Toán - Lớp 8/Thi Học Sinh Giỏi
[Codona.vn] 200 đề Thi Học Sinh Giỏi Toán Lớp 8
CHUYỀN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 7 PHẦN ĐẠI SỐ Chuyền đề 1: Các bài toán thực hiện phép tính: Các kiến thức vận dụng: Tính chất của phép cộng , phép nhân Các phép toán về lũy thừa: an = ; am.an = am+n ; am : an = am –n [ a 0, mn] [am]n = am.n ; [ a.b]n = an .bn ; 2 . Một số bài toán : Bài 1: a] Tính tổng : 1+ 2 + 3 +. + n , 1+ 3 + 5 +. + [2n -1] b] Tính tổng : 1.2 + 2.3 + 3.4 + ..+ n.[n+1] 1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5 + .+ n[n+1][n+2] Với n là số tự nhiên khác không. HD : a] 1+2 + 3 + .. ..+ n = n[n+1] 1+ 3+ 5+ + [2n-1] = n2 b] 1.2+2.3+3.4+ + n[n+1] = [1.2.[3 - 0] + 2.3.[4 - 1] + 3.4[5 – 2] + ..+ n[n + 1][ [n+2] – [n – 1]]] : 3 = [ 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 – 2.3.4 ++ n[ n+1][n+2]] : 3 = n[n+ 1][n+2] :3 1.2.3 + 2.3.4+ 3.4.5 + .+ n[n+1][n+2] = [ 1.2.3[4 – 0] + 2.3.4[ 5 -1] + 3.4.5.[6 -2] + + n[n+1][n+2][ [n+3] – [n-1]]]: 4 = n[n+1][n+2][n+3] : 4 Tổng quát: Bài 2: a] Tính tổng : S = 1+ a + a2 +..+ an b] Tính tổng : A = với a2 – a1 = a3 – a2 = = an – an-1 = k HD: a] S = 1+ a + a2 +..+ an aS = a + a2 +..+ an + an+1 Ta có : aS – S = an+1 – 1 [ a – 1] S = an+1 – 1 Nếu a = 1 S = n Nếu a khác 1 , suy ra S = Áp dụng với b – a = k Ta có : A = = = Bài 3 : a] Tính tổng : 12 + 22 + 32 + . + n2 b] Tính tổng : 13 + 23 + 33 + ..+ n3 HD : a] 12 + 22 + 32 + .+ n2 = n[n+1][2n+1]: 6 b] 13 + 23 + 33 + ..+ n3 = [ n[n+1]:2]2 Bài 3: Thùc hiÖn phÐp tÝnh: a] A = b] HD : A = ; B = Bài 4: 1, Tính: P = 2, Biết: 13 + 23 + . . . . . . .+ 103 = 3025. Tính: S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203 Bài 5: a] TÝnh b] Cho Chøng minh r»ng . Bài 6: a] Tính : b] TÝnh HD: Nhận thấy 2011 + 1 = 2010+2 = . = c] Bài 7: a] TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: b] Chøng tá r»ng: Bài 8: a] TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: b] Chøng minh r»ng tæng: Chuyên đề 2: Bài toán về tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: Kiến thức vận dụng : - -Nếu thì với gt các tỉ số dều có nghĩa - Có = k Thì a = bk, c = d k, e = fk 2. Bài tập vận dụng Dạng 1 Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh đẳng thức Bài 1: Cho . Chứng minh rằng: HD: Từ suy ra khi đó = Bài 2: Cho a,b,c R và a,b,c 0 thoả mãn b2 = ac. Chứng minh rằng: = HD: Ta có [a + 2012b]2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.b2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.ac = a[ a + 2.2012.b + 20122.c] [b + 2012c]2 = b2 + 2.2012.bc + 20122.c2 = ac+ 2.2012.bc + 20122.c2 = c[ a + 2.2012.b + 20122.c] Suy ra : = Bài 3: Chøng minh r»ng nÕu th× HD : Đặt a = kb, c = kd . Suy ra : và Vậy Bài 4: BiÕt với a,b,c, d 0 Chứng minh rằng : hoặc HD : Ta có = [1] = [2] Từ [1] và [2] suy ra : Xét 2 TH đi đến đpcm Bài 5 : Cho tØ lÖ thøc . Chøng minh r»ng: vµ HD : Xuất phát từ biến đổi theo các hướng làm xuất hiện Bài 6 : Cho d·y tØ sè b»ng nhau: TÝnh HD : Từ Suy ra : Nếu a + b + c + d = 0 a + b = -[ c+d] ; [ b + c] = -[ a + d] = -4 Nếu a + b + c + d 0 a = b = c = d = 4 Bài 7 : a] Chøng minh r»ng: NÕu Th× b] Cho: . Chøng minh: HD : a] Từ [1] [2] [3] Từ [1] ;[2] và [3] suy ra : Bài 8: Cho chøng minh r»ng biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nguyªn. HD Từ Nếu x + y + z + t = 0 thì P = - 4 Nếu x + y + z + t 0 thì x = y = z = t P = 4 Bài 9 : Cho 3 số x , y , z khác 0 thỏa mãn điều kiện : Hãy tính giá trị của biểu thức : B = Bài 10 : a] Cho các số a,b,c,d khác 0 . Tính T =x2011 + y2011 + z2011 + t2011 Biết x,y,z,t thỏa mãn: b] Tìm số tự nhiên M nhỏ nhất có 4 chữ số thỏa mãn điều kiện: M = a + b = c +d = e + f Biết a,b,c,d,e,f thuộc tập N* và ;; Cho 3 số a, b, c thỏa mãn : . Tính giá trị của biểu thức : M = 4[ a - b][ b – c] – [ c – a ]2 Một số bài tương tự Bài 11: Cho d·y tØ sè b»ng nhau: TÝnh Bài 12: Cho 3 số x , y , z, t khác 0 thỏa mãn điều kiện : [ n là số tự nhiên] và x + y + z + t = 2012 . Tính giá trị của biểu thức P = x + 2y – 3z + t Dạng 2 : Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm x,y,z, Bài 1: Tìm cặp số [x;y] biết : HD : Áp dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ta cã: => với y = 0 thay vào không thỏa mãn Nếu y khác 0 => -x = 5x -12 => x = 2. Thay x = 2 vµo trªn ta ®îc: =>1+ 3y = -12y => 1 = -15y => y = VËy x = 2, y = tho¶ m·n ®Ò bµi Bài 3 : Cho và a + b + c ≠ 0; a = 2012. Tính b, c. HD : từ a = b = c = 2012 Bài 4 : Tìm các số x,y,z biết : HD: Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau: [vì x+y+z 0] Suy ra : x + y + z = 0,5 từ đó tìm được x, y, z Bài 5 : Tìm x, biết rằng: HD : Từ Suy ra : Bài 6: T×m x, y, z biÕt: [x, y, z ] HD : Từ Từ x + y + z = x + y = - z , y +z = - x , z + x = - y thay vào đẳng thức ban đầu để tìm x. Bài 7 : T×m x, y, z biÕt vµ Bài 8 : Tìm x , y biết : Chuyên đề 3: Vận dụng tính chất phép toán để tìm x, y Kiến thức vận dụng : Tính chất phép toán cộng, nhân số thực Quy tắc mở dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế Tính chất về giá trị tuyệt đối : với mọi A ; Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối : dấu ‘=’ xẩy ra khi AB 0; dấu ‘= ‘ xẩy ra A,B >0 ; với m > 0 Tính chất lũy thừa của 1 số thực : A2n 0 với mọi A ; - A2n 0 với mọi A Am = An m = n; An = Bn A = B [nếu n lẻ ] hoặc A = B [ nếu n chẵn] 0< A < B An < Bn ; Bài tập vận dụng Dạng 1: Các bài toán cơ bản Bài 1: Tìm x biết a] x + 2x + 3x + 4x + ..+ 2011x = 2012.2013 b] HD : a] x + 2x + 3x + 4x + ..+ 2011x = 2012.2013 x[ 1 + 2 + 3 + .+ 2011] = 2012.2013 b] Nhận xét : 2012 = 2011+1= 2010 +2 = 2009 +3 = 2008 +4 Từ Bài 2 Tìm x nguyên biết a] b] 1- 3 + 32 – 33 + .+ [-3]x = Dạng 2 : Tìm x có chứa giá trị tuyệt đối Dạng : và Khi giải cần tìm giá trị của x để các GTTĐ bằng không, rồi so sánh các giá trị đó để chia ra các khoảng giá trị của x [ so sánh –a và –b] Bài 1 : Tìm x biết : a] b] HD : a] [1] do VT = nên VP = x – 2012 [*] Từ [1] Kết hợp [*] x = 4023:2 b] [1] Nếu x 2010 từ [1] suy ra : 2010 – x + 2011 – x = 2012 x = 2009 :2 [lấy] Nếu 2010 < x < 2011 từ [1] suy ra : x – 2010 + 2011 – x = 2012 hay 1 = 2012 [loại] Nếu x từ [1] suy ra : x – 2010 + x – 2011 = 2012 x = 6033:2[lấy] Vậy giá trị x là : 2009 :2 hoặc 6033:2 Một số bài tương tự: Bài 2 : a] T×m x biÕt T×m x biÕt: T×m x biÕt: Bài 3 : a]T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó: Tìm x biết: Bài 4 : tìm x biết : a] b] Dạng : Sử dụng BĐT giá trị tuyệt đối Bài 1 : a] Tìm x ngyên biết : b] Tìm x biết : HD : a] ta có [1] Mà suy ra [ 1] xẩy ra dấu “=” Hay do x nguyên nên x {3;4;5} b] ta có [*] Mà nên [*] xẩy ra dấu “=” Suy ra: Các bài tương tự Bài 2 : Tìm x nguyên biết : Bài 3 : Tìm x biết Bài 4 : T×m x, y tho¶ m·n: = 3 Bài 5 : Tìm x, y biết : HD : ta có với mọi x,y và với mọi x Suy ra : với mọi x,y mà Bài 6 : T×m c¸c sè nguyªn x tho¶ m·n. Dạng chứa lũy thừa của một số hữu tỉ Bài 1: Tìm số tự nhiên x, biết : a] 5x + 5x+2 = 650 b] 3x-1 + 5.3x-1 = 162 HD : a] 5x + 5x+2 = 650 5x [ 1+ 52] = 650 5x = 25 x = 2 3x-1 + 5.3x-1 = 162 3x -1[1 + 5] = 162 3x – 1 = 27 x = 4 Bài 2 : Tìm các số tự nhiên x, y , biết: a] 2x + 1 . 3y = 12x b] 10x : 5y = 20y HD : a] 2x + 1 . 3y = 12x Nhận thấy : [ 2, 3] = 1 x – 1 = y-x = 0 x = y = 1 b] 10x : 5y = 20y 10x = 102y x = 2y Bài 3 : Tìm m , n nguyên dương thỏa mãn : a] 2m + 2n = 2m +n b] 2m – 2n = 256 HD: a] 2m + 2n = 2m +n 2m + n – 2m – 2n = 0 2m [ 2n – 1] –[ 2n – 1] = 1 [2m -1][2n – 1] = 1 b] 2m – 2n = 256 2n [ 2m – n - 1] = 28 Dễ thấy m n, ta xét 2 trường hợp : + Nếu m – n = 1 n = 8 , m = 9 + Nếu m – n 2 thì 2m – n – 1 là 1 số lẻ lớn hơn 1, khi đó VT chứa TSNT khác 2, mà VT chỉ chứa TSNT 2 suy ra TH này không xẩy ra : vậy n = 8 , m = 9 Bài 4 : Tìm x , biết : HD : Bài 5 : Tìm x, y biết : HD : ta có với mọi x,y và [y – 1]2012 0 với mọi y Suy ra : với mọi x,y . Mà Các bài tập tương tự : Bài 6 : Tìm x, y biết : a] b] Chuyên đề 4: Giá trị nguyên của biến , giá trị của biểu thức : 1 . Các kiến thức vận dụng: - Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9 - Phân tích ra TSNT, tính chất của số nguyên tố, hợp số , số chính phương - Tính chất chia hết của một tổng , một tích - ƯCLN, BCNN của các số 2. Bài tập vận dụng : * Tìm x,y dưới dạng tìm nghiệm của đa thức Bài 1: a] T×m c¸c sè nguyªn tè x, y sao cho: 51x + 26y = 2000 b] T×m sè tù nhiªn x, y biÕt: c] T×m x, y nguyªn biÕt: xy + 3x - y = 6 d] T×m mäi sè nguyªn tè tho¶ m·n : x2-2y2=1 HD: a] Từ 51x + 26y = 2000 17.3.x = 2.[ 1000 – 13 y] do 3,17 là số NT nên x mà x NT x = 2. Lại có 1000 – 13y , 1000 – 13y > 0 và y NT y = b] Từ [1] do 7[x–2004]2 0 Mặt khác 7 là số NT vậy y = 3 hoặc y = 4 thay vào [1] suy ra : x= 2005 ,y =4 hoặc x = 2003, y = 4 Ta có xy + 3x - y = 6 [ x – 1][ y + 3] = 3 hoặc hoặc hoặc x2-2y2=1 do VP = 2y2 chia hết cho 2 suy ra x > 2 , mặt khác y nguyên tố Bài 2 a] Tìm các số nguyên thỏa mãn : x – y + 2xy = 7 b] Tìm biết: HD : a] Từ x – y + 2xy = 7 2x – 2y + 2xy = 7 [2x - 1][ 2y + 1] = 13 b] Từ y2 25 và 25 – y2 chia hết cho 8 , suy ra y = 1 hoặc y = 3 hoặc y = 5 , từ đó tìm x Bài 3 a] T×m gi¸ trÞ nguyªn d¬ng cña x vµ y, sao cho: b] T×m c¸c sè a, b, c nguyªn d¬ng tho¶ m·n : vµ HD : a] Từ 5 [ x + y] = xy [*] + Với x chia hết cho 5 , đặt x = 5 q [ q là số tự nhiên khác 0] thay vào [*] suy ra: 5q + y = qy 5q = [ q – 1 ] y . Do q = 1 không thỏa mãn , nên với q khác 1 ta có Ư[5] , từ đó tìm được y, x b] a2 [ a +3] = 5b – 5 , mà a2. 5c = 5[ 5b – 1 – 1] Do a, b, c nguyên dương nên c = 1[ vì nếu c >1 thì 5b – 1 - 1 không chia hết cho 5 do đó a không là số nguyên.] . Với c = 1 a = 2 và b = 2 Bài 4: T×m c¸c cÆp sè nguyªn tè p, q tho¶ m·n: HD : Do p nguyên tố nên và 2013 – q2 > 0 từ đó tìm được q Bài 5 : T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d¬ng n sao cho: chia hÕt cho 7 HD : Với n < 3 thì 2n không chia hết cho 7 Với n khi đó n = 3k hoặc n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2 [ ] Xét n = 3k , khi đó 2n -1 = 23k – 1 = 8k – 1 = [ 7 + 1]k -1 = 7.A + 1 -1 = 7.A Xét n = 3k +1 khi đó 2n – 1 = 23k+1 – 1 = 2.83k – 1 = 2.[7A+1] -1 = 7A + 1 không chia hết cho 7 Xét n = 3k+2 khi đó 2n – 1 = 23k +2 -1 = 4.83k – 1 = 4[ 7A + 1] – 1 = 7 A + 3 không chia hết cho 7 . Vậy n = 3k với * Tìm x , y để biểu thức có giá trị nguyên, hay chia hết: Bài 1 T×m sè nguyªn m ®Ó: a] Gi¸ trÞ cña biÓu thøc m -1 chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2m + 1. b] HD : a] Cách 1 : Nếu m >1 thì m -1 < 2m +1 , suy ra m -1 không chia hết cho 2m +1 Nếu m < -2 thì , suy ra m -1 không chia hết cho 2m +1 Vậy m { -2; -1; 0; 1} Cách 2 : Để b] - 3 < 3m – 1 < 3 vì m nguyên Bài 2 a] T×m x nguyªn ®Ó 6 chia hÕt cho 2 b] T×m ®Ó AÎ Z vµ t×m gi¸ trÞ ®ã. A = . HD: A = = Bài 3: Tìm x nguyên để HD : = để x là số CP. Với x >1 và x là số CP thì suy ra 2009 không chia hết cho Với x = 1 thay vào không thỏa mãn Với x = 0 thì Chuyên đề 5 : Giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1.Các kiến thức vận dụng : * a2 + 2.ab + b2 = [ a + b]2 0 với mọi a,b * a2 – 2 .ab + b2 = [ a – b]2 0 với mọi a,b *A2n 0 với mọi A, - A2n 0 với mọi A * , * dấu “ = ” xẩy ra khi A.B 0 * dấu “ = ” xẩy ra khi A,B 0 2. Bài tập vận dụng: * Dạng vận dụng đẳng thức : a2 + 2.ab + b2 = [ a + b]2 0 với mọi a,b Và a2 – 2 .ab + b2 = [ a – b]2 0 với mọi a,b Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức sau: a] P[x] = 2x2 – 4x + 2012 b] Q[x] = x2 + 100x – 1000 HD : a] P[x] = 2x2 – 4x + 2012 = 2[x2 – 2.x. + 12 ] + 2010 = 2[ x – 1]2 + 2010 Do [ x - 1]2 0 với mọi x , nên P[x] 2010 . Vậy Min P[x] = 2010 khi [ x - 1]2 = 0 hay x = 1 b] Q[x] = x2 + 100x – 1000 = [ x + 50]2 – 3500 - 3500 với mọi x Vậy Min Q[x] = -3500 Từ đây ta có bài toán tổng quát : Tìm GTNN của đa thức P[x] = a x2 + bx +c [ a > 0] HD: P[x] = a x2 + bx +c = a[ x2 + 2.x. + ] + [ c - ] = a[ Vậy Min P[x] = khi x = Bài 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: A = - a2 + 3a + 4 B = 2 x – x2 HD : a] A = - a2 + 3a + 4 = Do nên A . Vậy Max A = khi a = B = . Do Vậy Max B = 1 khi x = 1 Bài 3 : Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: a] P = b] Q = * Dạng vận dụng A2n 0 với mọi A, - A2n 0 với mọi A Bài 1 : Tìm GTNN của biểu thức : a] P = [ x – 2y]2 + [ y – 2012]2012 b] Q = [ x + y – 3]4 + [ x – 2y]2 + 2012 HD : a] do và suy ra : P với mọi x,y Min P = 0 khi b] Ta có và suy ra : Q 2012 với mọi x,y Min Q = 2012 khi Bài 3 : Tìm GTLN của R = Bài 4 : Cho ph©n sè: [x Î Z] a] T×m x Î Z ®Ó C ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt, t×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã. b] T×m x Î Z ®Ó C lµ sè tù nhiªn. HD : C lớn nhất khi lớn nhất nhỏ nhất và Vậy Max C = khi x = 2 Bài 5 : T×m sè tù nhiªn n ®Ó ph©n sè cã gi¸ trÞ lín nhÊt HD : Ta có Để lớn nhất thì lớn nhất và 14n – 21 có giá trị nhỏ nhất và n nhỏ nhất n = 2 * Dạng vận dụng , dấu “ = ” xẩy ra khi A.B 0 dấu “ = ” xẩy ra khi A,B 0 Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = [ x – 2]2 + + 3 B = HD: a] ta có với mọi x và với mọi x,y A 3 với mọi x,y Suy ra A nhỏ nhất = 3 khi Ta có với mọi x 2012 với mọi x với mọi x, suy ra Min B = khi x = 2010 Bài 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức a] b] c] C = HD : a] Ta có = với mọi x với x . Vậy Min A = 1 Khi b] ta có Do với mọi x [1] Và với mọi x [2] Suy ra B . Vậy Min B = 2 khi BĐT [1] và [2] xẩy ra dấu “=” hay Ta có = = 99 + 97 + ....+ 1 = 2500 Suy ra C với mọi x . Vậy Min C = 2500 khi Chuyên đề 6 : Dạng toán chứng minh chia hết 1.Kiến thức vận dụng * Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9 * Chữ số tận cùng của 2n, 3n ,4n, 5n ,6n, 7n, 8n, 9n * Tính chất chia hết của một tổng 2. Bài tập vận dụng: Bài 1 : Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : chia hết cho 10 HD: ta có = = = = 10[ 3n -2n] Vậy 10 với mọi n là số nguyên dương. Bài 2 : Chứng tỏ rằng: A = 75. [42004 + 42003 + . . . . . + 42 + 4 + 1] + 25 là số chia hết cho 100 HD: A = 75. [42004 + 42003 + . . . . . + 42 + 4 + 1] + 25 = 75.[ 42005 – 1] : 3 + 25 = 25[ 42005 – 1 + 1] = 25. 42005 chia hết cho 100 Bài 3 : Cho m, n N* và p là số nguyên tố thoả mãn: = [1] Chứng minh rằng : p2 = n + 2 HD : + Nếu m + n chia hết cho p do p là số nguyên tố và m, n N* m = 2 hoặc m = p +1 khi đó từ [1] ta có p2 = n + 2 + Nếu m + n không chia hết cho p , từ [ 1] [m + n][m – 1] = p2 Do p là số nguyên tố và m, n N* m – 1 = p2 và m + n =1 m = p2 +1 và n = - p2 < 0 [loại] Vậy p2 = n + 2 Bài 4: a] Sè cã chia hÕt cho 3 kh«ng ? Cã chia hÕt cho 9 kh«ng ? b] Chøng minh r»ng: chia hÕt cho 7 HD: a] Ta có 101998 = [ 9 + 1]1998 = 9.k + 1 [ k là số tự nhiên khác không] 4 = 3.1 + 1 Suy ra : = [ 9.k + 1] – [ 3.1+1] = 9k -3 chia hết cho 3 , không chia hết cho 9 Ta có 3638 = [362]19 = 129619 = [ 7.185 + 1] 19 = 7.k + 1 [ k N*] 4133 = [ 7.6 – 1]33 = 7.q – 1 [ q N*] Suy ra : = 7k + 1 + 7q – 1 = 7[ k + q] Bài 5 : Chøng minh r»ng: chia hÕt cho 30 víi mäi n nguyªn d¬ng Chøng minh r»ng: 2a - 5b + 6c 17 nÕu a - 11b + 3c 17 [a, b, c Î Z] Bài 6 : a] Chøng minh r»ng: [a, b Î Z ] b] Cho ®a thøc [a, b, c nguyªn]. CMR nÕu f[x] chia hÕt cho 3 víi mäi gi¸ trÞ cña x th× a, b, c ®Òu chia hÕt cho 3 HD a] ta có 17a – 34 b và 3a + 2b vì [2, 7] = 1 Ta có f[0] = c do f[0] f[1] - f[-1] = [a + b + c] - [ a – b + c] = 2b , do f[1] và f[-1] chia hết cho 3 vì [ 2, 3] = 1 f[1] do b và c chia hết cho 3 Vậy a, b, c đều chia hết cho 3 Bài 7 : a] Chøng minh r»ng lµ mét sè tù nhiên b] Cho lµ sè nguyªn tè [n > 2]. Chøng minh lµ hîp sè HD : b] ta có [2n +1][ 2n – 1] = 22n -1 = 4n -1 [1] .Do 4n- 1 chia hêt cho 3 và lµ sè nguyªn tè [n > 2] suy ra 2n -1 chia hết cho 3 hay 2n -1 là hợp số Chuyên đề 7 : Bất đẳng thức 1.Kiến thức vận dụng * Kỹ thuật làm trội : Nếu a1 < a2 < a3 0 . Chøng tá r»ng: kh«ng lµ sè nguyªn. HD : Ta có Mặt khác = 3 – N Do N >1 nên M < 2 Vậy 1 < M < 2 nên M không là số nguyên Bài 2 Chứng minh rằng : [1] , [2] với a, b, c HD : [*] Do [*] đúng với mọi a,b nên [1] đúng Bài 3 : Với a, b, c là các số dương . Chứng minh rằng a] [1] b] [2] HD : a] Cách 1 : Từ [*] Do [*] đúng suy ra [1] đúng Cách 2: Ta có và Dấu “ =” xẩy ra khi a = b Ta có : Lại có Suy ra Dấu “ = ” xẩy ra khi a = b = c Bài 4 : a] Cho z, y, z lµ c¸c sè d¬ng. Chøng minh r»ng: b] Cho a, b, c tho¶ m·n: a + b + c = 0. Chøng minh r»ng: . HD : b] Tính [ a + b + c]2 từ cm được Chuyên đề 8 : Các bài toán về đa thức một ẩn Bài 1 : Cho đa thức P[x] = a x3 + bx2 + cx + d [ a khác 0] Biết P[1] = 100 , P[ -1] = 50 , P[0] = 1 , P[ 2] = 120 . Tính P[3] HD : ta có P[1] = 100 a + b + c + d = 100 P[-1] = 50 - a + b – c + d = 50 P[ 0] = 1 d = 1 P[2] = 8a + 4b + c + d = 120 Từ đó tìm được c, d, và a và XĐ được P[x] Bài 2 : Cho víi a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ. Chøng tá r»ng: . BiÕt r»ng HD : f[ -2] = 4a – 2b + c và f[3] = 9a + 3b + c f[-2].f[3] =[4a – 2b + c][ 9a + 3b + c] Nhận thấy [ 4a – 2b + c] + [ 9a + 3b + c] = 13a + b + 2c = 0 [ 4a – 2b + c ] = - [ 9a + 3b + c] Vậy f[-2].f[3] = - [ 4a – 2b + c].[ 4a – 2b + c] = - [ 4a -2b + c]2 0 Bài 3 Cho ®a thøc víi a, b, c lµ c¸c sè thùc. BiÕt r»ng f[0]; f[1]; f[2] cã gi¸ trÞ nguyªn. Chøng minh r»ng 2a, 2b cã gi¸ trÞ nguyªn. HD : f[0] = c , f[1] = a + b + c , f[2] = 4a + 2b + c Do f[0] ,f[1], f[2] nguyên c , a + b + c và 4a + 2b + c nguên a + b và 4a + 2b = 2 [a + b] + 2a = 4[ a + b] -2b ngyên 2a , 2b nguyên Bài 4 Chøng minh r»ng: f[x] cã gi¸ trÞ nguyªn víi mäi x nguyªn khi vµ chØ khi 6a, 2b, a + b + c vµ d lµ sè nguyªn HD : f[0] = d , f[1] = a + b + c + d , f[2] = 8a +4 b + c + d Nếu f[x] có giá trị nguyên với mọi x d , a + b + c + d, 8a +4b + c + d là các số nguyên . Do d nguyên a + b + c nguyên và [a + b + c + d] + [a + b +c +] +2b nguyên 2b nguyên 6a nguyên . Chiều ngược lại cm tương tự. Bài 5 : T×m tæng c¸c hÖ sè cña ®a thøc nhËn ®îc sau khi bá dÊu ngoÆc trong biÓu thøc: A[x] = HD : Giả sử A[ x] = ao + a1x + a2x2 + ..+ a4018x4018 Khi đó A[1] = ao + a1 +a2 + .+ a4018 do A[1] = 0 nên ao + a1 +a2 + .+ a4018 = 0 Bài 6 : Cho x = 2011. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: HD : Đặt A = tại x = 2012 thì A = 2011 Chuyên đề 9 Các bài toán thực tế Kiến thức vận dụng Tính chất đại lượng tỉ lệ thuận : Đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x khi và chỉ khi : y = k.x [ k là hệ số tỉ lệ ] - Tính chất đại lượng tỉ lệ nghịch : Đại lượng y và đại lượng x được gọi là hai đại lượng tỉ lệ nghịch khi : x.y = a [ a là hệ số tỉ lệ ] - Tính chất dãy tỉ số bằng nhau. 2. Bài tập vận dụng *Phương pháp giải : Đọc kỹ đề bài , từ đó xác định các đại lượng trong bài toán Chỉ ra các đại lượng đã biết , đại lượng cần tìm Chỉ rõ mối quan hệ giữa các đại lượng [ tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch] Áp dụng tính chất về đại lượng tỉ lệ và tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải Bài 1 : Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây Bài 2 : Ba líp 7A,7B,7C cã 94 häc sinh tham gia trång c©y. Mçi häc sinh líp 7A trång ®îc 3 c©y, Mçi häc sinh líp 7B trång ®îc 4 c©y, Mçi häc sinh líp 7C trång ®îc 5 c©y,. Hái mçi líp cã bao nhiªu häc sinh. BiÕt r»ng sè c©y mçi líp trång ®îc ®Òu nh nhau. Bài 3 : Mét « t« ph¶i ®i tõ A ®Õn B trong thêi gian dù ®Þnh. Sau khi ®i ®îc nöa qu·ng ®êng « t« t¨ng vËn tèc lªn 20 % do ®ã ®Õn B sím h¬n dù ®Þnh 10 phót. TÝnh thêi gian « t« ®i tõ A ®Õn B. Bài 4 : Trªn qu·ng ®êng AB dµi 31,5 km. An ®i tõ A ®Õn B, B×nh ®i tõ B ®Õn A. VËn tèc An so víi B×nh lµ 2: 3. §Õn lóc gÆp nhau, thêi gian An ®i so víi B×nh ®i lµ 3: 4. TÝnh qu·ng ®êng mçi ngêi ®i tíi lóc gÆp nhau ? Bài 5 : Ba đội công nhân làm 3 công việc có khối lượng như nhau. Thời gian hoàn thành công việc của đội І, ІІ, ІІІ lần lượt là 3, 5, 6 ngày. Biêt đội ІІ nhiều hơn đội ІІІ l