Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên $a$ sao cho ứng với mỗi $a$, tồn tại ít nhất $8$ số nguyên $b\in \left[ -10;10 \right]$ thỏa mãn ${{5}^{2{{a}^{2}}+b}}\le {{3}^{b-a}}+624$ ?
A. $3$.
B. $6$.
C. $5$.
D. $7$.
Lời giải
Chia cả hai vế cho ${{5}^{b}}$, ta được
$\dfrac{1}{{{3}^{a}}}{{\left[ \dfrac{3}{5} \right]}^{b}}+624{{\left[ \dfrac{1}{5} \right]}^{b}}-{{5}^{2{{a}^{2}}}}\ge 0.$
Đặt $f\left[ b \right]=\dfrac{1}{{{3}^{a}}}{{\left[ \dfrac{3}{5} \right]}^{b}}+624{{\left[ \dfrac{1}{5} \right]}^{b}}-{{5}^{{{a}^{2}}}}$, với $b\in \left[ -9;9 \right]$. Ta có
${f}'\left[ b \right]=\dfrac{1}{{{3}^{a}}}{{\left[ \dfrac{3}{5} \right]}^{b}}\ln \dfrac{3}{5}+624{{\left[ \dfrac{1}{5} \right]}^{b}}\ln \dfrac{1}{5}{{3}^{-a-1}}+{{3}^{-a-1}}\left[ {{5}^{6}}-1 \right]>{{3}^{a-1}}+624.$
Nếu $a\ge -1$ thì do thì ${{3}^{-a-1}}\le 1$ và $a\in \mathbb{Z}$ nên
${{5}^{2{{a}^{2}}-1}}\le 625\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}-1\le 4\Leftrightarrow -\dfrac{\sqrt{10}}{2}\le a\le \dfrac{\sqrt{10}}{2}\Rightarrow a\in \left\{ -1;0;1 \right\}.$
Thử lại tất cả $3$ giá trị nguyên trên đều thỏa mãn yêu cầu.
Đáp án A.
Có bao nhiêu số nguyên a, sao cho ứng với mỗi a, tồn tại ít nhất bốn số nguyên \[b \in[-12; 12]\] thỏa mãn \[4^{a^2+b} \leq 3^{b-a}+65\]?
- A. 4
- B. 6
- C. 5
- D. 7
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: D
Ta có \[4^{a^2+b} \leq 3^{b-a}+65 \Leftrightarrow 4^{a^2+b}-3^{b-a}-65 \leq 0\].
\[\Leftrightarrow 4^{a^2}-\dfrac{3^{b-a}}{4^b}-\dfrac{65}{4^b} \leq 0 \Leftrightarrow-\left[\dfrac{3}{4}\right]^b \cdot \dfrac{1}{3^a}-65 \cdot\left[\dfrac{1}{4}\right]^b+4^{a^2} \leq 0\] Xét hàm số \[f[b]=-\left[\dfrac{3}{4}\right]^b \cdot \dfrac{1}{3^a}-65 \cdot\left[\dfrac{1}{4}\right]^b+4^{a^2}, b \in[-12; 12]\].
Suy ra \[\Rightarrow f'[b]=-\ln \left[\dfrac{3}{4}\right] \cdot\left[\dfrac{3}{4}\right]^b \cdot \dfrac{1}{3^a}-65 \ln \left[\dfrac{1}{4}\right] \cdot\left[\dfrac{1}{4}\right]^b>0\]. Do đó \[f[b]\] đồng biến.
Để \[f[b] \leq 0\] có it nhất 4 giá trị nguyên thỏa mãn thì \[f[-8] \leq 0 \Leftrightarrow 4^{a^2-8} \leq 3^{-a-8}+65\] \[\Rightarrow 4^{a^2-5} \leq 65 \Rightarrow a^2-8 \leq \log _4 65\]. Do \[a \in \mathbb{Z} \Rightarrow a \in\{-3;-2; \ldots 3\}\]. Có 7 giá trị nguyên của \[a\].
Có bao nhiêu số nguyên a, sao cho ứng với mỗi a, tồn tại ít nhất bốn số nguyên b ϵ [-12;12] thỏa mãn \[4^{a^2+b}\le3^{b-a}+65\]?
Giải thích cho mình làm sao ra được dòng mình bôi vàng ở dưới với ạ, mình cảm ơn nhiều ♥
Có bao nhiêu số nguyên \[a\] sao cho ứng với mỗi \[a\], tồn tại ít nhất \[8\] số nguyên \[b \in \left[ { - 10{\kern 1pt} \,;\,10} \right]\] thỏa mãn \[{5^{{a^2} - 2a - 3 + b}} \le {3^{b + a}} + 598\]?