A. Hàm số $y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d [a \neq 0]$.
Bài toán 1: Cho hàm số $y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$. Khi nào hàm số có hai điểm cực trị.
Phương pháp: $y'=3ax^{2}+2bx+c$
Để hàm số có cực trị thì phương trình $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta>0 $ [$\Delta'>0$] hay
Bài toán 2: Cho hàm số $y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$. Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị.
Phương pháp:
- Bước 1: Tính y', giải phương trình bằng chức năng EQN và lưu hai nghiệm vào ô nhớ A, B bằng cách nhấn SHIFT RCL.
- Bước 2: Tính giá trị cực trị bằng cách nhập hàm số $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ vào máy và sử dụng phím CALC để lưu vào ô nhớ C và D.
- Bước 3: Tính $d^{2}=[x_{2}-x_{1}]^{2}+[y_{2}-y_{1}]^{2}$ hay $d^{2}=[A-B]^{2}+[C-D]^{2}$.
Ví dụ: Tìm khoảng cách giữa hai điểm cực trị của hàm số $y=x^{3}-4x^{2}+3x-5$
Giải:
Bài toán 3: Cho hàm số $y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.
Phương pháp:
Cách 1: Gọi $M[x,y]$ là một điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Ta có $y'=3ax^{2}+2bx+c=0$.
Hơn nữa, $y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d=[\frac{1}{3}x+\frac{b}{9a}][3ax^{2}+2bx+c]+[\frac{2}{3}c-\frac{2.b^{2}}{9a}]x+d-\frac{bc}{9a}$
$=[\frac{2}{3}c-\frac{2.b^{2}}{9a}]x+d-\frac{bc}{9a}$.
Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là
| $y=[\frac{2}{3}c-\frac{2.b^{2}}{9a}]x+d-\frac{bc}{9a}$ |
Cách 2: Tìm hai điểm cực trị và viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đó.
- Bước 1: Giải phương trình $y'=0$ bằng chức năng EQN và lưu vào ô nhớ A, B.
- Bước 2: Tính tung độ tương ứng bằng cách nhập hàm và nhấn CALC.
- Bước 3: Giải hệ phương trình tìm các hệ số a và b của đường thẳng $ \left \{\begin{matrix} Aa+b=C \\ Ba+b=D \\ \end{matrix} \right.$
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số $y=x^{3}-4x^{2}+3x-5$.
Giải:
Cách 1: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là $y=[\frac{2}{3}.3-\frac{2.[-4]^{2}}{9}]x+[-5]-\frac{-4.3}{9}=-\frac{11}{9}x-\frac{11}{3}.$
Cách 2:
Bài toán 4: Bài toán về đồng biến, nghịch biến.
Cách 1: Tính y'
Cách 2: Sử dụng máy tính.
Ví dụ 1: Hàm số $y=\frac{x^{2}-2x-5}{x-2}$ đồng biến trên
| A. $[-\infty,0] \cup [3,+\infty]$. | B. $\mathbb{R}$. |
| C. $[0,2] \cup [2,4]$. | D. $[-\infty,2] \cup [2,+\infty]$. |
Cách 1:
$y=\frac{x^{2}-2x-5}{x-2}=x-\frac{5}{x-2} \Rightarrow y'=1+\frac{5}{[x-2]^{2}}>0$ với $\forall x \neq 2$.
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $ [-\infty,2] \cup [2,+\infty]$. Chọn D.
Cách 2: Sử dụng trực tiếp Casio để thử đáp án.
Ta có định lí sau: Giả sử hàm số $f[x]$ có đạo hàm trên khoảng $[a,b]$.
- Nếu $f'[x]>0$ với mọi $x \in [a,b]$ thì hàm số đồng biến trên khoảng $[a,b]$.
- Nếu $f'[x]0 thì hàm số đã cho đồng biến.
- Nếu kết quả S0 nên loại A.
Nhập
thu được kết quả 1,556>0 nên loại C.
Ví dụ 2: Để hàm số $y=x^{3}+3mx^{2}-4mx+4$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì
A. $0 \leq m \leq \frac{4}{3}$. B. $-\frac{4}{3} \leq m \leq 0$. C. $0 \leq m \leq \frac{3}{4}$. D. $-\frac{3}{4} \leq m \leq 0$. Giải:
Bước 1: Nhập dữ liệu với biến x ta gán vào biến X, tham số đi kèm ta gán vào biến Y.
Bước 2: Gán giá trị
- Gán giá trị cho biến X: Ta gán một giá trị nào đó trong tập xác định cho trước.
- Gán giá trị cho biến Y: Chúng ta quan sát vào các đáp án để gán gia trị cho biến Y.
Cụ thể:
- Nhập dữ liệu
- Gán giá trị [ấn nút CALC]
- Vì tập xác định bằng $\mathbb{R}$ nên gán giá trị X=0.
- Quan sát đáp án thấy m=0 đáp án nào cũng có nên ta không gán $m=Y=0$. Hai đáp án A và C có chiều như nhau. B và D cũng vậy.
+ Gán $m=Y=\frac{3}{4}$ ta có
Kết quả 0 nên loại D.
Ví dụ 3: Hàm số $y=\frac{m}{3}x^{3}-[m-1]x^{2}+[m-2]x+\frac{1}{3}$ đồng biến trên $[2,+\infty]$.
A. $m>0.$ B. $m \geq 0$. C. $m>8$. D. $m \leq -2$. Giải:
Đồng biến trên $[2,+\infty]$ nên gán $X=2$.
Gán $Y=0$, kết quả >0 thì chỉ có B đúng.
Bài tập áp dụng
Bài 1: Hàm số $y=[m-x]x^{2}-m$ đồng biến trên $[1,2]$ khi
A. $a>-3$. B. $a \frac{12}{7}$. D. $a< \frac{12}{7}$. Bài 2: Hàm số $y=x^{3}-3[2m+1]x^{2}+[12m+5]x+2$ đồng biến trên khoảng $[2,+\infty]$ khi
A. $-\frac{1}{\sqrt{6}} \leq m \leq \frac{1}{\sqrt{6}} $. B. $m \leq -\frac{1}{\sqrt{6}}$. C. $m \geq \frac{5}{12}$. D. $m \leq \frac{5}{12}$. Bài toán 5: Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Phương pháp:
- Nếu hàm số $y=f[x]$ liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trong khoảng [a,b] thì luôn có GTLN, GTNN trên đoạn [a,b] và tìm như sau:
- Bước 1: MODE 7
- Bước 2: Nhập hàm $f[x]$ ấn phím = sau đó nhập Start=a, End=b, Step= $\frac{b-a}{1}$.
- Bước 3: Dựa vào bảng giá trị, tìm GTLN, GTNN của hàm số.
Ví dụ: Giá trị lớn nhất của hàm số $y=x^{3}-3x^{2}-9x+35$ trên đoạn $[-1,1]$ là
A. 40. B. 21. C. 50. D. 35. Bước 1: MODE 7
Bước 2: Nhập $f[X]=X^{3}-3X^{2}-9X+35$ ấn phím = sau đó nhập Start=-1. End=1. Step= 0.2
Bước 3: Tra bảng nhận được và tìm GTLN
Dựa vào bảng trên, ta thấy GTLN của hàm số là 40.
Chú ý: Cách làm này vẫn đúng khi tìm GTLN và GTNN của một hàm số bất kì trên $[a,b]$.
- Tìm GTLN, GTNN của hàm số không cho miền xác định của x.
- Bước 1: Tìm y'
- Bước 2: Tìm nghiệm của phương trình y'=0.
- Bước 3: Tính giá trị của y tại các giá trị của nghiệm trên rồi kết luận.
Bài toán 6: Bài toán tương giao
Phương pháp: Dựa vào đáp án để thử.
Ví dụ: Tìm m để [C]: $y=-2x^{3}+6x^{2}+1$ và $d: y=mx+1$ cắt nhau tại 3 điểm phân biệt.
A. $m< \frac{9}{2}, m\neq 0$. B. $m>\frac{9}{2}, m\neq 0$. C. $m-\frac{9}{2}, m \neq 0$. Giải: Nhận thấy cả 4 đáp án đều có điều kiện $m \neq 0$ nên ta bỏ qua điều kiện này trong quá trình thử.
- Đầu tiên ta thử với m=5, ta thấy phương trình có 1 nghiệm thực nên loại B, D.
- Thử tiếp với m=0, ta được phương trình có 3 nghiệm thực nên loại C nhận A.
Video liên quan