Tổng hợp 40 bài toán thực tế luyện thi THPT Quốc gia 2017
Giáo viên: Đỗ Viết Tuân
Lớp 12 1223 lượt xem
Tổng hợp 40 bài toán thực tế luyện thi THPT Quốc gia 2017
Giáo viên: Đỗ Viết Tuân
Lớp 12 1223 lượt xem
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Phần Phương trình mặt cầu Toán lớp 12 với các dạng bài tập chọn lọc có trong Đề thi THPT Quốc gia và trên 100 bài tập trắc nghiệm chọn lọc, có đáp án. Vào Xem chi tiết để theo dõi các dạng bài Phương trình mặt cầu hay nhất tương ứng.
Bài giảng: Cách viết phương trình mặt cầu - dạng bài cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]
Cách tìm tâm và bán kính mặt cầu
+ Phương trình [S]: [x-a]2+[y-b]2+[z-c]2=R2 là phương trình mặt cầu [S] có tâm I [a; b; c], bán kính R
+ Phương trình [S]: x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 thỏa mãn điều kiện a2+b2+c2-d>0 là phương trình mặt cầu tâm I [a; b; c]; bán kính
Bài 1: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu, nếu là phương trình mặt cầu, hãy tìm tâm và bán kính của mặt cầu đó
a] [x-2]2+[y+3]2+z2=5
b] x2+y2+z2-2x+4y-6z+1=0
c] 3x2+3y2+3z2-6x+3y+21=0
Hướng dẫn:
a] Phương trình [x-2]2+[y+3]2+z2=5 có dạng
[x-a]2+[y-b]2+[z-c]2=R2 nên là phương trình mặt cầu có tâm
I [2; -3; 0] và bán kính R=√5.
b] Phương trình x2+y2+z2-2x+4y-6z+1=0 có dạng
x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 với a = 1; b = -2; c = 3, d = 1
⇒ a2+b2+c2-d=13>0
Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu có tâm I [1; -2; 3] và bán kính R=√13.
c] Phương trình 3x2+3y2+3z2-6x+3y+21=0
⇔ x2+y2+z2-2x+y+7=0
Phương trình có dạng x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 với
a=1;b=[-1]/2;c=0;d=7 ⇒a2+b2+c2-d=[-23]/40
⇔ m2+[m+1]2+22-1>0⇔2m2+2m+3>0 ⇔m∈R.
b] Phương trình x2+y2+z2-2[m-3]x-4mz+8=0 có a=m-3;
b=0;c=2m;d=8
Phương trình là phương trình mặt cầu ⇔a2+b2+c2-d>0
⇔[m-3]2+4m2-8>0 ⇔5m2-6m+1>0
Bài 3: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x2+y2+z2+2[m+2]x-2[m-3]z+m2-1=0 là phương trình của mặt cầu có bán kính nhỏ nhất.
Hướng dẫn:
Phương trình x2+y2+z2+2[m+2]x-2[m-3]z+m2-1=0 có:
a=-[m+2];b=0;c=m-3;d=m2-1
Phương trình là phương trình mặt cầu ⇔ a2+b2+c2-d>0
⇔ [m+2]2+[m-3]2-m2+1>0 ⇔ m2-2m+14>0 ⇔ m∈R.
Khi đó, bán kính mặt cầu là:
Dấu bằng xảy ra khi m = 1.
Vậy với m = 1 thì mặt cầu có bán kính nhỏ nhất R=√13.
Viết phương trình mặt cầu có tâm I và bán kính R
Phương trình chính tắc của mặt cầu có tâm I [a; b; c] và bán kính R là:
[S]: [x-a]2+[y-b]2+[z-c]2=R2
Bài 1: Viết phương trình mặt cầu có tâm I [2; 3; -1] và có bán kính R = 5.
Hướng dẫn:
Phương trình chính tắc của mặt cầu có tâm I [a; b; c] và bán kính R là:
[S]: [x-a]2+[y-b]2+[z-c]2=R2
Khi đó, phương trình mặt cầu có tâm I [2; 3; -1] và có bán kính R = 5 là:
[S]: [x-2]2+[y-3]2+[z+1]2=25.
Bài 2: Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB với A [4; -3; 7], B[2; 1; 3]
Hướng dẫn:
Gọi I là trung điểm của AB
Do AB là đường kính của mặt cầu I là tâm mặt của mặt cầu.
⇒ I[3; -1;5]
Bán kính mặt cầu là:
R=IA
Vậy phương trình mặt cầu có đường kính AB là:
[x-3]2+[y+1]2+[z-5]2=9
Chú ý: Để lập phương trình mặt cầu nhận AB là đường kính thì ta tìm tâm I là trung điểm của AB và bán kính R=AB/2
Bài 3: Viết phương trình mặt cầu có tâm I [3; -2; 2] và đi qua A[-2; 0; -1]
Hướng dẫn:
Vì mặt cầu [S] đi qua A nên [S] có bán kính
R=IA=√38
Vậy phương trình mặt cầu có tâm I [3; -2; 2] và bàn kính R=√38 là:
[x-3]2+[y+2]2+[z-2]2=38
Chú ý: Để lập phương trình mặt cầu khi biết tâm I [a; b; c] và đi qua một điểm A cho trước thì ta tìm bán kính R = IA. Khi đó, phương trình mặt cầu [S] có dạng:
[S]: [x-a]2+[y-b]2+[z-c]2=R2
Viết phương trình mặt cầu có tâm tiếp xúc mặt phẳng
Do mặt cầu [S] tiếp xúc với mặt phẳng [P] nên khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng [P] bằng bán kính R
R=d[I;[P]]
Khi đó, phương trình mặt cầu cần tìm là:
[S]: [x-a]2+[y-b]2+[z-c]2=R2
Bài 1: Viết phương trình mặt cầu có tâm I [1; -2; 0] và tiếp xúc với mặt phẳng [P]: x + 2x + 2z – 5 = 0.
Hướng dẫn:
Khoảng cách từ I đến mặt phẳng [P] là:
d[I;[P]]
Do [P] tiếp xúc với mặt cầu [S] nên bán kính mặt cầu R=d[I;[P]]=8/3
Khi đó, phương trình mặt cầu có tâm I [1; -2; 0] và tiếp xúc với [P] là:
[x-1]2+[y+2]2+z2=64/9
Bài 2: Viết phương trình mặt cầu có tâm I [3; -1; -2] và tiếp xúc với mặt phẳng [Oxy]
Hướng dẫn:
Phương trình mặt phẳng [Oxy] là: z = 0
Khoảng cách từ I đến mặt phẳng Oxy là:
d[I;[Oxy]]=|-2|/√[12 ]=2
Phương trình mặt cầu có tâm I [3; -1; -2] và tiếp xúc với mặt phẳng [Oxy] là:
[x-3]2+[y+1]2+[z+2]2=4
Bài 3: Cho 4 điểm A [3; -2; -2], B [3; 2; 0], C [0; 2; 1] và D [-1; 1; 2]. Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng [BCD].
Hướng dẫn:
BC→=[-3;0;1]; BD→=[-4; -1;2]
⇒ [BC→ , BD→ ]=[1;2;3]
⇒ Vecto pháp tuyến của mặt phẳng [BCD] là: n→ =[1;2;3]
Phương trình mặt phẳng [BCD] có VPPT n→=[1;2;3] và đi qua điểm B[3; 2; 0] là: x-3+2[y-2]+3z=0
⇔ x+2y+3z-7=0
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng [BCD] là:
d[A;[BCD]]
Khi đó, phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với [BCD] là:
[x-3]2+[y+2]2+[z+2]2=14
Bài giảng: Cách viết phương trình mặt cầu - dạng bài nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]
Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp
Câu 10. Trong không gian Oxyz, cho A[0; 0; −3], B[2; 0; −1] và [P ]: 3x − 8y + 7z − 1 = 0. Có
bao nhiêu điểm C trên mặt phẳng [P ] sao cho 4ABC đều?
A Vô số. B 1. C 3. D 2.
Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [P ] song song và
cách đều hai đường thẳng d
1
:
x − 2
−1
=
y
1
=
z
1
và d
2
:
x
2
=
y − 1
−1
=
z − 2
−1
.
A [P ]: 2x − 2z + 1 = 0. B [P ]: 2y − 2z + 1 = 0.
C [P ]: 2y − 2z − 1 = 0. D [P ]: 2x − 2y + 1 = 0.
Câu 12. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai mặt cầu [S
1
] : x
2
+y
2
+z
2
+4x+2y+z =
0; [S
2
] : x
2
+ y
2
+ z
2
− 2x − y − z = 0 cắt nhau theo một đường tròn [C] nằm trong mặt phẳng
[P ]. Cho các điểm A [1; 0; 0] , B [0; 2; 0] , C [0; 0; 3]. Có bao nhiêu mặt cầu tâm thuộc [P ] và tiếp
xúc với cả ba đường thẳng AB, BC, CA?
A 2 mặt cầu. B 3 mặt cầu. C 1 mặt cầu. D 4 mặt cầu.
Câu 13. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A[−1; 2; 1], B[1; 2; −3] và đường thẳng d :
x + 1
2
=
y − 5
2
=
z
−1
. Tìm véc-tơ chỉ phương
−→
u của đường thẳng ∆ đi qua A và vuông góc với d đồng
thời cách B một khoảng lớn nhất.
A
−→
u = [4; −3; 2]. B
−→
u = [1; 0; 2]. C
−→
u = [2; 2; −1]. D
−→
u = [2; 0; −4].
Câu 14. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A[2; 1; −1], B[−2; 3; 1] và C[0; −1; 3].
Gọi d là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vuông góc với mặt
phẳng [ABC]. Phương trình đường thẳng d là
A
x + 1
1
=
y − 1
1
=
z − 2
1
. B
x − 1
1
=
y
1
=
z
1
.
C
x
−2
=
y − 2
1
=
z
1
. D
x + 1
1
=
y
1
=
z
1
.
Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A[1; 1; 1], B[2; 3; 0] biết
tam giác ABC có trực tâm H[0; 3; 2]. Tìm tọa độ của điểm C.
A C[2; 2; 2]. B C[1; 2; 1]. C C[3; 2; 3]. D C[4; 2; 4].
Câu 16. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:
x − 1
1
=
y − 2
2
=
z − 3
1
và mặt phẳng
[α] : x + y −z − 2 = 0. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng [α],
đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng d?
A
x − 1
3
=
y − 1
−2
=
z
1
. B
x + 2
−3
=
y + 4
2
=
z + 4
−1
.
C
x − 5
3
=
y − 2
−2
=
z − 5
1
. D
x − 2
1
=
y − 4
−2
=
z − 4
3
.
Câu 17. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A[0; 2; −4], B[−3; 5; 2]. Tìm
tọa độ điểm M sao cho biểu thức MA
2
+ 2MB
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
A M [−3; 7; −2]. B M
−
3
2
;
7
2
; −1
. C M[−1; 3; −2]. D M [−2; 4; 0].
Câu 18. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu [S]: [x−1]
2
+[y+1]
2
+[z−2]
2
=
16 và điểm A[1; 2; 3]. Ba mặt phẳng thay đổi đi qua A và đôi một vuông góc với nhau, cắt mặt
cầu theo ba đường tròn. Tính tổng diện tích của ba hình tròn tương ứng đó.
A 38π. B 33π. C 36π. D 10π.
Câu 19. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A[0; −2; −1], B[−2; −4; 3],
C[1; 3; −1] và mặt phẳng [P ] : x+y−2z−3 = 0. Tìm điểm M ∈ [P ] sao cho
−−→
MA +
−−→
MB + 2
−−→
MC
đạt giá trị nhỏ nhất.
Trang 2/69 − Mã đề 899