Một tổ có 7 học sinh nam và 5 học sinh nữ được xếp đứng ngẫu nhiên thành một hàng ngang để tham dự chào cờ. Tính xác suất để không có bất kỳ hai học sinh nữ nào xếp đứng cạnh nhau
- A. \[\frac{1}{{132}}.\]
- B. \[\frac{7}{{99}}.\]
- C. \[\frac{7}{{264}}.\]
- D. \[\frac{1}{{792}}.\]
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: B
Số cách sắp xếp 12 học sinh đứng thành hàng ngang là 12! [cách] Số phần tử không gian mẫu \[n\left[ \Omega \right] = 12!\]
Gọi biến cố A: " Không có bất kỳ hai học sinh nữ nào đứng cạnh nhau"
Trước tiên ta sắp 7 học sinh nam đứng thành hàng ngang, có 7! [cách]
Khi xếp 7 học sinh nam tạo ra 8 khoảng trống [gồm 6 khoảng trống xen kẻ giữa 2 nam liên tiếp và 2 khoảng trống ở hai đầu] ta sắp xếp 5 học sinh nữ vào 5 trong 8 khoảng trống đó. Số cách sắp là \[A_8^5\] \[ \Rightarrow n\left[ A \right] = 7!A_8^5\]
\[P\left[ A \right] = \frac{{n\left[ A \right]}}{{n\left[ \Omega \right]}} = \frac{{7!A_8^5}}{{12!}} = \frac{7}{{99}}.\]
Số cách chọn 2 nam đứng ở đầu và cuối là .
Lúc này còn lại 5 nam và 5 nữ, để đưa 10 người này vào hàng thì trước tiên sẽ cho 5 nam đứng riêng thành hàng ngang, số cách đứng là 5!. Sau đó lần lượt “nhét” 5 nữ vào các khoảng trống ở giữa hoặc đầu, hoặc cuối của hàng 5 nam này, mỗi khoảng trống chỉ “nhét” 1 nữ hoặc không “nhét”, có tất cả 6 khoảng trống nên số cách xếp vào là .
Số cách xếp 10 người này thành hàng ngang mà 2 nữ bất kì không đứng cạnh nhau là:
Đưa 10 người này vào giữa 2 nam đầu và cuối đã chọn, số cách xếp là:
Chọn D.