Bài tập lý thuyết tối ưu phi tuyến năm 2024

- Các khái niệm về tập lồi, hàm lồi, tính liên tục của hàm lồi, định lý Hahn-Banach, tách tập lồi.

- Lý thuyết tồn tại cực trị.

- Nón pháp tuyến, nón tiếp xúc, định lý Lusternik .

- Đạo hàm, dưới vi phân của hàm phi tuyến.

- Điều kiện tối ưu: cần, đủ

- Lý thuyết đối ngẫu, điểm yên ngựa.

3. Tóm tắt nội dung học phần

Tiếng Việt: Khóa học cung cấp cho sinh viên các kiến thức về:

- Các khái niệm về tập lồi, hàm lồi, tính liên tục của hàm lồi, định lý Hahn-Banach, tách tập lồi.

- Lý thuyết tồn tại cực trị.

- Nón tiếp xúc, nón pháp tuyến, định lý Lusternik

- Đạo hàm, dưới vi phân của hàm phi tuyến.

- Điều kiện tối ưu: cần, đủ

- Lý thuyết đối ngẫu, điểm yên ngựa

Tiếng Anh: This course provides:

- Convex analysis, convex sets, affine sets, Caratheodory’s Theorem

- Convex functions, quasiconvex functions, lower and upper semicontinuity, continuity, Lipschitz continuity, Karamardian’s Theorem, local minima

- Weak and star-weak topologies, general topology, topological vector spaces, locally convex spaces

- The Hahn-Banach Theorem, extension version, separation versions, Minkowski functional, Mazur’s Theorem, strict separation

- Existence theorems for minima

- Tangent cones, the Lusternik Theorem

- Generalized derivatives, subdifferentials, quasidifferentials, Clarke derivative

- Optimality conditions, necessary conditions, sufficient conditions

- Duality theorems, saddle points

4. Nội dung chi tiết học phần

Chương 1. Giải tích lồi

1.1 Tập lồi trong không gian tuyến tính

1.2 Hàm lồi trong không gian tuyến tính

1.3 Tính liên tục của hàm lồi trong không gian định chuẩn

1.4 Nửa liên tục trong không gian định chuẩn

1.5 Hàm tựa lồi trong không gian định chuẩn

1.6 Tôpô yếu và tôpô yếu *

1.7 Định lí Hahn-Banach

Chương 2 Các định lí tồn tại

2.1 Các định lí tồn tại

2.2 Tập các điểm cực tiểu

2.3 Các áp dụng

Chương 3. Nón pháp tuyến

3.1 Các định nghĩa và tính chất

3.2 Điều kiện tối ưu tổng quát

3.3 Định lí Lusternik

Chương 4. Đạo hàm suy rộng

4.1 Đạo hàm theo phương, đạo hàm Gateaux và Fréchet

4.2 Dưới vi phân

4.3 Tựa khả vi

4.4 Đạo hàm Clarke

Chương 5. Qui tắc nhân tử Lagrange

5.1 Tối ưu có ràng buộc

5.2 Điều kiện cần tối ưu

5.3 Điều kiện đủ tối ưu

5.4 Các áp dụng

Chương 6. Đối ngẫu

6.1 Định lí đối ngẫu dạng đối ngẫu Lagrange

6.2 Đối ngẫu Wolfe

6.3 Điểm yên ngựa

5. Phương pháp dạy và học

Phương pháp truyền thống: giáo viên truyền đạt kiến thức cho sinh viên, cung trao đổi về các nội dung bài học.

Kết hợp phương pháp điện tử: giáo án bằng slide, các bài tập qua email…

6. Phương pháp, hình thức kiểm tra, đánh giá kết quả học tập

Giữa kỳ: 30% Cuối kỳ: 70%

[1] J.F. Bonnans and A. Shapiro, Perturbation Analysis of Optimization Problems, Springer, New York, 2000.

• What is Scribd?
• Documents[selected]
• Explore Documents

  Categories

  • Academic Papers
  • Business Templates
  • Court Filings
  • All documents
  • Sports & Recreation
    • Bodybuilding & Weight Training
    • Boxing
    • Martial Arts
  • Religion & Spirituality
    • Christianity
    • Judaism
    • New Age & Spirituality
    • Buddhism
    • Islam
  • Art
    • Music
    • Performing Arts
  • Wellness
    • Body, Mind, & Spirit
    • Weight Loss
  • Self-Improvement
  • Technology & Engineering
  • Politics
    • Political Science All categories

100% found this document useful [1 vote]

512 views

168 pages

Copyright

© © All Rights Reserved

Available Formats

PDF, TXT or read online from Scribd

Share this document

Did you find this document useful?

100% found this document useful [1 vote]

512 views168 pages

Tối ưu phi tuyến - phần 2

Jump to Page

You are on page 1of 168

Chương 7

PHƯƠNG PHÁP GRADIENT

7.1ẵPHƯƠNG PHÁP HƯỚNG Dốc NHÂT

7.1.1ệ Nội dung phưưng phápXét bài toán tối ưu không ràng buộc

min [f[x]: X £ K"|.

Ta sẽ xây dựng một dãy điểm x°, X1, X2, ... sao cho f[xk+l]

00

và

Vf[x*] = 0. Giả sử ta có điểm xk thuộc lân cận của X*, khi đó để giảm hàm mục tiêu ta sẽ dịch chuyển từ xk theo hướng dk tạo với véctơ gradient Vf[xk] một góc tù, tức là xác địnhxk+l = xk + akdk trong đó ak \> 0, < 0.Thật vậy, khai triển hàm f[x] thành chuỗi Taylor tại điểm xk ta được

a2

f[x] = f[xk] + a + — ,„ong dó vf[x] . Ểgíì

.......

mf.

v>f[j] .

ỠX| ỡx2 ỡxn ƠXịỡXjcấp nxn và xk = xk + 0[x - xk] với 0 e [0,1]. Nếu < 0 thì với a \> 0 đủ nhỏ ta có f[x] < f[xk].Việc lựa chọn hướng dịch chuyển dk và

độ dài bước

ak khác nhau sẽ cho ta các phương pháp gradient khác nhau. Nếu chọn dk — - Vf[xk] với mọi k thì phương pháp gradient như thế gọi là

phương

183

pháp luỉớng dốc nhất

[Steepest Descent Method]. Đây là một phương pháp thông dụng để tìm cực tiểu, nó rất đơn giản và có thể áp dụng cho nhiều lớp hàm rất rộng. Phương pháp này xây dựng dãy lặp:xk+' \= xk - otkVf[xk], ctk \> 0, k \= 0, 1,... [7.1]Ì3. Thuật toán xác định ak tại mỗi bước lặp

{Qui tắc Armijo]:

1. Chọn giá trị a tùy ý [như nhau với mọi bước lặp, chẩng hạn

a \= 1] và xác định điểm X \= xk- ccVf[xk].

1. Tính f[x] = f[xk - aVf[xk]].3] Kiểm tra bất đảng thức:f[x] - f[xk] < ea \= - eallVf[xk]ll2 [7.2]với

0 < £ < 1là

một

hằng

số

được chọn tùy ý,

như nhau

với

mọi

k

\= 0,1,

...

1. Nếu [7.2] thỏa mãn thì a là giá trị cần tìm: ak \=

a.

Nếu [7.2] không thỏa mãn thì ta giảm a [bằng cách nhân

a

với một số

Ấ

6 [0, 1], chẳng hạn

Ằ = Vì]

cho đến khi bất đẳng thức [7.2] được thỏa mãn.7.1.2. Sự hội tụ của phương pháp gradient

Ta nói dãy [xk] hội tụ tới điểm X* với

tôỆc độ liội tụ tuyến lính

hay tốc độ hội tụ cấp số nhân [công bội q] nếu bắt đầu từ một chi số k nào đó ta có bất đảng thức

llxk+l - x*ll < q llxk - x*ll, 0 < q < 1.

Cơ sở của việc lựa chọn a như trên và sự hội tụ của phương pháp gradient cho trong định lý sau.Định lý 7.1ẻ

Giả sử hàm

f[x]

bị chặn dưới, gradient

Vf[x]

thỏa

mãn điều kiện Lipschitz

:IIVf[x] - Vf[y]ll < Lllx - yll, Vx, yel”và ak

được chọn theo thuật toán nêu trên. Khi đó, với bát kỳ’ điềm ban

đầu

x°,

quá trình lặp

[7.1]

có tính chất:

IIVf[xk]ll -> 0

khi

k -►X.

184

Chứng minh. Theo định lý giá trị trung bình:

f[x] - f[xk] = ,

trong đó xk = xk + 0[x - xk] với 0 e [0, 1], Do X- xk \= - aVf[xk] nên ta có

f[x] - f[xk] = + ,

< - a + ã \> 0, trong đó ã có thể chọn là hằng sô' tùy ý không vượt quá [1 - £]/ L [vì bất đảng thức [7.2] hay [7.3] được thỏa mãn với a \= [1 - e]/L]. Từ [7.4], [7.5] và chú ý này suy ra IIVf[xk]ll -» 0 khi

k ->

00

. Định lý được chứng minh.

Định lý 7.1 bảo đàm giá trị hàm mục tiêu hội tụ hoặc đến cận iưới inf f[x], hoặc tới giá trị của hàm tại điểm dừng nào đó [có thể à điểm cực tiểu địa phương hay điểm yên ngựa]. Với những giả

185

Reward Your Curiosity

Everything you want to read.

Anytime. Anywhere. Any device.

No Commitment. Cancel anytime.