Cách tách phương trình bậc 2 thành phương trình tích

Thông tin tác giả

X

wikiHow là một trang "wiki", nghĩa là nhiều bài viết ở đây là nội dung của nhiều tác giả cùng viết nên. Để tạo ra bài viết này, 27 người, trong đó có một số người ẩn danh, đã thực hiện chỉnh sửa và cải thiện bài viết theo thời gian.

Bài viết này đã được xem 66.377 lần.

Trong toán học, phân tích thành nhân tử là tìm những số hay biểu thức có tích bằng số hay phương trình đã cho. Phân tích thành nhân tử là một kỹ năng hữu dụng đáng học để phục vụ cho việc giải các bài toán đại số cơ bản: khả năng phân tích thành nhân tử một cách thành thạo giữ vai trò gần như là then chốt khi phải làm việc với các phương trình đại số hay những dạng đa thức khác. Phân tích thành nhân tử có thể được dùng để rút gọn biểu thức đại số, giúp việc giải toán trở nên đơn giản hơn. Nhờ có nó, bạn thậm chí còn có thể loại bỏ những đáp án khả thi nhất định nhanh hơn nhiều so với giải bằng tay.

Các bước

Phương pháp 1 của 3:Phân tích số và biểu thức đại số căn bản thành nhân tử

1Hiểu định nghĩa của phân tích thành nhân tử khi áp dụng cho những số đơn lẻ. Dù đơn giản về mặt ý tưởng nhưng trong thực tế, việc áp dụng cho những phương trình phức tạp có thể sẽ khá thách thức. Bởi vậy, cách tiếp cận khái niệm phân tích thành nhân tử dễ nhất chính là bắt đầu từ những số đơn lẻ và sau đó chuyển sang những phương trình đơn giản trước khi tiến hành thao tác với những ứng dụng nâng cao hơn. Thừa số của một số cho trước là những số có tích bằng chính số đó. Chẳng hạn như 1, 12, 2, 6, 3 và 4 là những thừa số của 12 bởi 1 × 12, 2 × 6, và 3 × 4 đều bằng 12.

• Theo một cách hiểu khác, thừa số của một số cho trước là những số được chia hết bởi số đó.
• Bạn có thể tìm được toàn bộ thừa số của số 60 không? Số 60 được dùng cho rất nhiều mục đích khác nhau [số phút trong một giờ, số giây trong một phút, v.v.] bởi nó chia hết cho khá nhiều số.
• Số 60 có những thừa số sau: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, và 60.

2Hiểu rằng biểu thức có chứa biến cũng có thể được phân tích thành nhân tử. Cũng như những số độc lập, biến với hệ số số học cũng có thể được phân tích thành nhân tử. Để làm vậy, ta chỉ việc tìm thừa số của hệ số của biến. Biết cách phân tích biến thành nhân tử rất hữu dụng trong việc biến đổi đơn giản phương trình đại số có chứa biến.

• Ví dụ như 12x có thể được viết lại thành tích của 12 và x. Ta có thể viết 12x dưới dạng 3[4x], 2[6x], v.v., và dùng bất kỳ thừa số nào phù hợp nhất với mục đích sử dụng của 12.
• Bạn thậm chí còn có thể đi xa đến mức phân tích 12x nhiều lần. Hay nói cách khác, không cần dừng lại ở 3[4x] hay 2[6x]  chúng ta có thể phân tích 4x và 6x để lần lượt có 3[2[2x] 2[3[2x]. Rõ ràng những biểu thức này là tương đương.

3Áp dụng tính chất kết hợp của phép nhân để phân tích phương trình đại số thành nhân tử. Sử dụng kiến thức phân tích cả số độc lập và biến đi kèm hệ số thành nhân tử, bạn có thể đơn giản hóa phương trình đại số đơn giản bằng cách tìm thừa số chung của các số và biến có trong phương trình. Thường thì để phương trình trở nên đơn giản nhất có thể, ta sẽ cố tìm ước chung lớn nhất. Quá trình biến đổi đơn giản này là khả thi nhờ tính chất kết hợp của phép nhân - với mọi số a, b và c, ta có: a[b + c] = ab + ac.

• Hãy cùng xem xét bài toán ví dụ sau. Để phân tích phương trinh đại số 12x + 6 thành nhân tử, đầu tiên, ta tìm ước chung lớn nhất của 12x và 6. 6 là số lớn nhất mà cả 12x và 6 đều chia hết, do đó ta có thể biến đổi đơn giản phương trình thành 6[2x + 1].
• Quá trình này cũng được áp dụng cho phương trình mang dấu âm và phân số. Chẳng hạn như x/2 + 4 có thể được biến đổi đơn giản thành 1/2[x + 8], và -7x + -21 có thể được phân tích thành -7[x + 3].

Phương pháp 2 của 3:Phân tích phương trình bậc hai thành nhân tử

1Đảm bảo rằng phương trình ở dạng bậc hai [ax2 + bx + c = 0]. Phương trình bậc hai có dạng ax2 + bx + c = 0, trong đó a, b, và c là hằng số và a khác 0 [lưu ý rằng a có thể bằng 1 hoặc -1]. Nếu phương trình một biến [x] có chứa một hay nhiều số hạng chứa bình phương của x, thường thì bạn có thể dùng phép toán đại số căn bản để biến đổi, đưa một vế của dấu bằng về 0 và để ax2, v.v. ở vế bên kia.

• Lấy ví dụ phương trình đại số 5x2 + 7x - 9 = 4x2 + x - 18 có thể được rút gọn thành x2 + 6x + 9 = 0, là dạng bậc hai.
• Phương trình mà trong đó x có số mũ cao hơn, chẳng hạn như x3, x4, v.v. không thể là phương trình bậc hai. Chúng là phương trình bậc ba, bậc bốn, trừ khi phương trình đó có thể được rút gọn bằng cách triệt tiêu những số hạng có chứa lũy thừa bậc 3 trở lên của x.

2Với phương trình bậc hai, khi a = 1, ta phân tích thành [x+d ][x+e], trong đó d × e = c và d + e = b. Nếu phương trình bậc hai ở dạng x2 + bx + c = 0 [hay nói cách khác, nếu hệ số của x2 = 1], có khả năng [nhưng không chắc chắn] rằng ta có thể sử dụng một lối tính nhanh tương đối đơn giản để phân tích thành nhân tử phương trình này. Tìm hai số có tích bằng c và tổng bằng b. Một khi đã tìm được d và e, thay chúng vào biểu thức sau: [x+d][x+e]. Khi nhân với nhau, hai phần tử này sẽ cho ta phương trình bậc hai ở trên  hay nói cách khác, chúng là những thừa số của phương trình.

• Lấy ví dụ phương trình bậc hai x2 + 5x + 6 = 0. 3 và 2 có tích bằng 6 và đồng thời, có tổng bằng 5. Do đó, ta có thể biến đổi đơn giản phương trình thành [x + 3][x + 2].
• Cách làm nhanh cơ bản này sẽ có đôi chút khác biệt khi bản thân phương trình cũng có đôi chút khác biệt:
• Nếu phương trình bậc hai ở dạng x2-bx+c, câu trả lời của bạn sẽ có dạng: [x - _][x - _].
• Nếu nó ở dạng x2+bx+c, đáp án của bạn sẽ có dạng: [x + _][x + _].
• Nếu nó ở dạng x2-bx-c, trả lời của bạn sẽ ở dạng [x + _][x - _].
• Lưu ý: trong khoảng trống có thể là phân số hoặc số thập phân. Ví dụ, phương trình x2 + [21/2]x + 5 = 0 được phân tích thành [x + 10][x + 1/2].

3Nếu có thể, hãy tiến hành phân tích thành nhân tử bằng phép thử. Dù tin hay không thì với phương trình bậc hai không phức tạp, một trong những phương pháp phân tích thành nhân tử được chấp nhận chỉ đơn giản là xem xét bài toán, và rồi cân nhắc những đáp án khả thi cho đến khi tìm được đáp án chính xác. Nó còn được gọi là phương pháp thử. Nếu phương trình có dạng ax2+bx+c và a>1, phân tích thành nhân tử của bạn sẽ có dạng [dx +/- _][ex +/- _], trong đó, d và e là những hằng số khác không có tích bằng a. d hoặc e [hoặc cả hai] có thể bằng 1, dù không nhất thiết sẽ là như vậy. Nếu cả hai bằng 1, về cơ bản, bạn đã dùng cách làm nhanh được trình bày ở trên.

• Hãy xem xét bài toán ví dụ sau. Thoạt đầu, 3x2 - 8x + 4 trông có vẻ khá đáng sợ. Tuy nhiên, một khi nhận ra rằng 3 chỉ có hai thừa số [3 và 1], vấn đề trở nên dễ dàng hơn bởi ta biết đáp án phải có dạng [3x +/- _][x +/- _]. Trong trường hợp này, thay -2 vào cả hai khoảng trống sẽ cho ta đáp án chính xác. -2 × 3x = -6x và -2 × x = -2x. -6x và -2x có tổng bằng -8x. -2 × -2 = 4, do đó, có thể thấy rằng các phần tử được phân tích trong dấu ngoặc khi nhân với nhau sẽ cho ta phương trình ban đầu.

4Giải bài toán bằng cách hoàn thành phép bình phương. Trong một số trường hợp, phương trình bậc hai có thể được phân tích thành nhân tử một cách nhanh chóng và dễ dàng nhờ sử dụng đồng nhất thức đại số đặc biệt. Bất kỳ phương trình bậc hai dạng x2 + 2xh + h2 = [x + h]2. Do đó, nếu trong phương trình, b gấp đôi căn bậc hai của c, phương trình có thể được phân tích thành [x + [sqrt[c]]]2.

• Chẳng hạn như phương trình x2 + 6x + 9 sẽ phù hợp với dạng này. 32 bằng 9 và 3 × 2 bằng 6. Vì vậy, ta biết rằng dạng phân tích thành nhân tử của phương trình này là [x + 3][x + 3], hay [x + 3]2.

5Giải phương trình bậc hai bằng nhân tử. Bất kể bằng cách nào, một khi biểu thức bậc hai đã được phân tích thành nhân tử, bạn có thể tìm được đáp án khả thi cho giá trị của x bằng cách cho từng nhân tử bằng không và giải. Vì đang cần tìm giá trị của x sao cho phương trình bằng không, bất kỳ x nào khiến một nhân tử bằng không cũng sẽ là nghiệm khả thi của phương trình đó.

• Trở lại với phương trình x2 + 5x + 6 = 0. Phương trình này được phân tích thành [x + 3][x + 2] = 0. Khi một thừa số bằng 0, cả phương trình sẽ bằng 0. Do đó, nghiệm khả thi của x là những số khiến [x + 3] và [x + 2] bằng 0, lần lượt là -3 và -2.

6Kiểm tra đáp án của bạn  một số có thể sẽ là nghiệm ngoại lai! Khi tìm được nghiệm khả thi của x, hãy thay chúng vào phương trình ban đầu để xác định liệu chúng có đúng hay không. Đôi khi, đáp án tìm được không hề khiến phương trình ban đầu bằng không khi được thay vào. Ta gọi đó là những nghiệm ngoại lai và loại bỏ chúng.

• Hãy thay -2 và -3 vào  x2 + 5x + 6 = 0. Đầu tiên, -2:
• [-2]2 + 5[-2] + 6 = 0
• 4 + -10 + 6 = 0
• 0 = 0. Đúng, do đó, -2 là một nghiệm hợp lệ của phương trình.
• Giờ, hãy thử với -3:
• [-3]2 + 5[-3] + 6 = 0
• 9 + -15 + 6 = 0
• 0 = 0. Nó cũng đúng và do đó, -3 cũng là một nghiệm hợp lệ của phương trình.

Phương pháp 3 của 3:Phân tích những dạng phương trình khác thành nhân tử

1Nếu phương trình ở dạng a2-b2, hãy phân tích thành [a+b][a-b]. Phương trình hai biến được phân tích khác hơn phương trình bậc hai căn bản. Bất kỳ phương trình a2-b2 nào mà trong đó, a và b khác 0, sẽ được phân tích thành [a+b][a-b].

• Ví dụ như phương trình 9x2 - 4y2 = [3x + 2y][3x - 2y].

2Nếu phương trình ở dạng a2+2ab+b2, hãy phân tích thành [a+b]2. Lưu ý rằng nếu tam thức ở dạng a2-2ab+b2, dạng phân tích thành nhân tử sẽ khác đôi chút: [a-b]2.

• Phương trình 4x2 + 8xy + 4y2 có thể được viết lại dưới dạng 4x2 + [2 × 2 × 2]xy + 4y2. Giờ ta thấy rằng nó đã ở dạng đúng và có thể tự tin nói rằng dạng phân tích thành nhân tử của phương trình này là [2x + 2y]2.

3Nếu phương trình ở dạng a3-b3, hãy phân tích thành [a-b][a2+ab+b2]. Cuối cùng, cũng cần nói rằng phương trình bậc ba và kể cả phương trình có bậc cao hơn nữa đều có thể được phân tích thành nhân tử. Tuy nhiên, quá trình phân tích sẽ nhanh chóng trở nên phức tạp vô cùng.

• Ví dụ, 8x3 - 27y3 được phân tích thành [2x - 3y][4x2 + [[2x][3y]] + 9y2]

Lời khuyên

• a2-b2 có thể phân tích thành nhân tử được, còn  a2+b2 thì không.
• Ghi nhớ cách phân tích hằng số thành nhân tử - nó có thể sẽ hữu ích.
• Lưu ý đến phân số trong quá trình phân tích thành nhân tử, xử lý một cách đúng đắn và phù hợp.
• Với tam thức dạng x2+bx+ [b/2]2, dạng phân tích thành nhân tử của nó sẽ là [x+[b/2]]2 [có thể bạn sẽ gặp phải tình huống này trong lúc hoàn thành phép bình phương].
• Nhớ rằng a0=0 [tính chất nhân với không].

Những thứ bạn cần

• Giấy
• Bút chì
• Sách toán [nếu cần]