Một sản phẩm của công ty TNHH Giáo dục Edmicro
CÔNG TY TNHH GIÁO DỤC EDMICRO MST: 0108115077 Địa chỉ: Tầng 4, nhà 25T2, lô N05, khu đô thị Đông Nam, đường Trần Duy Hưng, Phường Trung Hoà, Quận Cầu Giấy, Thành phố Hà Nội, Việt Nam
Lớp học
- Lớp 6
- Lớp 7
- Lớp 8
- Lớp 9
- Lớp 10
- Lớp 11
- Lớp 12
Tính năng
- Lớp học trực tuyến
- Video bài giảng
- Học tập thích ứng
- Bài kiểm tra mẫu
Đặc trưng
Tài khoản
- Gói cơ bản
- Tài khoản Ôn Luyện
- Tài khoản Tranh hạng
- Chính Sách Bảo Mật
- Điều khoản sử dụng
Thông tin liên hệ
+84 096.960.2660
Follow us
KHÓA: GIẢI TÍCH 1 – KHỐI KỸ THUẬT
CHƯƠNG 01: DÃY SỐBÀI TẬP GIỚI HẠN DÃY SỐ
Bài 1: Tìm giới hạn của các dãy số với số hạng tổng quát như sau:
[ 1]
[ 1]
n
n n
n x n
+−
−−
Lời giải:
[ ]
[ ]
1
[ 1] 1 1 / lim lim lim [ 1] 1 1 /
n n
n n n n n n
n n x → → n → n
+− +− = = = −− −−
2
2
57
7 2 6
n
nn x nn
+−
−+
Lời giải:
22
22
5 7 5 1 / 7 / l 7
im lim lim 7 2 6 7 2 / 6 /
5
n n n n
n n n n x → → n n → n n
- − + − = = = − + − +
32
2
2 1 5
2 3 5 1
− =+ ++
n
nn x nn
Lời giải:
[ ]
3 2 3 2
22
2 1 5 2 3 3 15 lim lim lim 2 3 5 1 2 3 5 1 n n n n
n n n n n n n n x → → n n → n n
− + − + − + = + = +
- * + +
22
1 3 1 1 / 3 / 1 lim lim 0 5 1 2 3 5 1 / 2 3 / 5
1
nn 5
n n n n
→ n n → n n
++ = − = − = − = + + + +
- 2 x n n nn = − −
Lời giải:
[ ]
[ ]
2 22 2 22
11 l 2
im lim lim lim 1 1 1 / 11
1
n n n n
n n n n n n n → → n n n → n n n → n
−− − − = = = = =
- − + − +− +
- 3 3 x n nn = + − 1
Lời giải: [ ] [ ]
[ ]
[ ]
3 333 3333 2 2 333 3
1 lim 1 lim 1 lim
11
n n n
nn n n n n
n n n n
→ → →
−−
- − = − − =
- − + −
[ ]
2 2 333 3
0
1 lim
11
n n n n n
→
\==
- − + −
- 1
52
52
n xn n +
−
Lời giải:
1
11
5 2 5 / 2
2
1 / 2 1 / 2 lim lim 5 2 1 1
1
5 / 2
nn
nnnn
→ ++→
−− == ++
−
−
- 11
[ 2] 3
[ 2] 3
nn xn nn ++
−+
−+
Lời giải:
[ ]
[ ]
11 1
2 / 3 / 3 1
3
[ 2] 3 /3 1 / 3 lim lim [ 2] 3 2 1
1
/ 3 1
nn n
nn → nn ++→ n +
−+ −+ = = = −+ −+
. Ở đây đã sử dụng tính chất
với -1 < a < 1 [bài này là -2/3] thì an có giới hạn bằng 0 khi n ra vô cùng
23 sin −cos n =
nn x n
Lời giải:
23 sin cos 2 00 n
nn x nn
− = → khi lim n 0 n
nx →
→ = [nguyên lý kẹp]
− xxxnnn mà lim nn →[ ]− = xxnn lim→ = 0 lim n → xn = 0 [lại theo nguyên lý kẹp]
cos
1
\= +
n
nn x n
Lời giải:
cos 1 / 00 1 1 1 1 /
n
n n n n x n n n
= = → + + +
khi lim n 0 n
nx →
→ = [nguyên lý
kẹp]. Tương tự bài 1 từ đây có lim n 0 n
x →
\=
10] [ ]
2 x n nn = − −1 .sin n
Lời giải: [ ]
[ ]
2 22 22 22
1 1 0 1 .sin 1 0 11
n
nn x n n n n n n n n n
−− = − − − − = = →
- − + −
khi
lim n 0 n
nx →
→ = [nguyên lý kẹp]. Cũng từ đây có lim n 0 n
x →
\=
- 2
.sin!
1
n
nn x n
\= +
Lời giải: 2 2 2
.sin! 1 / 00 1 1 1 1 /
n
n n n n x n n n
= = → + + +
khi lim n 0 n
nx →
→ = [nguyên lý
kẹp]. Suy ra lim n 0 n
x →
\=
- 2
n n
n x =
Lời giải: [ ]
[ ]
[ ]
0 1 2 2 1 2 1 1 ... 2 2 1 / 2
nnn n n n n n n n
nn nn C C C C C x nn
− = + = + + + + = = −
[ ]
2 00 1 / 2 1
n
n x n n n
= → −−
khi lim n 0 n
nx →
→ =
2
!
n xn n
\=
Lời giải:
[ ] [ ] [ ]1 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 1 1 2 1
n
kk x k k k k k k n n
+− = = − = + + +
- −
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 ... 2
1 1 1 2 2 3 n n 1 2 3 n n n 1
= − + − + + − = − + − + + − = − → −−
khi n →
- 2 2 2
1 1 1 1 1 ... 1 23
xn n
= − − −
Lời giải:
[ ][ ]2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 1 3 1 1 1 2 111 1 1 ... 1 ... ... 2 3 2 3 2 3 2
nnnn
n n n n
− − − −+ + − − − = = =
từ
đó dãy số có giới hạn 1/
2 2 2
3
1 2 ... [ 1] n
n x n
- −
Lời giải: áp dụng kết quả trong câu [14]
2 2 2 [ ] [ 121 ]1 2 ... [ 1] 6
n n n n
−−
- − = thay vào
thì
[ ] [ ] [ ][ ]3 3
1 2 1 1 1 / 2 1 / 1.
6 6 6
1 n
n n n n n x n
− − − − = = → = khi n →
Bài 2: Xét sự hội tụ của các dãy sau có số hạng tổng quát như sau:
- cos 4
#######
n =
n x
Lời giải: khi n → thì:
8
8 cos cos 2 1 1 4
n
n x
#######
####### = = = → và
[ ]82
82 cos cos 2 0 0 42
n
n x
#######
####### +
- = = + = →
. Điều này
chứng tỏ hai dãy con có hai giới hạn khác. Vậy dãy không hội tụ.
1 xn =sin n
Lời giải: ta chứng minh sin[x] < x với x dương, gần 0 – bằng phương pháp hình học.
Thật vậy, vẽ vòng tròn đơn vị như
hình vẽ, góc x = AOB thì B thuộc góc
phần tư thứ nhất, và sin[x] = OH = BK
< BA < cung [BA] = x ta có đpcm.
Áp dụng:
11 0 xn sin 0 nn
= → khi n →, theo
nguyên lý kẹp thì xn hội tụ về 0
1 = − +[ 1] sin
n xn n
Lời giải: Theo câu 2 thì
1 lim sin 0 n → n
\= , mặt khác lim[ ] 1n n →
− không tồn tại vì nó nhận giá
trị xen kẽ -1 và 1.
Ta chứng minh dãy đã cho không tồn tại giới hạn, thật vậy, giả sử tồn tại, khi đó:
11 lim[ 1] lim sin lim lim sin n n n xxnnn n → → nn → →
− = − = −
, giới hạn này tồn tại, điều này mâu thuẫn.
Vậy dãy đã cho phân kỳ
- xnn =sin
Lời giải: giả sử dãy đã cho sin[n] hội tụ, suy ra sin 2 n cũng hội tụ, suy ra cos 2 n hội tụ,
gọi giới hạn của sin[n] là a, cos 2 n là b [a, b hữu hạn]
[ ] [ [ ] ]
22 2 sin n + = 1 sin cos1 cos sin1 n + n cos n sin 1= sin n + − 1 sin cos1 n , cho n ra vô cùng
được: [ ] [ ]2222 b sin 1= − a a cos1 = − a 1 cos1 [1]
[ ] [ [ ] ]
22 2 sin n + = 2 sin cos 2 cos sin 2 n + n cos n sin 2= sin n + − 2 sin cos 2 n , lại cho n ra vô
cùng được: [ ] [ ]2222 b sin 2= − a a cos 2 = − a 1 cos 2 [2]
[1] và [2] cho thấy a và b đồng thời khác 0, khi đó chia hai đẳng thức thu được:
[ ] [ ]2 2
2 2
sin 2 1 cos 2
sin 1 1 cos
−
−
. Ta có thể kiểm tra điều này sai bằng máy tính, vậy điều giả sử là
sai hay dãy đã cho phân kỳ
Bài 3: Chứng minh rằng dãy số un là một dãy số phân kỳ với:1 1 1 1 ... 23
un = + + + + n
Lời giải: đặt 222
1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ... ... 2 3 2 3 1 2
vnnvn v n n n n n
= + + + = + + + = ++ + + ++ 1 1 1
1 1 1
1 1 1 1 ... 2 1 2 1
n n n
n n n n n n k k k
n v v v v v v kn kn kn n kn n k
− − −
\= = =
= + + + + + = + = + = + + + + +
[1]
Giả sử dãy vn hội tụ, tức lim n n
va →
\= hữu hạn, thế thì cũng phải có lim 2 n n
va →
\= [a > 0 vì
dãy dương tăng]. Ở [1] có 22 n n vv cho n ra vô cùng được: aa 2 , điều này vô lí
Vậy dãy vn phân kỳ, suy ra dãy đã cho phân kỳ uvnn =+ 1
Bài 4: Chứng minh rằng:
- lim 1 0 n n
aa →
\=
Lời giải:
Với a > 1 1 n = + ab , b > 0, suy ra