Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương.
1. Các kiến thức cần nhớ
Quy tắc thế
Phương pháp thế là một trong những cách biến đổi tương đương một hệ phương trình, ta sử dụng quy tắc thế, bao gồm hai bước, sau đây:
Bước 1. Từ một phương trình của hệ phương trình đã cho [coi là phương trình thứ nhất], ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới [chỉ còn một ẩn].
Bước 2. Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ phương trình và giữ nguyên phương trình thứ nhất, ta được hệ phương trình mới tương đương với hệ phương trình đã cho.
Chú ý:
+ Nếu thấy xuất hiện phương trình có các hệ số của hai ẩn đểu bằng 0 thì hệ phương trình đã cho có thể có vô số nghiệm hoặc vô nghiệm.
2. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Phương pháp:
Căn cứ vào quy tắc thế, để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế, ta làm như sau:
Bước 1. Rút $x$ hoặc $y$ từ một phương trình của hệ phương trình, thay vào phương trình còn lại, ta được phương trình mới chỉ còn một ẩn.
Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Để lời giải được đơn giản, ta thường chọn phương trình có các hệ số có giá trị tuyệt đối không quá lớn [thường là $1$ hoặc$ - 1$ ] và rút $x$ hoặc $y$ có hệ số có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn qua ẩn còn lại.
Dạng 2: Giải hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương pháp:
Bước 1. Biến đổi hệ phương trình đã cho về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Bước 2. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế như ở Dạng 1.
Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ
Phương pháp:
Bước 1. Đặt ẩn phụ cho các biểu thức chung trong các phương trình của hệ phương trình đã cho để thu được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mới.
Bước 2. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế như ở Dạng 1, ta tìm được nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước.
Phương pháp:
Một số kiến thức thường sử dụng
+] Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.$có nghiệm $\left[ {{x_0};{y_0}} \right] \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a{x_0} + b{y_0} = c\\a'{x_0} + b'{y_0} = c'\end{array} \right..$
+] Đường thẳng $d:ax + by = c$đi qua điểm$M\left[ {{x_0};{y_0}} \right]$$ \Leftrightarrow a{x_0} + b{y_0} = c.$
Trả lời câu hỏi Bài 3 trang 14 Toán 9 Tập 2. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế [biểu diễn y theo x từ phương trình thứ hai của hệ
Các phương pháp giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn cùng hướng dẫn giải bài tập toán trong sách giáo khoa toán 9 kết nối tri thức, chân trời sáng tạo, cánh diều.
1. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: Phương pháp thế
- Cách giải hệ phương tình bằng phương pháp thế:
Bước 1: Từ một phương tình của hệ, biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.
Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.
2. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: Phương pháp cộng đại số
- Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số: Để giải một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có hệ số của cùng một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau, ta có thể làm như sau:
Bước 1: Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.
Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.
3. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: Cách sử dụng máy tính cầm tay
- Cách tìm nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng máy tính cầm tay: Muốn tìm nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng máy tính cầm tay, chúng ta cần sử dụng loại máy có chức năng này [thường có phím MODE]. Trước hết ta phải viết hệ phương trình cần tìm nghiệm dưới dạng:
Chẳng hạn để tìm nghiệm của hệ , ta viết dưới dạng
Khi đó, ta có a1 = 2; b1 = 3; c1 = 4; a2 = 5; b2 = 6; c2 = 7. Lần lượt thực hiện các bước sau với máy tính:
4. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
- Để giải bài tóa bằng cách lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, ta thực hiện như sau:
+ Bước 1: Lập hệ phương trình
- Chọn hai ẩn biểu thị hai đại lượng chưa biết và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn.
- Biểu diễn các đại lượng liên quan theo các ẩn và các đại lượng đã biết.
- Lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
+ Bước 2: Giải phương trình nhận được.
+ Bước 3: Kiểm tra nghiệm tìm được ở bước 2 có thỏa mãn điều kiện của ẩn hay không, rồi trả lời bài toán.
5. Bài tập giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn toán 9
5.1 Bài tập sách toán 9 kết nối tri thức
Bài 1.6 trang 16 SGK toán 9/1 kết nối tri thức
- Từ phương trình thứ nhất ta có x = y + 3. Thế vào phương trình thứ hai, ta được
3[y + 3] – 4y = 2, tức là 3y + 9 – 4y = 2, suy ra –y = –7 hay y = 7.
Từ đó x = 7 + 3 = 10.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là [10; 7].
- Từ phương trình thứ hai ta có y = –4x + 2. Thế vào phương trình thứ nhất, ta được
7x – 3[–4x + 2] = 13, tức là 7x + 12x – 6 = 13, suy ra 19x = 19 hay x = 1.
Từ đó y = –4 . 1 + 2 = –2.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là [1; –2].
- Từ phương trình thứ hai ta có x = 3y – 2. Thế vào phương trình thứ nhất, ta được
0,5[3y – 2] – 1,5y = 1, tức là 1,5y – 1 – 1,5y = 1, suy ra 0y = 2. [1]
Do không có giá trị nào của y thỏa mãn hệ thức [1] nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 1.7 trang 16 SGK toán 9/1 kết nối tri thức
- Cộng từng vế của hai phương trình ta được 3x + 2y + 2x – 2y = 20 hay 5x = 20, suy ra x = 4.
Thế x = 4 vào phương trình thứ nhất, ta được 3 . 4 + 2y = 6 hay 2y = –6, suy ra y = –3.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là [4; –3].
- Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 10 và nhân hai vế của phương trình thứ hai với 2, ta được:
Trừ từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được 9y = 27 hay y = 3.
Thế y = 3 vào phương trình thứ hai của hệ mới, ta có 3x – 4 . 3 = 3 hay 3x = 15, suy ra x = 5.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là [5; 3].
- Chia hai vế của phương trình thứ nhất cho 2 và chia hai vế của phương trình thứ hai với 3, ta được:
Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được 0x + 0y = 0. Hệ thức này luôn thỏa mãn với các giá trị tùy ý của x và y.
Với giá trị tùy ý của x, giá trị của y được tính nhờ hệ thức x – 3y = –4
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: với x
Bài 1.8 trang 16 SGK toán 9/1 kết nối tri thức
- Với m = –2 ta có hệ phương trình:
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 4, ta được:
Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được 5y = –9 hay y = -9/5
Thế y = -9/5 vào phương trình thứ nhất của hệ đã cho, ta có:
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là:
- Với m = –3 ta có hệ phương trình:
Chia hai vế của phương trình thứ hai cho 9, ta được:
Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được 0x + 0y = –3. [1]
Do không có giá trị nào của x và y thỏa mãn hệ thức [1] nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
- Với m = 3 ta có hệ phương trình:
Chia hai vế của phương trình thứ hai cho 9, ta được:
Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được 0x + 0y = –1. [1]
Do không có giá trị nào của x và y thỏa mãn hệ thức [1] nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Khóa học DUO dành riêng cho các em bậc THCS từ nhà trường VUIHOC, các em sẽ được học cùng các thầy cô TOP trường điểm quốc gia với kinh nghiệm giảng dạy phong phú. Đăng ký học thử để được trải nghiệm buổi học trực tuyến hoàn toàn miễn phí nhé!
5.2 Bài tập sách toán 9 chân trời sáng tạo
Bài 1 trang 21 SGK Toán 9/1 Chân trời sáng tạo
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là [2; −3].
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là [10; 7].
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là [−3; 2].
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là:
Bài 2 trang 21 SGK Toán 9/1 Chân trời sáng tạo
- Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 3, ta được
Trừ từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được 0x = −1. Phương trình này vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
- Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được 3x = 3. Suy ra x = 1.
Thay x = 1 vào phương trình thứ nhất của hệ đã cho, ta được:
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất:
- Chia hai vế của phương trình thứ hai cho ta được:
Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được
Thay vào phương trình thứ hai của hệ đã cho, ta được
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất:
Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được 2x = −1. Suy ra x = -1/2.
Thay x = -1/2 vào phương trình thứ hai của hệ mới, ta được:
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất:
Bài 3 trang 21 SGK Toán 9/1 Chân trời sáng tạo
- Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A[1; 2] nên
2 = a . 1 + b hay a + b = 2. [1]
Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm B[3; 8] nên
8 = a . 3 + b hay 3a + b = 8. [2]
Từ [1] và [2] ta có hệ phương trình:
Trừ từng vế hai phương trình của hệ [I], ta được –2a = –6. Suy ra a = 3.
Thay a = 3 vào phương trình thứ nhất của hệ [I], ta được 3 + b = 2. Do đó b = –1.
Vậy a = 3; b = –1.
- Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A[2; 1] nên
1 = a . 2 + b hay 2a + b = 1. [1]
Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm B[4; –2] nên
–2 = a . 4 + b hay 4a + b = –2. [2]
Từ [1] và [2] ta có hệ phương trình:
Trừ từng vế hai phương trình của hệ [I], ta được –2a = 3. Suy ra a = -3/2.
Thay a = -2/3 vào phương trình thứ nhất của hệ [I], ta được b = 4
Vậy a = -3/2; b = 4
Bài 4 trang 21 SGK Toán 9/1 Chân trời sáng tạo
Gọi x, y lần lượt là số chi tiết máy trong tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất được [x, y ∈ ℕ*].
Trong tháng thứ nhất, hai tổ sản xuất được 800 chi tiết máy nên ta có x + y = 800. [1]
Trong tháng thứ hai, tổ một sản xuất được là:
x + 15%x = 115%x = 1,15x [chi tiết máy]
Trong tháng thứ hai, tổ hai sản xuất được là:
y + 20%y = 120%y = 1,2y [chi tiết máy].
Theo đề bài, ta có phương trình 1,15x + 1,2y = 945. [2]
Từ [1] và [2] ta có hệ phương trình:
Vậy trong tháng thứ nhất, tổ một sản xuất được 300 chi tiết máy, tổ hai sản xuất được 500 chi tiết máy.
Bài 5 trang 21 SGK Toán 9/1 Chân trời sáng tạo
Gọi x, y [chiếc] lần lượt là số áo trong một ngày mỗi tổ may được [x ∈ ℕ*, y ∈ ℕ*].
Số chiếc áo tổ thứ nhất may trong 7 ngày là: 7x [chiếc]
Số chiếc áo tổ thứ hai may trong 5 ngày là: 5y [chiếc]
Theo đề bài ta có phương trình 7x + 5y = 1540. [1]
Mỗi ngày tổ thứ hai may được nhiều hơn tổ thứ nhất 20 chiếc áo nên ta có
y – x = 20. [2]
Từ [1] và [2] ta có hệ phương trình:
Vậy trong một ngày, tổ một may được 120 chiếc áo và tổ hai may được 140 chiếc áo.
Bài 6 trang 21 SGK Toán 9/1 Chân trời sáng tạo
Gọi x, y [tấn thóc] lần lượt là năng suất lúa giống mới và năng suất lúa giống cũ trên 1 ha [x, y ∈ ℕ*].
Số tấn thóc khi cấy 60 ha lúa giống mới là 60x [tấn thóc].
Số tấn thóc khi cấy 40 ha lúa giống cũ là 40x [tấn thóc].
Trên một cánh đồng, người ta thu hoạch được tất cả 660 tấn thóc nên
60x + 40y = 660 hay 3x + 2y = 33. [1]
Với 3 ha trồng lúa giống mới thu hoạch được ít hơn 4 ha trồng lúa giống cũ là 3 tấn nên ta có 4y – 3x = 3 hay – 3x + 4y = 3. [2]
Từ [1] và [2] ta có hệ phương trình:
Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được 6y = 36. Suy ra y = 6 [thỏa mãn].
Thay y = 6 vào phương trình thứ nhất, ta được 3x + 2 . 6 = 33. Do đó x = 7 [thỏa mãn].
Vậy năng suất lúa giống mới trên 1 ha bằng 7 ha.
Bài 7 trang 21 SGK Toán 9/1 Chân trời sáng tạo
- Gọi x, y lần lượt là hệ số của Ag và Cl2 thỏa mãn cân bằng phương trình hóa học
xAg + yCl2 AgCl
Cân bằng số nguyên tử Ag, số nguyên tử Cl ở hai vế, ta được:
Đưa các hệ số tìm được vào phương trình hóa học, ta có:
Do các hệ số của phương trình hóa học phải là số nguyên nên nhân hai vế của phương trình hóa học với 2, ta được: 2Ag + yCl2 → 2AgCl
- Gọi x, y lần lượt là hệ số của CO2 và C thỏa mãn cân bằng phương trình hóa học
xCO2 + yC → CO
Cân bằng số nguyên tử C, số nguyên tử O ở hai vế, ta được:
Đưa các hệ số tìm được vào phương trình hóa học, ta có:
Do các hệ số của phương trình hóa học phải là số nguyên nên nhân hai vế của phương trình hóa học với 2, ta được
CO2 + C → 2CO
5.3 Bài tập sách toán 9 cánh diều
Bài 1 trang 25 SGK Toán 9/1 Cánh diều
- Giải hệ phương trình:
Bài 2 trang 25 SGK Toán 9/1 Cánh diều
Bài 3 trang 25 SGK Toán 9/1 Cánh diều
Bài 4 trang 25 SGK Toán 9/1 Cánh diều
Bài 5 trang 25 SGK Toán 9/1 Cánh diều
Bài 6 trang 25 SGK Toán 9/1 Cánh diều
Bài 7 trang 25 SGK Toán 9/1 Cánh diều
HỌC ONLINE CÙNG GIÁO VIÊN TOP 5 TRƯỜNG ĐIỂM QUỐC GIA
Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:
⭐ Xây dựng lộ trình học cá nhân hóa, giúp con tăng 3 - 6 điểm chỉ sau 1 khóa học
⭐ Học chắc - ôn kỹ, tăng khả năng đỗ vào các trường chuyên cấp 2, cấp 3
⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo mong muốn và thời gian biểu cá nhân
⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô, hỗ trợ con 24/7
⭐ Học lý thuyết đi đôi với thực hành, kết hợp chơi và học giúp con học hiệu quả
⭐ Công nghệ AI cảnh báo học tập tân tiến, giúp con tập trung học tập
⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập được biên soạn bởi các thầy cô TOP 5 trường điểm quốc gia