Cmr phương trình luôn có nghiệm với mọi m Toán 11

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Chứng minh phương trình có nghiệm, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Chứng minh phương trình có nghiệm:
Để chứng minh phương trình f[x] = 0 có ít nhất một nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y = f[x] liên tục trên D và có hai số a, b + D sao cho f[a]. f[6] < 0. Để chứng minh phương trình f[x] = 0 có k nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y = f[x] liên tục trên D và tồn tại k khoảng rời nhau [a; 0, -1],[i = 1, 2, …, k] nằm trong D sao cho f[ai]. f [ai + 1] < 0. Ví dụ 1. Chứng minh rằng phương trình 274 – 2×3 – 3 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng [-1; 0]. Đặt f[z] = 2a4 – 223 – 3. Vì f[x] là hàm đa thức xác định trên IR nên f[x] liên tục trên IR = f[x] liên tục trên [-1; 0]. Ta có: f[0] = -3; f [-1] = 1 = f[-1] f[0] < 0. f[x] = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng [-1; 0] [đpcm]. Ví dụ 2. Chứng minh rằng phương trình 60 + 3×2 – 31c + 10 = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt. Đặt f[x] = 6×3 + 3×2 – 31x + 10. TXD: D = IR = f[x] liên tục trên IR = f[x] liên tục trên [-3; 2]. f[z] = 0 có nghiệm thuộc [0; 1]. f[1].f[2] < 0 = f[x] = 0 có nghiệm thuộc [1; 2]. f[2] = 8 Mặt khác vì f[x] là một đa thức bậc ba nên phương trình f[x] = 0 chỉ có tối đa ba nghiệm. Vậy phương trình f[x] = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt [đpcm]. Ví dụ 3. Chứng minh rằng phương trình x – 1 + sin c = 0 có nghiệm. Xét hàm số f[x] = 0 – 1 + sinx liên tục trên [f[0] = -1. m = f[0].6 < 0. Suy ra phương trình f[z] = 0 có nghiệm do € [0; 4]. Vậy phương trình 2 – 1+ sinx = 0 có nghiệm [đpcm]. Ví dụ 4. Chứng minh rằng phương trình [m2 + m + 4] = 2017 – 2x + 1 = 0 luôn có ít nhất một nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m. Xét hàm số f[z] = [m2 + m + 4] = 2017 – 2x + 1 liên tục trên [-1; 0]. Vậy f[x] = 0 luôn có ít nhất một nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m [đpcm].

Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m . Bài 3.11 trang 170 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11 – Bài 3. Hàm số liên tục

Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m :

a] \[\left[ {1 – {m^2}} \right]{\left[ {x + 1} \right]^3} + {x^2} – x – 3 = 0\] ;

b] \[m\left[ {2\cos x – \sqrt 2 } \right] = 2\sin 5x + 1\]    

a] \[\left[ {1 – {m^2}} \right]{\left[ {x + 1} \right]^3} + {x^2} – x – 3 = 0\]    

\[f\left[ x \right] = \left[ {1 – {m^2}} \right]{\left[ {x + 1} \right]^3} + {x^2} – x – 3\] là hàm đa thức liên tục trên R. Do đó nó liên tục trên [-2; -1]

Quảng cáo

Ta có \[f\left[ { – 1} \right] =  – 1 < 0\] và \[f\left[ { – 2} \right] = {m^2} + 2 > 0\] nên \[f\left[ { – 1} \right]f\left[ { – 2} \right] < 0\] với mọi m.

Do đó, phương trình \[f\left[ x \right] = 0\] luôn có ít nhất một nghiệm trong khoảng [-2; -1] với mọi m. Nghĩa là, phương trình \[\left[ {1 – {m^2}} \right]{\left[ {x + 1} \right]^3} + {x^2} – x – 3 = 0\] luôn có nghiệm với mọi m.

b] \[m\left[ {2\cos x – \sqrt 2 } \right] = 2\sin 5x + 1\]    

HD : Xét hàm số \[f\left[ x \right] = m\left[ {2\cos x – \sqrt 2 } \right] – 2\sin 5x – 1\] trên đoạn \[\left[ { – {\pi  \over 4};{\pi  \over 4}} \right]\]

Chứng minh phương trình có nghiệm trong chương trình giải tích lớp 11 thuộc chương giới hạn – liên tục. Đây là một dạng toán khá đơn giản. Ta có bài toán như sau:

Chứng minh phương trình $$f[x] = 0$$ có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn \[\left[ {a;b} \right]\].

Các bước giải bài toán:

Bước 1. Chứng minh hàm số liên tục trên khoảng \[\left[{a;b} \right]\].

Bước 2. Tính \[f[a],f\left[ b \right]\].

Bước 3. Chứng minh \[f[a].f\left[ b \right] \le 0\].

Bước 4. Kết luận phương trình có ít nhất một nghiệm trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\].

Phương pháp này tương đối dễ hiểu, vì hàm số \[f\left[ x \right]\] liên tục trên khoảng \[\left[ {a;b} \right]\] nên đồ thì của hàm số này từ \[f\left[ a \right]\] đến \[f\left[ b \right]\] là một đường liền nét.

Mà \[f[a].f\left[ b \right] \le 0\] nghĩa là \[f\left[ a \right]\] và \[f\left[ b \right]\] trái dấu nên một điểm nằm trên và một điểm nằm dưới trục hoành.

Vậy đồ thị của hàm số này từ \[f\left[ a \right]\] đến \[f\left[ b \right]\] sẽ cắt trục Ox tại ít nhất một điểm nên phương trình sẽ có ít nhất một nghiệm trên khoảng \[\left[ {a;b} \right]\].

Ta tham khảo một số ví dụ để nắm được phương pháp chứng minh phương trình có nghiệm.

Ví dụ 1. Chứng minh phương trình \[{x^4} – 3{x^2} + 5x – 6 = 0\] có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng \[\left[ {1;2} \right]\].

Hướng dẫn:

Đặt \[f\left[ x \right] = {x^4} – 3{x^2} + 5x – 6\] thì \[f\left[ x \right]\] là hàm đa thức nên liên tục trên R, vậy \[f\left[ x \right]\] liên tục trên khoảng \[\left[ {1;2} \right]\].

\[f\left[ 1 \right] = – 3,f\left[ 2 \right] = 8\]

Suy ra \[f\left[ 1 \right].f\left[ 2 \right] = – 24 \] < 0

Vậy phương trình \[f\left[ x \right] = 0\] có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng \[\left[ {1;2} \right]\].

Ví dụ 2. Chứng minh phương trình $$m{\left[ {x – 1} \right]^3}\left[ {x – 2} \right] + 2x – 3 = 0$$ luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

Hướng dẫn:

Đặt $$f\left[ x \right] = m{\left[ {x – 1} \right]^3}\left[ {x – 2} \right] + 2x – 3$$ thì $$f\left[ x \right]$$ là hàm đa thức nên liên tục trên R.

$$f\left[ 1 \right] = – 1,f\left[ 2 \right] = 1 \Rightarrow f\left[ 1 \right].f\left[ 2 \right] = – 1$$ < 0

Vậy phương trình \[f\left[ x \right] = 0\] có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng \[\left[ {1;2} \right]\].

Ví dụ 3. Chứng minh rằng phương trình $${m^2}{x^4} + 2m{x^3} + 3x – 1 = 0$$ luôn có nghiệm với mọi m.

Hướng dẫn:

• Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!

+] Áp dụng định lý: Nếu hàm số y = f[x] liên tục trên đoạn [a; b] và f[a].f[b] < 0, thì phương trình f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng [a; b].

+] Các bước làm bài chứng minh phương trình có nghiệm.

- Bước 1: Biến đổi phương trình cần chứng minh về dạng f[x] = 0.

- Bước 2: Tìm 2 số a và b [a < b] sao cho f[a] . f[b] < 0

- Bước 3: Chứng minh hàm số y = f[x] liên tục trên đoạn [a; b].

 Từ đó suy ra phương trình f[x] = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc [a; b].

 Lưu ý: Các bước trên có thể thay đổi thứ tự.

+] Một số chú ý:

- Nếu f[a].f[b] ≤ 0 thì phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc [a; b].

- Nếu hàm số f[x] liên tục trên [a; + ∞] và có f[a] .

< 0 thì phương trình f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc [a; +∞].

- Nếu hàm số f[x] liên tục trên [-∞; a] và có f[a] .

< 0 thì phương trình f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc [-∞; a].

Ví dụ 1: Chứng minh rằng phương trình x3 + x - 1 = 0 có nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Đặt f[x] = x3 + x - 1

Hàm f[x] là hàm đa thức nên f[x] liên tục trên R [định lý cơ bản về tính liên tục]

Suy ra hàm f[x] liên tục trên đoạn [0; 1] [vì [0; 1] ⊂R] [1]

Ta có: f[0] = 03 + 0 – 1 = - 1 ; f[1] = 13 + 1 – 1 = 1

⇒ f[0] . f[1] = - 1. 1 = - 1 < 0 [2]

Từ [1] và [2] suy ra f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc [0; 1] [tính chất hàm số liên tục].

Vậy phương trình x3 + x - 1 = 0 có nghiệm [đpcm].

Ví dụ 2: Chứng minh 4x4 + 2x2 - x - 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng [-1; 1].

Hướng dẫn giải:

+ Đặt f[x] = 4x4 + 2x2 - x - 3

Vì f[x] là hàm đa thức nên f[x] liên tục trên R.

Suy ra f[x] liên tục trên các đoạn [-1 ; 0] và [0; 1].

+ Ta có: f[-1] = 4.[-1]4 + 2.[-1]2 - [-1] - 3 = 4

f[0] = 4.0 + 2.0 - 0 - 3 = -3

f[1] = 4.14 + 2.12 - 1 - 3 = 2

+ Vì f[-1].f[0] = 4.[-3] = -12 < 0 nên phương trình f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc [-1; 0]

Vì f[0] . f[1] = -3 . 2 = -6 < 0 nên phương trình f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc [0; 1]

Mà hai khoảng [-1; 0] và [0; 1] không giao nhau. Từ đó suy ra phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc [-1; 1]. [đpcm]

Ví dụ 3: Chứng minh rằng phương trình x5 - 5x3 + 4x - 1 = 0 có đúng 5 nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Đặt f[x] = x5 - 5x3 + 4x - 1 thì f[x] liên tục trên R [vì f[x] là hàm đa thức].

Ta có:

Vì

nên phương trình f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc

Vì

nên phương trình f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng

Vì

nên phương trình f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng

Vì

nên phương trình f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng

Vì f[1] . f[3] = -1 . 119 = -119 < 0 nên phương trình f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng [1; 3].

Do các khoảng

không giao nhau nên phương trình f[x] = 0 có ít nhất 5 nghiệm.

Mà phương trình f[x] = 0 có bậc là 5, nên nó có không quá 5 nghiệm

Vậy phương trình f[x] = 0 có đúng 5 nghiệm [đpcm].

Ví dụ 4: Chứng minh rằng phương trình [m2 - m + 3]x2n - 2x - 4 = 0 với n ∈ N* luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m.

Hướng dẫn giải:

Đặt f[x] = [m2 - m + 3]x2n - 2x - 4

Ta có:

Mặt khác hàm số f[x] xác định là liên tục trên R nên hàm số liên tục trên đoạn [-2; 0]

Do đó phương trình f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng [-2; 0].

Vậy phương trình đã cho luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m.

Ví dụ 5: Chứng minh rằng với mọi a, b, c phương trình x3 + ax2 + bx + c = 0 luôn có nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Đặt f[x] = x3 + ax2 + bx + c thì f[x] liên tục trên R [vì f[x] là hàm đa thức].

Ta có:

⇒∃ x1 > 0 để f[x1] > 0

Tương tự:

⇒∃ x2 < 0 để f[x2] < 0

Như vậy có x1 ; x2 để f[x1] . f[x2] < 0 suy ra phương trình có nghiệm x ∈ [x1; x2]

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi a, b, c.

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

• Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.