\[\left\{\begin{matrix} [R_1+r][R_2+r]=[Z_L-Z_C]^2=[R_0+r]^2\\ R_1+R_2+2r=\dfrac{U^2}{P} \end{matrix}\right.\].
Gọi độ lệch pha giữa \[u\] và \[i\] qua mạch ứng với \[R_1\] là \[\varphi_1\], ứng với \[R_2\] là \[\varphi_2\]: \[\varphi_1+\varphi_2=\pm \dfrac{\pi}{2}\]
\[\Leftrightarrow \tan \varphi_.\tan \varphi_2=1\]
\[\cos \varphi_1=\sqrt{\dfrac{R_1}{R_1+R_2}}\]
\[\cos \varphi_2=\sqrt{\dfrac{R_2}{R_1+R_2}}\]
Giá trị L0 để công suất cực đại khi C thay đổi
Khi \[C=C_1\] hoặc \[C=C_2\] thì \[\left \{ I,P,U_R,U_L,U_{RC} \right \}\] không đổi:
\[Z_L=\dfrac{Z_{C_1}+Z_{C_2}}{2}\]
Giá trị \[L_0\] để công suất của mạch đạt cực đại:
\[Z_C=Z_L=\dfrac{Z_{C_1}+Z_{C_2}}{2}\]
Giá trị L0 để công suất cực đại khi L thay đổi
+] Khi \[L=L_1\] hoặc \[L=L_2\] thì \[\left \{ I,P,U_R,U_C,U_{RC} \right \}\] không đổi:
\[Z_C=\dfrac{Z_{L_1}+Z_{L_2}}{2}\]
+] Giá trị \[L_0\] để công suất của mạch đạt cực đại:
\[Z_{L_0}=Z_C=\dfrac{Z_{L_1}+Z_{L_2}}{2}\]
L biến thiên để URCmax, URCmin
+] Khi \[L\] biến thiên để \[U_{RCmax}\]
Khi \[Z_C=\dfrac{Z_L+\sqrt{4R^2+Z_L^2}}{2}\] thì \[U_{RCmax}=\dfrac{U[Z_L+\sqrt{4R^2+Z_L^2}]}{2R}=\dfrac{UZ_C}{R}\]
Khi \[Z_C=0\] thì \[U_{RCmin}=\dfrac{UR}{\sqrt{R^2+Z_L^2}}\]
\[\tan \varphi_0=\dfrac{Z_C-Z_L}{R}=\dfrac{R}{Z_C}=\dfrac{U}{U_{RCmax}}\]
\[\tan 2\varphi_0=\dfrac{R}{Z_L}\]
+] Khi \[L\] biến thiên để \[U_{RCmin}\]
Khi \[Z_C=0\] thì \[U_{RCmin}=\dfrac{UR}{\sqrt{R^2+Z_L^2}}\]
L biến thiên để URLmax, URLmin
+] Khi \[L\] biến thiên để \[U_{RLmax}\]
Khi \[Z_L=\dfrac{Z_C+\sqrt{4R^2+Z_C^2}}{2}\] thì \[U_{RLmax}=\dfrac{U[Z_C+\sqrt{4R^2+Z_C^2}]}{2}=\dfrac{UZ_L}{R}\]
Lưu ý: \[R\] và \[L\] mắc liên tiếp nhau
\[\tan \varphi_0=\dfrac{Z_L-Z_C}{R}=\dfrac{R}{Z_L}=\dfrac{U}{U_{RLmax}}\]
\[\tan 2 \varphi_0=\dfrac{2R}{Z_C}\]
+] Khi \[L\] biến thiên để \[U_{RLmin}\]
Khi \[Z_L=0\] thì \[U_{RLmin}=\dfrac{UR}{\sqrt{R^2+Z_C^2}}\]
Tìm C để UCmax
Khi \[C=C_1\] hoặc \[C=C_2\] thì \[U_C\] không đổi và \[\left\{\begin{matrix}\varphi_u-\varphi_i=\varphi_1\\ \varphi_u-\varphi_i=\varphi_2\end{matrix}\right.\]
Tìm \[C\] để \[U_{Cmax}\]:
\[\dfrac{1}{Z_C}=\dfrac{1}{2}\left [ \dfrac{1}{Z_{C_1}}+\dfrac{1}{Z_{C_2}}\right ] \RightarrowC=\dfrac{C_1+C_2}{2}\]
\[\left\{\begin{matrix}U_C=U_{Cmax} \cos[\varphi_1-\varphi_0]\\ \tan \varphi_0=\dfrac{R}{Z_L}\end{matrix}\right.\]
Tìm giá trị cực đại công suất tiêu thụ
Tìm \[R_0\] để \[P_{max}\]:
\[\left\{\begin{matrix} R_0+r=\begin{vmatrix} Z_L-Z_C \end{vmatrix}\\ P_{max}=\dfrac{U^2}{2 \begin{vmatrix} Z_L-Z_C \end{vmatrix}} \end{matrix}\right. \Rightarrow \cos \varphi=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\]
Tìm \[R\] để \[P_{Rmax}\]:
\[\left\{\begin{matrix} R=\sqrt{r^2+[Z_L-Z_C]^2}\\ P_{Rmax}=\dfrac{U^2}{2[R+r]}=\dfrac{rU^2}{r^2+[Z_L-Z_C]^2} \end{matrix}\right.\]
Tìm L để ULmax
+] Khi \[L=L_1\] hoặc \[L=L_2\] thì \[U_L\] không đổi và \[\left\{\begin{matrix} \varphi_u-\varphi_i=\varphi_1\\ \varphi_u-\varphi_i=\varphi_2 \end{matrix}\right.\]
Tìm \[L\] để \[U_{Lmax}\]:
\[\dfrac{1}{Z_L}=\dfrac{1}{2} \left [ \dfrac{1}{Z_{L_1}}+\dfrac{1}{Z_{L_2}} \right ] \Rightarrow L= \dfrac{2L_1L_2}{L_1+L_2}\]
\[\left\{\begin{matrix} \varphi_1+\varphi_2=2\varphi_0\\ U_L=U_{Lmax} \cos[\varphi_1-\varphi_0]\\ \tan \varphi_1=\dfrac{R}{Z_C} \end{matrix}\right.\]
Tính tần số góc để công suất cực đại
+] Cho \[\omega=\omega_1, \omega=\omega_2\] thì \[P\] như nhau. Tính \[\omega_0\] để \[P_{max}\]: \[\omega_0^2=\omega_1 \omega_2=\dfrac{1}{LC}\]
+] Cho \[\omega=\omega_1\] thì \[U_{Lmax}\], \[\omega=\omega_2\] thì \[U_{Cmax}\]. Tính \[\omega\] để \[P_{max}\]: \[\omega=\sqrt{\omega_1 \omega_2}\]
Tính tần số góc để ULmax, UCmax
+] Cho \[\omega=\omega_1, \omega=\omega_2\] thì \[U_C\] như nhau và giá trị \[\omega_C\] ;àm cho \[U_{Lmax}\]. Tính \[\omega_C\] để \[U_{Cmax}\]:
\[\omega_C^2=\left [\dfrac{Z_T^2}{L} \right ]^2=\dfrac{1}{2}[\omega_1^2+\omega_2^2]\]
+] Cho \[\omega=\omega_1,\omega=\omega_2\] thì \[U_L\] như nhau. Tính \[\omega_L\] để \[U_{Lmax}\]:
\[\dfrac{1}{\omega_L^2}=[CZ_T]^2=\dfrac{1}{2}\left [ \dfrac{1}{\omega_1^2}+\dfrac{1}{\omega_2^2} \right ]\]
Một số công thức khác
+] \[\tan \varphi_{RC}.\tan \varphi=-\dfrac{1}{2} \] khi \[U_{Cmax}\] với \[\omega\] thay đổi
+] \[\tan \varphi_{RL}.\tan \varphi=-\dfrac{1}{2}\] khi \[U_{Lmax}\] với \[\omega\] thay đổi
+] Khi \[R^2=\dfrac{L}{C} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\tan \varphi_{RL}.\tan \varphi_{RC}=1\\ \vec{U_{RL}} \bot \vec{U_{RC}}\end{matrix}\right.\]
+] \[\left\{\begin{matrix}\varphi_{AM}-\varphi_{MB}=\pm \dfrac{\pi}{2} \rightarrow \tan \varphi_{AM}.\tan \varphi_{MB}=-1\\ \varphi_{AM}+\varphi_{MB}=\pm \dfrac{\pi}{2} \rightarrow \tan \varphi_{AM}.\tan \varphi_{MB}=1\end{matrix}\right.\]
+] \[\tan[\varphi _{AM}-\varphi_{MB}]=\dfrac{\tan \varphi_{AM}-\tan \varphi_{MB}}{1+\tan \varphi_{AM}.\tan\varphi_{MB}}\]
+] Cho mạch \[RL\] có \[u=A\cos^2[\omega t+\varphi]\] khi đó:
\[I=\sqrt{I_1^2+I_2^2}\] với \[\left\{\begin{matrix}I_1=\dfrac{A}{2R}\\ I_2=\dfrac{A}{\sqrt{8[R^2+Z_L^2]}}\end{matrix}\right.\]
\[i=I_0\cos \omega t \Rightarrow \left\{\begin{matrix} u_R=I_0R\cos \omega t\\ u_r=I_0r \cos \omega t\\ u_L=I_0Z_L\cos \begin{pmatrix} \omega t+\dfrac{\pi}{2}\\ \end{pmatrix}\\ u_C=I_0Z_C\cos \begin{pmatrix} \omega t-\dfrac{\pi}{2}\\ \end{pmatrix} \end{matrix}\right.\]