Tài liệu gồm 53 trang được biên soạn bởi thầy Lương Văn Huy tuyển tập bài toán min – max số phức có lời giải chi tiết, các bài toán được trích dẫn từ các đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia. Tài liệu phù hợp với đối tượng học sinh khá, giỏi muốn ôn tập chinh phục điểm 8 – 9 – 10 trong kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán.
Một số tính chất cần nhớ 1. Môđun của số phức 2. Một số quỹ tích nên nhớ Một số dạng đặc biệt cần lưu ý + Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng + Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn + Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip
Xem thêm : Tài liệu cực trị số phức
- Bất đẳng thức Bunhiacopxki: \[\left[ {{a^2} + {b^2}} \right]\left[ {{c^2} + {d^2}} \right] \ge {\left[ {ac + bd} \right]^2}\]
- Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: \[\left| {\left| {{z_1}} \right| - \left| {{z_2}} \right|} \right| \le \left| {{z_1} \pm {z_2}} \right| \le \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\]
Quảng cáo
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm số phức thỏa mãn điều kiện có mô đun nhỏ nhất, lớn nhất.
Phương pháp:
- Bước 1: Gọi số phức \[z = x + yi\left[ {x,y \in R} \right]\].
- Bước 2: Thay \[z\] và biểu thức đã cho tìm mối quan hệ của \[x,y\].
- Bước 3: Đánh giá biểu thức có được để tìm max, min, từ đó suy ra \[x,y \Rightarrow z\].
Ví dụ: Cho \[{z_1};{z_2}\] thỏa mãn \[\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 1;\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 3.\] Tính max\[T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|.\]
- \[8\]
- \[10\]
- \[4\]
- \[\sqrt {10} \]
Giải
Đặt \[{z_1} = {x_1} + {y_1}i;{z_2} = {x_2} + {y_2}i.\] \[[{x_1},{y_1},{x_2},{y_2} \in R]\]. Điều kiện đã cho trở thành
+] \[\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 1\]\[ \Rightarrow \left| {{x_1} + {y_1}i - {x_2} - {y_2}i} \right| = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{{[{x_1} - {x_2}]}^2} + {{[{y_1} - {y_2}]}^2}} = 1\]
\[ \Leftrightarrow {x_1}^2 + {x_2}^2 + {y_1}^2 + {y_2}^2 - 2{x_1}{x_2} - 2{y_1}{y_2} = 1\] [1]
+] \[\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 3 \Rightarrow \left| {{x_1} + {y_1}i + {x_2} + {y_2}i} \right| = 3\]
\[ \Leftrightarrow {x_1}^2 + {x_2}^2 + {y_1}^2 + {y_2}^2 + 2{x_1}{x_2} + 2{y_1}{y_2} = 9\] [2]
Cộng vế với vế của [1] và [2] ta được \[{x_1}^2 + {x_2}^2 + {y_1}^2 + {y_2}^2 = 5\]
+] \[T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{x_1}^2 + {y_1}^2} + \sqrt {{x_2}^2 + {y_2}^2} \]
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được
\[T = 1.\sqrt {{x_1}^2 + {y_1}^2} + 1.\sqrt {{x_2}^2 + {y_2}^2} \le \sqrt {\left[ {1 + 1} \right].\left[ {{x_1}^2 + {x_2}^2 + {y_1}^2 + {y_2}^2} \right]} \]
\[ = \sqrt {2.5} = \sqrt {10} \Rightarrow \] \[\max T = \sqrt {10} .\]
Đáp án D
Có thể sử dụng phương pháp hình học để giải các bài tập dạng này.
Phương pháp:
Bước 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức. Có 4 tập hợp điểm thường gặp
+] Đường thẳng
+] Đường tròn
+] Đường elip
+] Parabol
Bước 2: Vẽ tập hợp điểm biểu diễn của số phức. Từ đó tìm max, min của mô đun
Số phức \[z = x + yi[x,y \in R]\] có điểm biểu diễn là \[M[x,y]\]. Mô đun của số phức \[z\] là độ dài đoạn thẳng \[OM\] với \[O\] là gốc tọa độ.
Ví dụ: Cho số phức \[z = x + yi\] thỏa mãn \[\left| {z - 2 - 4i} \right| = \left| {z - 2i} \right|\] đồng thời có mô đun nhỏ nhất. Tính \[N = {x^2} + {y^2}.\]
- \[N = 8\]
- \[N = 10\]
- \[N = 16\]
- \[N = 26\]
Giải
Gọi \[M[x,y]\] là điểm biểu diễn của số phức \[z = x + yi\]
+] \[\left| {z - 2 - 4i} \right| = \left| {z - 2i} \right|\]\[ \Rightarrow {[x - 2]^2} + {[y - 4]^2} = {x^2} + {[y - 2]^2} \Leftrightarrow - 4x + 4 - 8y + 16 = - 4y + 4\]
\[ \Leftrightarrow 4x + 4y = 16 \Leftrightarrow x + y - 4 = 0\]
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn của \[z\] là một đường thẳng \[x + y - 4 = 0\]
+] \[N = {x^2} + {y^2} = {\left| z \right|^2}\]
\[ \Rightarrow N\]min\[ \Leftrightarrow \left| z \right|\]min\[ \Leftrightarrow OM\]min \[ \Rightarrow OM \bot d:x + y - 4 = 0\]
\[ \Rightarrow M[2,2]\] \[ \Rightarrow N = {2^2} + {2^2} = 8\]
Đáp án A.
Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của mô đun số phức thỏa mãn điều kiện cho trước.
Phương pháp:
- Sử dụng các bất đẳng thức Cô si, Bunhiacopxki và bất đẳng thức tam giác.
Ví dụ: Cho \[z\] thỏa mãn \[\left| {z - 2 - 4i} \right| = \sqrt 5 .\] Tìm max\[\left| z \right|.\]
- \[3\sqrt 5 \]
- \[5\]
- \[\sqrt 5 \]
- \[\sqrt {13} \]
Giải
Dấu hiệu: Đề bài yêu cầu tính max của một mô đun ta sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đôi.
Ta có: \[\left| z \right| - \left| { - 2 - 4i} \right| \le \left| {z - 2 - 4i} \right| \Leftrightarrow \left| z \right| - \sqrt {20} \le \sqrt 5 \Leftrightarrow \left| z \right| \le \sqrt {20} + \sqrt 5 = 3\sqrt 5 \]
\[ \Rightarrow \] max\[\left| z \right| = 3\sqrt 5 \]
Đáp án A.
- Dạng lượng giác của số phức
- Các dạng toán về điểm biểu diễn số phức
- Bài 6 trang 144 SGK Giải tích 12 Giải bài 6 trang 144 SGK Giải tích 12. Trong các kết luận sau, kết luận nào là sai?
- Bài 5 trang 144 SGK Giải tích 12 Giải bài 5 trang 144 SGK Giải tích 12. Biết rằng nghịch đảo của số phức z bằng số phức liên hợp của nó, trong các kết luận sau, kết luận nào là đúng?
- Bài 4 trang 144 SGK Giải tích 12 Giải bài 4 trang 144 SGK Giải tích 12. Đẳng thức nào trong các đẳng thức sau là đúng?
\>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay
\>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.