Công thức xác định trọng tâm của vật rắn

Chúng tôi trích giới thiệu với các bạn một số bản dịch từ tác phẩm Những câu hỏi và bài tập vật lí phổ thông của hai tác giả người Nga L. Tarasov và A. Tarasova, sách xuất bản ở Nga năm 1968. Bản dịch lại từ bản tiếng Anh xuất bản năm 1973.

Bạn đang xem: Xác định trọng tâm của vật rắn

Các bài giảng được trình bày dưới dạng thảo luận hỏi đáp giữa giáo viên và học sinh.

§15. Phương pháp xác định trọng tâm

GV: Trong nhiều trường hợp, các thí sinh thấy khó xác định trọng tâm của một vật hay một hệ vật. Các em đã hiểu rõ vấn đề này chưa?

HS A: Không, em không dám nói thế. Em không hiểu cho lắm làm thế nào thầy tìm được trọng tâm trong hai trường hợp biểu diễn ở Hình 63a và Hình 64a.

GV: Tốt thôi. Trong trường hợp thứ nhất, muốn tiện ta hãy chia tấm phẳng đó thành hai hình chữ nhật như thể hiện bởi đường đứt nét trong Hình 63b. Trọng tâm của hình chữ nhật 1 nằm tại điểm A; trọng tâm của hình chữ nhật này tỉ lệ với diện tích của nó và, như dễ thấy từ hình vẽ, bằng sáu đơn vị [ở đây trọng lượng được đo theo cm2]. Trọng tâm của hình chữ nhật 2 nằm tại điểm B; trọng lượng của hình chữ nhật này bằng 10 đơn vị. Tiếp theo ta chiếu các điểm A và B lên trục tọa độ Ox và Oy; những điểm chiếu này được kí hiệu là A1 và B1 trên trục x và A2 và B2 trên trục y. Sau đó ta xét các “thanh” A1B1 và A2B2, giả sử khối lượng tập trung tại hai đầu “thanh”, khối lượng của mỗi đầu thanh bằng khối lượng của hình chữ nhật tương ứng [xem Hình 63b]. Như vậy, bài toán xác định trọng tâm của tấm phẳng của chúng ta đã được giản lược thành bài toán tìm trọng tâm của “thanh” A1B1 và A2B2. Vị trí của những trọng tâm này sẽ là tọa độ của trọng tâm của tấm phẳng.

Nhưng chúng ta hãy làm xong bài toán đã. Trước tiên ta xác định vị trí trọng tâm của “thanh” A1B1 sử dụng quy tắc moment lực đã biết [xem Hình 63b]: 6x = 10 [2 – x]. Suy ra x = 5/4 cm. Như vậy, tọa độ X của trọng tâm của tấm phẳng trong hệ tọa độ đã chọn là X = [1 + x] cm = 9/4 cm. Tương tự, ta tìm được trọng tâm của “thanh” A2B2: 6y = 10 [1 – y] từ đó suy ra y = 5/8 cm. Như vậy, tọa độ Y của trọng tâm của tấm phẳng là Y = [1,5 + y] cm = 17/8 cm.

HS A: Giờ thì em hiểu rồi. Đó chính là cách em đã nghĩ tới để tìm tọa độ X của trọng tâm của tấm phẳng. Em đã không dám chắc là tọa độ Y cũng có thể tìm được theo cách như vậy.

GV: Bây giờ chúng ta xét trường hợp thứ hai, như ở Hình 64a. Có hai phương pháp khả dụng. Chẳng hạn, thay cho hình tròn đã cho với một cái lỗ tròn, ta có thể xét một hệ gồm hai vật: một hình tròn với hai cái lỗ tròn đối xứng nhau và một hình tròn đặt khít vào một trong hai lỗ đó [Hình 64b]. Trọng tâm của những vật này nằm tại tâm đối xứng của chúng. Biết rằng trọng lượng của hình tròn có hai cái lỗ là tỉ lệ với diện tích của nó, tức là [πR2 – 2πR2/4] = πR2/2, và trọng lượng của hình tròn nhỏ tỉ lệ với diện tích của nó πR2/4, ta suy giản bài toán thành đi tìm điểm đặt của hợp lực của hai lực song song như thể hiện ở Hình 64b. Ta kí hiệu x là khoảng cách từ trọng tâm cần tìm đến tâm hình học của hình tròn lớn. Khi đó, theo Hình 64b, ta có thể viết [πR2/4][R/2 – x] = [πR2/2]x, từ đó ta được x = R/6.

Có một cách giải khác nữa. Hình tròn có cái lỗ đã cho có thể được thay bằng một hình tròn đặc [không có lỗ] cùng với hình tròn nằm đúng tại chỗ của cái lỗ và có trọng lượng âm [tức là lực hướng lên trên] [Hình 64c], nó sẽ triệt tiêu trọng lượng dương của phần tương ứng của hình tròn đặc. Nhìn chung, sắp xếp này tương ứng với hình tròn ban đầu với cái lỗ tròn. Trong trường hợp này, một lần nữa bài toán được giản luận thành đi tìm điểm đặt của hợp lực của hai lực như thể hiện ở phần dưới Hình 64c. Theo hình vẽ, ta có thể viết: πR2x = [πR2/4][R/2 + x], từ đó, như trong trường hợp trước, x = R/6.

HS A: Em thích cách giải thứ nhất hơn vì nó không đòi hỏi dùng đến trọng lượng âm.

GV: Ngoài ra, tôi muốn đề xuất một bài toán xác định trọng tâm của hệ vật nặng như ở Hình 65a. Chúng ta có sáu vật nặng với trọng lượng khác nhau [P1, P2,..., P6], sắp xếp trên một thanh ngang và cách đều nhau. Bỏ qua trọng lượng của thanh. Các em sẽ giải bài toán này như thế nào?

HS A: Trước tiên, em xét hai vật nặng, chẳng hạn P1 và P2, và tìm điểm đặt của hợp lực của chúng. Sau đó em sẽ biểu diễn hợp lực này [bằng tổng P1 + P2] lên hình vẽ và tạm quên đi lực P1 và P2, không xét đến chúng nữa. Tiếp theo, em tìm điểm đặt của hợp lực của một cặp lực nữa, vân vân. Lặp lại thao tác này, cuối cùng em sẽ tìm được hợp lực cần thiết có điểm đặt là trọng tâm của cả hệ.

GV: Mặc dù phương pháp giải của em là hoàn toàn chính xác, nhưng nó quá rắc rối. Tôi có thể chỉ cho em một cách giải hay hơn nhiều. Ta bắt đầu bằng cách giả sử rằng ta đang nâng hệ tại trọng tâm của nó [tại điểm B trên Hình 65b].

HS B [cắt ngang]: Nhưng thầy chưa biết trọng tâm nằm ở đâu mà. Làm thế nào thầy biết nó nằm ở giữa điểm đặt của lực P3 và P4 chứ?

GV: Dù cho trọng tâm có nằm ở đâu thì cũng không có sự khác biệt nào cả. Tôi sẽ không khai thác thực tế là ở Hình 65b, trọng tâm hóa ra nằm ở giữa các điểm đặt của lực P3 và P4. Vì thế, ta giả sử ta đang nâng hệ tại trọng tâm của nó. Khi đó, cái thanh ở trong trạng thái cân bằng. Ngoài sáu lực, còn có một lực nữa – phản lực pháp tuyến N – sẽ tác dụng lên cái thanh. Vì cái thanh ở trạng thái cân bằng, ta có thể áp dụng các điều kiện cân bằng [xem §14]. Ta bắt đầu với điều kiện cân bằng thứ nhất cho hình chiếu của tất cả các lực trên phương thẳng đứng

N = P1 + P2 + P3 + P4 + P5 + P6 [86]

Sau đó ta áp dụng điều kiện cân bằng thứ hai [điều kiện moment], xét các moment lực đối với điểm A ở Hình 65b [tức là đầu bên trái của thanh]. Ở đây, toàn bộ các lực có xu hướng làm cái thanh quay theo chiều kim đồng hồ, và phản lực pháp tuyến có xu hướng làm nó quay ngược chiều kim đồng hồ. Ta có thể viết

HS A: Vâng, em phải thừa nhận rằng cách giải của thầy đơn giản hơn nhiều.

GV: Cũng lưu ý rằng phương pháp giải bài toán của em rất nhạy cảm với số lượng vật nặng trên thanh [cộng dần từng vật nặng làm cho hợp lực mỗi lúc một rắc rối thêm]. Cách giải của tôi, trái lại, không trở nên phức tạp hơn khi có thêm những vật nặng khác. Với mỗi vật nặng mới, ta chỉ việc thêm một số hạng vào tử số và một số hạng vào mẫu số trong phương trình [88].

HS B: Ta có thể tìm được vị trí trọng tâm của thanh hay không nếu chỉ sử dụng điều kiện moment?

GV: Vâng, ta có thể. Làm theo cách này, chúng ta viết điều kiện cân bằng moment lực đối với hai điểm khác nhau. Ta hãy làm đúng như thế nhé. Ta sẽ xét điều kiện moment lực đối với điểm A và điểm C [xem Hình 65b]. Đối với điểm A, điều kiện moment được biểu diễn bởi phương trình [87]; đối với điểm C, phương trình biểu diễn là

Như vậy ta thu được kết quả giống như ở phương trình [88].

Bài tập

37. Tìm trọng tâm của một đĩa tròn có hai lỗ tròn như ở Hình 66. Bán kính của hai lỗ tròn bằng một nửa và một phần tư bán kính của đĩa tròn.

Mời đón đọc phần tiếp theo:

Nguyên lí Archimedes thường không thu hút sự chú ý đặc biệt nào. Đây là sai lầm thường gặp ở học sinh sắp chuẩn bị thi vật lí. Những câu hỏi và bài tập hết sức lí thú có thể được nghĩ ra dựa trên nguyên lí này.

Xem thêm: Máy Tính Msi Của Nước Nào, Có Bền Tốt Không, Msi Review

Chúng ta sẽ thảo luận vấn đề khả năng áp dụng nguyên lí Archimedes cho các vật ở trạng thái không trọng lượng.

Những câu hỏi và bài tập vật lí phổ thôngL. Tarasov và A. TarasovaTrần Nghiêm dịch | Phần tiếp theo >>