Video hướng dẫn giải
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Cho hình chóp tam giác đều \[S.ABC\] có cạnh \[AB\] bằng \[a\]. Các cạnh bên \[SA, SB, SC\] tạo với đáy một góc \[60^0\]. Gọi \[D\] là giao điểm của \[SA\] với mặt phẳng qua \[BC\] và vuông góc với \[SA\].
LG a
a] Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp \[S.DBC\] và \[S.ABC\].
Phương pháp giải:
+ Hình chóp có các cạnh bên tạo với đáy góc bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.
Qua \[B\] kẻ \[BD \, \bot \, SA\], chứng minh mặt phẳng qua \[BC\] và vuông góc với \[SA\] là \[[BCD]\].
+ Sử dụng công thức tỉ số thể tích: \[\dfrac{{{V_{S.DBC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SD}}{{SA}}.\dfrac{{SB}}{{SB}}.\dfrac{{SC}}{{SC}} = \dfrac{{SD}}{{SA}}\].
Lời giải chi tiết:
Vì hình chóp \[\displaystyle S.ABC\] là hình chóp đều nên chân đường cao \[\displaystyle H\] là tâm của đường tròn ngoại tiếp đáy.
Do đó \[AH\] là hình chiếu của \[SA\] lên \[[ABC]\] nên góc giữa \[SA\] và \[[ABC]\] bằng góc giữa \[SA\] và \[AH\] hay góc \[\displaystyle SAH = 60^0\].
Gọi \[\displaystyle M\] là trung điểm của cạnh \[\displaystyle BC\] thì \[\displaystyle AM\] là đường cao của tam giác đều \[\displaystyle ABC\]:
\[\displaystyle AM = AB\sin {60^0}= {{a\sqrt 3 } \over 2}\]
\[\displaystyle AH = {2 \over 3}.AM = {{a\sqrt 3 } \over 3}\]
\[\displaystyle SA = {{AH} \over {c{\rm{os}}{{60}^0}}}\] = \[\displaystyle {{2a\sqrt 3 } \over 3}=SB\]
Xét tam giác vuông \[SBM\] ta có: \[\displaystyle SM = \sqrt {S{B^2} - B{M^2}} \] \[ = \sqrt {\dfrac{{12{a^2}}}{9} - \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt {39} }}{6}\].
Qua \[B\] kẻ \[\displaystyle BD \, \bot \, SA\], khi đó ta có:
\[\displaystyle \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
BC \, \bot \, AM\\
BC \, \bot \, SH
\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left[ {SAM} \right] \Rightarrow BC \, \bot \, SA\\
\left\{ \begin{array}{l}
SA \, \bot \, BC\\
SA \, \bot \, BD
\end{array} \right. \Rightarrow SA \, \bot \, \left[
{BCD} \right]
\end{array}\]
Khi đó mặt phẳng \[[BCD]\] đi qua \[BC\] và vuông góc với \[SA.\]
\[\displaystyle SA \, \bot \, \left[ {BCD} \right] \Rightarrow SA \, \bot \, DM\]
Xét tam giác vuông \[ADM\] có: \[\displaystyle DM = AM.\sin 60 = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3a}}{4}\]
Xét tam giác vuông \[SDM\] có: \[\displaystyle SD = \sqrt {S{M^2} - D{M^2}} = \frac{{5\sqrt 3 }}{{12}}a\]
Áp dụng công thức tỉ số thể tích trong bài tập 4, 3 [trang 37 SGK] ta được:
\[\displaystyle {{{V_{S.DBC}}} \over {{V_{S.ABC}}}} = {{SD} \over {SA}}.{{SB} \over {SB}}.{{SC} \over {SC}} \] \[\displaystyle = {{5a\sqrt 3 } \over {12}}:{{2a\sqrt 3 } \over 3} = {5 \over 8}\]
LG b
b] Tính thể tích của khối chóp \[S.DBC\].
Phương pháp giải:
Tính thể tích khối chóp \[S.ABC\] sau đó tính thể tích khối chóp \[S.DBC\].
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[\displaystyle S_{ABC} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin {60^0}\]= \[\displaystyle {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}\]
\[\displaystyle SH = AH.\tan 60^0 = a\]
\[\displaystyle \Rightarrow {V_{S.ABC}} = {1 \over 3}.SH.{S_{ABC}}\] \[ = \dfrac{1}{3}.a.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\]
Từ kết quả câu a] ta có:
\[\displaystyle {V_{S.DBC}} = {5 \over 8}.{V_{S.ABC}}\] \[\displaystyle \Rightarrow {V_{S.BDC}} = {5 \over 8}.{{{a^3}\sqrt 3 } \over {12}}\]
\[\displaystyle \Rightarrow {V_{S.DBC}} = {{5{a^3}\sqrt 3 } \over {96}}\]
Loigiaihay.com
Đề bài
Cho hai đường thẳng chéo nhau \[d\] và \[d’\]. Đoạn thẳng \[AB\] có độ dài \[a\] trượt trên \[d\], đoạn thẳng \[CD\] có độ dài \[b\] trượt trên \[d’\]. Chứng minh rằng khối tứ diện \[ABCD\] có thể tích không đổi.
Video hướng dẫn giải
Lời giải chi tiết
Gọi \[h\] là độ dài đường vuông góc chung của \[d\] và \[d’\], \[α\] là góc giữa hai đường thẳng \[d\] và \[d’\]. Qua \[B, A, C\] dựng hình bình hành \[BACF\]. Qua \[A,C, D\] dựng hình bình hành \[ACDE\].
Khi đó \[CFD.ABE\] là một hình lăng trụ tam giác. Ta có:
\[\begin{array}{l}
{V_{D.ABE}} + {V_{D.BACF}} = {V_{CFD.ABE}}\\
{V_{D.ABE}} =
\dfrac{1}{3}{V_{CFD.ABE}} \Rightarrow {V_{D.BACF}} = \dfrac{2}{3}{V_{CFD.ABE}}\\
{V_{D.ABC}} = \dfrac{1}{2}{V_{D.BACF}} \Rightarrow {V_{D.ABC}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}{V_{CFD.ABE}} = \dfrac{1}{3}{V_{CFD.ABE}}
\end{array}\]
Kẻ \[AH \bot \left[ {CDF} \right]\] ta có: \[{V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.V_{CFD.ABE} = \dfrac{1}{3}.AH.{S_{CDF}}\]
Ta có:
\[\begin{array}{l}AB//CF \Rightarrow AB//\left[ {CDF} \right] \supset CD\\\Rightarrow d\left[ {d;d'} \right] = d\left[ {AB;CD} \right] = d\left[ {AB;\left[ {CDF} \right]} \right] \end{array}\]
\[= d\left[ {A;\left[ {CDF}\right]} \right] = AH = h\]
\[AB//CF \Rightarrow \widehat {\left[ {d;d'} \right]} = \widehat {\left[ {AB;CD} \right]} = \widehat {\left[ {CF;CD} \right]} = \widehat {DCF} = \alpha \]
\[ \Rightarrow {S_{CDF}} = \dfrac{1}{2}.CD.CF.\sin \widehat {DCF} = \dfrac{1}{2}ab\sin \alpha \]
Vậy \[V_{ABCD}=\dfrac{1}{3}.h.\dfrac{1}{2}ab\sin \alpha =\dfrac{1}{6}.h. ab. sinα = const\]. [đpcm]
Loigiaihay.com
- Giải bài 5 trang 26 SGK Hình học lớp 12
Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a. Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng [ABC] lấy điểm D sao cho CD = a.
- Giải bài 4 trang 25 SGK Hình học 12
Cho hình chóp S.ABC. Trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A’, B’, C’ khác với S. Chứng minh rằng:
- Giải bài 3 trang 25 SGK Hình học 12
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tính thể tích của khối hộp đó và thể tích của khối tứ diện ACB’D’.
- Giải bài 2 trang 25 SGK Hình học 12
Tính thể tích khối bát diện đều cạnh a.
- Giải bài 1 trang 25 SGK Hình học
12
Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a.
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay
Báo lỗi - Góp ý
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2023 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.