11:30:2010/06/2020
Ngoài những bài tập xét tính đơn điệu của hàm số cụ thể, tường minh thì dạng toán xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên tập số thực R hay trên một khoảng cho trước có tham số sẽ khó hơn. Để giải các dạng bài tập này, chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết dưới đây.
» Đừng bỏ lỡ: Các dạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số cực hay
I. Kiến thức về tính đơn điệu của hàm số cần nhớ.
1. Định nghĩa tính đơn điệu của hàm số
• Cho hàm số y = f[x] xác định trên K [với K là một khoảng hoặc một đoạn hoặc nửa khoảng].
- Hàm số y = f[x] là đồng biến [tăng] trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f[x1] < f[x2].
- Hàm số y = f[x] là nghịch biến [giảm] trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f[x1] > f[x2].
• Hàm đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K.
2. Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu
a] Điều kiện cần để hàm số đơn điệu:
• Giả sử hàm số y = f[x] có đạo hàm trên khoảng K.
- Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'[x] ≥ 0, ∀x ∈ K và f'[x] = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm.
- Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'[x] ≤ 0, ∀x ∈ K và f'[x] = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm.
b] Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu
• Giả sử hàm số y = f[x] có đạo hàm trên khoảng K.
- Nếu f'[x] > 0, ∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K
- Nếu f'[x] < 0, ∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K
- Nếu f'[x] = 0, ∀x ∈ K thì hàm số không đổi trên khoảng K
II. Các dạng bài tập xét tính đơn điệu [đồng biến, nghịch biến] của hàm số
° Xét tính đơn điệu của hàm số cụ thể [không có tham số]
* Phương pháp:
- Bước 1: Tìm Tập Xác Định, Tính f'[x]
- Bước 2: Tìm các điểm tại đó f'[x] = 0 hoặc f'[x] không xác định.
- Bước 3: Sắp xếp các điểm đó đăng dần và lập bảng biến thiên
- Bước 4: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
* Ví dụ 1 [Bài 1 trang 9 SGK Giải tích 12]: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:
a]
b]
c]
° Lời giải:
a]
- Tập xác định : D = R
- Ta có: y' = 3 – 2x
- Cho y’ = 0 ⇔ 3 – 2x = 0 ⇔ x = 3/2.
- Tại x = 3/2 ⇒ y =25/4
- Ta có bảng biến thiên:
- Kết luận: Vậy hàm số đồng biến trong khoảng [-∞; 3/2] và nghịch biến trong khoảng [3/2;+∞].
b]
- Tập xác định: D = R
- Ta có: y' = x2 + 6x - 7
- Cho y' = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = -7
- Tại x = 1 ⇒ y = [-17]/3; Tại x = -7 ⇒ y = 239/3.
- Ta có bảng biến thiên:
- Kết luận: Vậy hàm số đồng biến trong các khoảng [-∞;-7] và [1;+∞]; nghịch biến trong khoảng [-7;1].
c]
- Tập xác định: D = R
- Ta có: y'= 4x3 – 4x.
- Cho y' = 0 ⇔ 4x3 – 4x = 0 ⇔ 4x[x – 1][x + 1] = 0
⇔ x = 0 hoặc x = 1 hoặc x = -1
- Tại x = 0 ⇒ y = 3; Tại x = 1 ⇒ y = 2; Tại x = -1 ⇒ y = 2
- Ta có bảng biến thiên:
* Ví dụ 2 [Bài 2 trang 10 SGK Giải tích 12]: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số
a]
c]
° Lời giải:
a]
- Tập xác định: D = R {1}
- Ta có:
Vì y' không xác định tại x = 1
- Ta có bảng biến thiên sau:
- Kết luận: Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng [-∞;1] và [1;+∞].
b] Học sinh tự làm
c]
- Tập xác định: D = [-∞;-4]∪[5;+∞]
- Ta có:
- Cho
y' không xác định tại x = -4 và x = 5
- Ta có bảng biến thiên sau
- Kết luận: Vậy hàm số nghịch biến trong khoảng [-∞;-4]; đồng biến trong khoảng [5;+∞].
d] Học sinh tự làm
° Xét tính đơn điệu của hàm số có tham số m
* Hàm đồng biến, nghịch biến trên TẬP XÁC ĐỊNH
* Phương pháp:
• Đối với hàm đa thức bậc ba: y = f[x] = ax3 + bx2 + cx + d; [a≠0].
+ Tính f'[x] =3ax2 + 2bx + c, khi đó:
- Hàm đa thức bậc ba y=f[x] đồng biến trên R
- Hàm đa thức bậc ba y=f[x] nghịch biến trên R
• Đối với hàm phân thức bậc nhất:
+ Tính
- Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định khi y'>0 hay [ad-bc]>0
- Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi y'