – 2 = 0 \hfill \cr {y_C} – 1 = – 1 \hfill \cr {z_C} – 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_C} = 2 \hfill \cr {y_C} = 0 \hfill \cr
{z_C} = 2 \hfill \cr} \right. \cr} \]
Vậy \[C = [2; 0; 2]\]
Quảng cáoSuy ra \[\overrightarrow {CC’} = \left[ {2;5; – 7} \right]\]
Từ \[\overrightarrow {AA} = \overrightarrow {BB} = \overrightarrow {DD} = \overrightarrow {CC} = \left[ {2;5; – 7} \right]\]
Suy ra \[\left\{ \matrix{{x_A} – 1 = 2 \hfill \cr {y_A} – 0 = 5 \hfill \cr {z_A} – 1 = – 7 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{{x_A} = 3 \hfill \cr {y_A} = 5 \hfill \cr
{z_A} = – 6 \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[A’ [3; 5; -6]\]
Tương tự \[B’ = [4; 6; -5]; D’ = [3; 4; -6]\].
Bài tập 5 – Trang 68 – SGK Hình học 12: Bài 1. Hệ tọa độ trong không gian. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu.
Bài 5. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây:
a] \[{x^2} + {\rm{ }}{y^{2}} + {\rm{ }}{z^2}-{\rm{ }}8x{\rm{ }} – {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\] ;
b] \[3{x^2} + {\rm{ }}3{y^2} + {\rm{ }}3{z^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}8y{\rm{ }} + {\rm{ }}15z{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\].
a] Ta có phương trình : \[{x^2} + {\rm{ }}{y^{2}} + {\rm{ }}{z^2}-{\rm{ }}8x{\rm{ }} – {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]
\[ \Leftrightarrow {\rm{ }}{\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right]^2} + {\rm{ }}{\left[ {y{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right]^2} + {\rm{ }}{z^2} = {\rm{ }}{4^2}\]
Đây là mặt cầu tâm \[I[4; 1; 0]\] và có bán kính \[r = 4\].
Quảng cáob] Ta có phương trình:
\[3{x^2} + {\rm{ }}3{y^2} + {\rm{ }}3{z^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}8y{\rm{ }} + {\rm{ }}15z{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]
\[\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2}{\rm{ – }}2x + {8 \over 3}y + 5z{\rm{ – }}1 = 0\]
\[⇔ [x-1]^{2}+[y+\frac{4}{3}]^{2}+[z+\frac{5}{2}]^{2}= [\frac{19}{6}]^{2}\].
Đây là mặt cầu tâm \[J[1; -\frac{4}{3};-\frac{5}{2}]\] và có bán kính là \[R = \frac{19}{6}\].
Trong tài liệu giải Toán lớp 12 : Hệ tọa độ trong không gian, phần Hình Học các bạn học sinh dễ dàng theo dõi được cách giải các bài tập cùng với những hướng dẫn cụ thể, việc giải bài tập theo phương pháp tọa độ sẽ trở nên đễ dàng và thú vị hơn. Tất cả những bài tập có liên quan đến phần hệ tọa độ trong không gia, phần hình học sẽ được hướng dẫn chi tiết và tỉ mỉ, cùng với nhiều cách làm khác nhau để các bạn học sinh có thể tham khảo và lựa chọn cho mình phương pháp học tập tốt nhất. Sau bài giải Toán lớp 12 : Hệ tọa độ trong không gian, phần Hình Học chúng ta sẽ tiếp tục chuyển sang với những kiến thức về cách giải toán phương trình mặt phẳng mời các bạn cùng theo dõi nhé.
Trong chương trình học lớp 12 Hình Học các em sẽ học Ôn tập chương I - Khối đa diện Chương I cùng Giải Toán 12 trang 26, 27, 28 SGK Hình Học để học tốt bài học này.
Các em cần tìm hiểu Giải toán 12 trang 60, 61 SGK Giải Tích- Hàm số lũy thừa là một trong những nội dung rất quan trọng mà các em cần quan tâm và trau dồi để nâng cao kỹ năng giải Toán 12 của mình.
Ngoài nội dung ở trên, các em có thể tìm hiểu thêm phần Giải toán 12 Bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 68 SGK Giải Tích- Lôgarit để nâng cao kiến thức môn Toán 12 của mình.
Bên cạnh nội dung đã học, các em có thể chuẩn bị và tìm hiểu nội dung phần Giải bài tập trang 50, 51, 52, 53, 54 SGK Hình học 12, Ôn tập chương II để nắm vững những kiến thức trong chương trình Hình học 12.
Giải Toán lớp 12: Hệ tọa độ trong không gian, phần Hình Học là tài liệu hữu ích dành cho các em học sinh lớp 12 có thể nắm vững hơn kiến thức về hệ tọa độ không gian phần Hình Học cùng với những bài hướng dẫn giải bài tập theo đúng với chương trình sách giáo khoa toán 12 chi tiết và rõ ràng nhất. Tài liệu Giải Toán lớp 12 chuyên đề hệ tọa độ trong không gian phần Hình Học chắc chắn sẽ giúp các em học sinh học tốt môn toán cũng như nắm bắt được cách giải bài tập dễ dàng và hiệu quả hơn.
Hướng dẫn giải Bài §1. Hệ tọa độ trong không gian, Chương III. Phương pháp toạ độ trong không gian, sách giáo khoa Hình học 12. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 68 sgk Hình học 12 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập hình học có trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 12.
Lý thuyết
1. Tọa độ của điểm và của vectơ
a] Hệ tọa độ
Trong không gian, cho ba trục $4xOx’, yOy’, zOz’$ vuông góc với nhau từng đôi một.
Các vectơ \[\overrightarrow i ,\,\,\overrightarrow j ,\,\overrightarrow k\] lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục xOx’, yOy’, zOz’ với: \[\left | \vec{i} \right |=\left | \vec{j} \right |=\left | \vec{k} \right |=1.\]
Hệ trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Oxyz, với O là gốc tọa độ.
b] Tọa độ của một điểm
Trong không gian Oxyz, cho điểm A tùy ý tồn tại duy nhất bộ số \[[x_A,y_A,z_A]\] sao cho: \[A[x_A,y_A,z_A]\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}=[x_A;y_A;z_A].\]
Bộ số \[[x_A,y_A,z_A]\] được gọi là tọa độ điểm A.
c] Tọa độ của vectơ
Trong không gian Oxyz, cho vectơ \[\vec{u}\] tồn tại duy nhất bộ số \[[x,y,z]\] sao cho: \[\overrightarrow{u}=[x;y;z]\]\[\Leftrightarrow \vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}.\]
Bộ số: \[[x,y,z]\] được gọi là tọa độ của vectơ \[\vec{u}\].
2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Cho hai vectơ \[\vec{u}=[x;y;z]\] và \[\vec{u’}=[x’;y’; z’]\]:
\[\vec{u}+\vec{u’}=[x+x’;y+y’;z+ z’]\]
\[\vec{u}-\vec{u’}=[x-x’;y-y’;z- z’]\]
\[k\vec{u}=[kx;ky;kz]\]
\[\vec{u}=u’\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=x’\\ y=y’\\ z=z’ \end{matrix}\right.\]
\[\vec{u}=\vec{u’}\] cùng phương \[\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=kx’\\ y=ky’\\ z=kz’ \end{matrix}\right.\]
\[\left | \vec{u} \right |=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\]
Cho hai điểm \[A[x_A,y_A,z_A]\]; \[B[x_B,y_B,z_B]\]:
\[\overrightarrow{AB}=[x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A]\]
\[AB=\sqrt{[x_B-x_A]^2+[y_B-y_A]^2+[z_B-z_A]^2}\]
\[\overrightarrow{IA}=k.\overrightarrow{IB}[k\neq 1]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_I=\frac{x_A-k.x_B}{1-k}\\ \\ y_I=\frac{y_A-k.y_B}{1-k}\\ \\ z_I=\frac{z_A-k.z_B}{1-k} \end{matrix}\right.\]
Đặc biệt I là trung điểm AB thì: \[\left\{\begin{matrix} x_I=\frac{x_A+x_B}{2}\\ \\ y_I=\frac{y_A+y_B}{2}\\ \\ z_I=\frac{z_A+z_B}{2} \end{matrix}\right.\]
G là trọng tâm \[\Delta ABC\]: \[\left\{\begin{matrix} x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\\ \\ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\\ \\ z_G=\frac{z_A+z_B+z_C}{3} \end{matrix}\right.\]
G là trọng tâm của tứ diện ABCD: \[\left\{\begin{matrix} x_G=\frac{x_A+x_B+x_C+x_D}{4}\\ \\ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C+y_D}{4}\\ \\ z_G=\frac{z_A+z_B+z_C+z_D}{4} \end{matrix}\right.\]
3. Tích vô hướng
Công thức tính tích vô hướng:
\[\vec{a}.\vec{b}=\left | \vec{a} \right |.\left | \vec{b} \right |.cos[\vec{a},\vec{b}]\].
Biểu thức tọa độ của tích vô hướng:
\[\left.\begin{matrix} \vec{a}=[x_1;y_1;z_1]\\ \vec{b}=[x_2;y_2;z_2] \end{matrix}\right\} \vec{a}.\vec{b} = x_1.x_2 + y_1.y_2 + z_1.z_2\].
Công thức tính góc giữa hai vectơ:
\[cos[\vec a,\vec b] = \frac{{\vec a.\vec b}}{{\left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|}}.\]
4. Phương trình mặt cầu
Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm I[a;b;c], bán kính R có phương trình: \[[x-a]^2+[y-b]^2+[z-c]^2=R^2.\]
Nhận xét:
Phương trình mặt cầu có thể viết dưới dạng \[x^2+y^2+z^2-2Ax-2By-2Cz+D=0\], điều kiện \[A^2+B^2+C^2-D> 0\].
Khi đó, mặt cầu có tâm \[I[A;B;C]\], bán kính \[R = \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2} – D} .\]
Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi và bài tập trong phần hoạt động của học sinh trên lớp sgk Hình học 12.
Câu hỏi
1. Trả lời câu hỏi 1 trang 63 sgk Hình học 12
Trong không gian \[Oxyz\], cho một điểm \[M\]. Hãy phân tích vecto \[\overrightarrow {OM} \] theo ba vecto không đồng phẳng \[\overrightarrow i ;\,\overrightarrow j ;\,\overrightarrow k \] đã cho trên các trục \[Ox, Oy, Oz\].
Trả lời:
Ta có: \[\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow {i} + y\overrightarrow {{\rm{j}}} + z\overrightarrow {k} \]
2. Trả lời câu hỏi 2 trang 64 sgk Hình học 12
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A trùng với gốc O, có \[\overrightarrow {AB} ;\,\overrightarrow {AD} ;\,\overrightarrow {{\rm{AA}}’} \] theo thứ tự cùng hướng với \[\overrightarrow i ;\,\overline j ;\,\overrightarrow k \] và có AB = a, AD = b, AA’ = c. Hãy tính tọa độ các vecto \[\overrightarrow {AB} ;\,\overrightarrow {AC} ;\,\overrightarrow {AC’} ;\,\overrightarrow {AM} \] với M là trung điểm của cạnh C’D’.
Trả lời:
Giả sử ta có hình vẽ như sau: [Chú ý vị trí các điểm trên hệ trục tọa độ]
Từ hình vẽ trên ta có: \[A\left[ {0;0;0} \right],B\left[ {-a;0;0} \right],\] \[D\left[ {0;b;0} \right], A’\left[ {0;0;c} \right]\].
Suy ra \[C\left[ {-a;b;0} \right],D’\left[ {0;b;c} \right],\] \[B’\left[ {-a;0;c} \right],C’\left[ {-a;b;c} \right]\], \[M\left[ {\dfrac{-a}{2};b;c} \right]\].
Vậy \[\overrightarrow {AB} = \left[ {-a;0;0} \right],\] \[\overrightarrow {AC} = \left[ {-a;b;0} \right],\] \[\overrightarrow {AC’} = \left[ {-a;b;c} \right]\], \[\overrightarrow {AM} = \left[ {\dfrac{-a}{2};b;c} \right]\].
3. Trả lời câu hỏi 3 trang 66 sgk Hình học 12
Với hệ tọa độ \[Oxyz\] trong không gian, cho \[\overrightarrow a = [3,0,1];\,\overrightarrow b = [1, – 1, – 2];\,\overrightarrow c = [2,1, – 1]\]. Hãy tính \[\overrightarrow a .[\overrightarrow b + \overrightarrow c ];\,\,|\overrightarrow a + \overrightarrow b |\]
Trả lời:
Ta có:
\[\overrightarrow b + \overrightarrow c = \left[ {1 + 2; – 1 + 1;\left[ { – 2} \right] + \left[ { – 1} \right]} \right] = \left[ {3;0; – 3} \right]\] \[ \Rightarrow \overrightarrow a .\left[ {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right] = 3.3 + 0.0 + 1.\left[ { – 3} \right] = 6\]
\[\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left[ {3 + 1;0 + \left[ { – 1} \right];1 + \left[ { – 2} \right]} \right] = \left[ {4; – 1; – 1} \right]\] \[ \Rightarrow \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \sqrt {{4^2} + {{\left[ { – 1} \right]}^2} + {{\left[ { – 1} \right]}^2}} = \sqrt {18} = 3\sqrt 2 \]
4. Trả lời câu hỏi 4 trang 67 sgk Hình học 12
Viết phương trình mặt cầu tâm \[I[1; -2; 3]\] có bán kính \[r = 5\].
Trả lời:
Phương trình mặt cầu là: \[{\left[ {x – 1} \right]^2} + {\left[ {y + 2} \right]^2} + {\left[ {z – 3} \right]^2} = {5^2} = 25\]
Dưới đây là Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 68 sgk Hình học 12. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!
Bài tập
Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập hình học 12 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 6 trang 68 sgk Hình học 12 của Bài §1. Hệ tọa độ trong không gian trong Chương III. Phương pháp toạ độ trong không gian cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:
1. Giải bài 1 trang 68 sgk Hình học 12
Cho ba vectơ \[\overrightarrow{a}\][2; -5; 3], \[\overrightarrow{b}\][0; 2; -1], \[\overrightarrow{c}\][1; 7; 2].
a] Tính tọa độ của vectơ \[\overrightarrow{d}=4.\overrightarrow{a}-\frac{1}{3}\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}\].
b] Tính tọa độ của vectơ \[\overrightarrow{e}=\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}\].
Bài giải:
Ta có:
\[\begin{array}{l}a]\,\,\overrightarrow d = 4\overrightarrow a – \frac{1}{3}\overrightarrow b + 3\overrightarrow c \\\,\,\,\,\,\,\overrightarrow d = 4\left[ {2; – 5;3} \right] – \frac{1}{3}\left[ {0;2; – 1} \right] + 3\left[ {1;7;2} \right]\\\,\,\,\,\,\,\overrightarrow d = \left[ {8; – 20;12} \right] – \left[ {0;\frac{2}{3}; – \frac{1}{3}} \right] + \left[ {3;21;6} \right]\\\,\,\,\,\,\,\overrightarrow d = \left[ {11;\frac{1}{3};\frac{{55}}{3}} \right]\\b]\,\,\overrightarrow e = \overrightarrow a – 4\overrightarrow b – 2\overrightarrow c \\\,\,\,\,\,\,\overrightarrow e = \left[ {2; – 5;3} \right] – 4\left[ {0;2; – 1} \right] – 2\left[ {1;7;2} \right]\\\,\,\,\,\,\,\overrightarrow e = \left[ {2; – 5;3} \right] – \left[ {0;8; – 4} \right] – \left[ {2;14;4} \right]\\\,\,\,\,\,\,\overrightarrow e = \left[ {0; – 27;3} \right]\end{array}\]
2. Giải bài 2 trang 68 sgk Hình học 12
Cho ba điểm \[A = [1; -1; 1], B = [0; 1; 2], C = [1; 0; 1]\].
Tìm tọa độ trọng tâm \[G\] của tam giác \[ABC\].
Bài giải:
\[G\] là trọng tâm của tam giác ABC thì \[\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\] [*]
Giả sử \[G[x; y; z]\] thì \[\overrightarrow{GA} = [1 – x; -1 – y; 1 – z]\];
\[\overrightarrow{GB} = [-x; 1 – y; 2 – z]\];
\[\overrightarrow{GC} = [1 – x; -y; 1 – z]\];
⇒ \[\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} = [2 – 3x; -3y; 4 – 3z]\]
Do hệ thức [*], ta có :
\[2 – 3x = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}\] ;
\[-3y = 0 \Rightarrow y = 0\];
\[ 4 – 3z = 0 \Rightarrow z = \frac{4}{3}\].
Vậy \[G[\frac{2}{3};0;\frac{4}{3}]\].
Nhận xét: Trọng tâm \[G\] của tam giác \[ABC\] bằng trung bình cộng các tọa độ tương ứng của \[3\] đỉnh của tam giác.
\[\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{1 + 0 + 1}}{3} = \frac{2}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{ – 1 + 1 + 0}}{3} = 0\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} = \frac{{1 + 2 + 1}}{3} = \frac{4}{3}
\end{array} \right. \Rightarrow G\left[ {\frac{2}{3};0;\frac{4}{3}} \right]\]
3. Giải bài 3 trang 68 sgk Hình học 12
Cho hình hộp \[ABCD.A’B’C’D’\] biết \[A = [1; 0; 1], B = [2; 1; 2], D = [1; -1; 1]\],
\[C’ [4; 5; -5]\]. Tính tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
Bài giải:
Theo giả thiết ta có hình vẽ sau:
Ta có:
\[\eqalign{ & \overrightarrow {AB} = \left[ {1;1;1} \right] \cr & \overrightarrow {A{\rm{D}}} = \left[ {0; – 1;0} \right] \cr & \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {A{\rm{D}}} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_C} – 2 = 0 \hfill \cr {y_C} – 1 = – 1 \hfill \cr {z_C} – 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_C} = 2 \hfill \cr {y_C} = 0 \hfill \cr
{z_C} = 2 \hfill \cr} \right. \cr} \]