Câu hỏi: Cho $S=\left\{ 1;2;3;...;35 \right\}$, tìm số cách chọn một tập con của $S$ gồm 26 phần tử sao cho tổng các phần tử của nó chia hết cho 5.
A. 15141523
B. 14121492
C. 1321250
D. 131213
Lời giải
Cách giải:
Trong tập hợp S ta có:
- Tập hợp các số chia hết cho 5 là ${{S}_{0}}=\left\{ 5;10;15;20;25;30;35 \right\}:$ 7 phần tử
- Tập hợp các số chia cho 5 dư 1 là ${{S}_{1}}=\left\{ 1;6;11;16;21;26;31 \right\}:$ 7 phần tử.
- Tập hợp các số chia cho 5 dư 2 là ${{S}_{2}}=\left\{ 2;7;12;17;22;27;32 \right\}:$ 7 phần tử.
- Tập hợp các số chia cho 5 dư 3 là ${{S}_{3}}=\left\{ 3;8;13;18;23;28;33 \right\}:$ 7 phần tử.
- Tập hợp các số chia cho 5 dư 4 là ${{S}_{4}}=\left\{ 4;9;14;19;24;29;34 \right\}:$ 7 phần tử.
Gọi X là tập hợp các tập hợp gồm tất cả các tập con chứa 26 phần tử của S ta có $n\left[ X \right]=C_{35}^{26}$.
Gọi ${{X}_{0}}=\!\!\{\!\!$ những số chia hết cho 5}, ${{X}_{1}}$ = {những số choc ho 5 dư 1}, ${{X}_{2}}=$ {những số chia cho 5 dư 2}, ${{X}_{3}}=$ {những số chia cho 5 dư 3}, ${{X}_{4}}=$ {những số chia cho 5 dư 4}.
$\Rightarrow X={{X}_{0}}\cup {{X}_{1}}\cup {{X}_{2}}\cup {{X}_{3}}\cup {{X}_{4}}.$
Ta chứng minh được $n\left[ {{X}_{0}} \right]=n\left[ {{X}_{1}} \right]=n\left[ {{X}_{2}} \right]=n\left[ {{X}_{3}} \right]=n\left[ {{X}_{4}} \right].$
Vậy số cách chọn một tập con của $S$ gồm 26 phần tử sao cho tổng các phân tử của nó chia hết cho 5 là $\dfrac{C_{35}^{26}}{5}=14121492$.
Đáp án B.
X là một tập con của A thỏa yêu cầu bài toán khi và chỉ khi X \ {2} là một tập con của B
Do đo, số tập con của A thỏa yêu cầu bài toán bằng số tập con của B và bằng 26 = 64
Chọn A.
Chú ý : Cho tập hợp A có n phần tử, thì tập A có 2n tập con.