Cách giải bài tập lượng giác lớp 11

Với Cách giải phương trình lượng giác cơ bản Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập phương trình lượng giác từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

- Phương trình sinx = a        [1]

    ♦ |a| > 1: phương trình [1] vô nghiệm.

    ♦ |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa mãn sinα = a.

Khi đó phương trình [1] có các nghiệm là

                x = α + k2π, k ∈ Z

                và x = π-α + k2π, k ∈ Z.

Nếu α thỏa mãn điều kiện

và sinα = a thì ta viết α = arcsin a.

Khi đó các nghiệm của phương trình [1] là

                x = arcsina + k2π, k ∈ Z

                và x = π - arcsina + k2π, k ∈ Z.

Các trường hợp đặc biệt:

- Phương trình cosx = a        [2]

    ♦ |a| > 1: phương trình [2] vô nghiệm.

    ♦ |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa mãn cosα = a.

Khi đó phương trình [2] có các nghiệm là

                x = α + k2π, k ∈ Z

                và x = -α + k2π, k ∈ Z.

Nếu α thỏa mãn điều kiện và cosα = a thì ta viết α = arccos a.

Khi đó các nghiệm của phương trình [2] là

                x = arccosa + k2π, k ∈ Z

                và x = -arccosa + k2π, k ∈ Z.

Các trường hợp đặc biệt:

- Phương trình tanx = a        [3]

Điều kiện:

Nếu α thỏa mãn điều kiện và tanα = a thì ta viết α = arctan a.

Khi đó các nghiệm của phương trình [3] là

                x = arctana + kπ,k ∈ Z

- Phương trình cotx = a        [4]

Điều kiện: x ≠ kπ, k ∈ Z.

Nếu α thỏa mãn điều kiện và cotα = a thì ta viết α = arccot a.

Khi đó các nghiệm của phương trình [4] là

                x = arccota + kπ, k ∈ Z

Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau:

a] sinx = sin[π/6]        c] tanx – 1 = 0

b] 2cosx = 1.        d] cotx = tan2x.

Bài 2: Giải các phương trình lượng giác sau:

a] cos2 x - sin2x =0.

b] 2sin[2x – 40º] = √3

Bài 3: Giải các phương trình lượng giác sau:

Đáp án và hướng dẫn giải

Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau:

a] sin⁡x = sin⁡π/6

b]

c] tan⁡x=1⇔cos⁡x= π/4+kπ [k ∈ Z]

d] cot⁡x=tan⁡2x

Bài 2: Giải các phương trình lượng giác sau:

a] cos2x-sin2x=0 ⇔cos2x-2 sin⁡x cos⁡x=0

        ⇔ cos⁡x [cos⁡x - 2 sin⁡x ]=0

b] 2 sin⁡[2x-40º ]=√3

⇔ sin⁡[2x-40º ]=√3/2

Bài 3: Giải các phương trình lượng giác sau:

a] sin⁡[2x+1]=cos⁡[3x+2]

b]

⇔ sin⁡x+1=1+4k

⇔ sin⁡x=4k [k ∈ Z]

Nếu |4k| > 1⇔|k| > 1/4; phương trình vô nghiệm

Nếu |4k| ≤ 1 mà k nguyên ⇒ k = 0 .Khi đó:

        ⇔sin⁡x = 0 ⇔ x = mπ [m ∈ Z]

Bài 1: Giải các phương trình sau

a] cos[3x + π] = 0

b] cos [π/2 - x] = sin2x

Lời giải:

Bài 2: Giải các phương trình sau

a] sinx.cosx = 1

b] cos2 x - sin2 x + 1 = 0

Lời giải:

Bài 3: Giải các phương trình sau

a] cos2 x - 3cosx + 2 = 0

b] 1/[cos2 x] - 2 = 0.

Lời giải:

Bài 4: Giải các phương trình sau: [√3-1]sinx = 2sin2x.

Lời giải:

Bài 5: Giải các phương trình sau: [√3-1]sinx + [√3+1]cosx = 2√2 sin2x

Lời giải:

Phương pháp: Dùng các công thức nghiệm tương ứng với mỗi phương trình

Ví dụ 1: Giải các phương trình lượng giác sau:

a] sinx = sin[π/6]. 

c] tanx – 1 = 0

b] 2cosx = 1. 

d] cotx = tan2x.

Lời giải

Dạng 2: Phương trình bậc nhất có một hàm lượng giác

Phương pháp: Đưa về phương trình cơ bản, ví dụ asinx + b = 0 ⇔  sinx = -b/a

Ví dụ: Giải phương trình sau:

Dạng 3: Phương trình bậc hai có một hàm lượng giác 

Dạng 4: Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx

Xét phương trình asinx + bcosx = c [1] với a, b là các số thực khác 0.

Dạng 5: Phương trình lượng giác đối xứng, phản đối xứng

Phương pháp

Phương trình đối xứng là phương trình có dạng:

a[sinx + cosx] + bsinxcosx + c = 0 [3]

Phương pháp giải:

Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ:

Thay vào [3] ta được phương trình bậc hai theo t.

Ngoài ra chúng ta còn gặp phương trình phản đối xứng có dạng:

a[sinx – cosx] + bsinxcosx + c = 0 [4]