Đề bài
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn [O]. Kẻ các đường kính AA, BB, CC. Tính số đo:
a] Các góc ở tâm \[\widehat {AOB},\widehat {BOA'},\widehat {B'OC'},\widehat {COC'}.\]
b] Các cung ABC, ABC, ACC, BCB.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] +] Sử dụng tính chất: Tam giác đều có tâm đường tròn ngoại tiếp đồng thời là giao điểm các đường phân giác, tính \[\widehat {AOB}\].
+] Sử dụng tổng hai góc kề bù tính \[\widehat {BOA'}\].
+] Tương tự tính \[\widehat {AOB'} = \widehat {AOC'}\], từ đó tính \[\widehat {B'OC'}\].
+] CC là đường kính, tính \[\widehat {COC'}\].
b] Số đo góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn.
Lời giải chi tiết
Do tam giác ABC đều nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp đồng thời là giao điểm của các đường phân giác.
\[ \Rightarrow AA'\] là tia phân giác của \[\widehat {BAC}\] và \[BB'\] là tia phân giác của \[\widehat {ABC}\].
\[ \Rightarrow \widehat {OAB} = \dfrac{1}{2}{.60^0} = {30^0};\,\,\widehat {OBA} = \dfrac{1}{2}{.60^0} = {30^0}\].
+] Xét tam giác OAB có: \[\widehat {OAB} + \widehat {OBA} + \widehat {AOB} = {180^0}\] [tổng 3 góc trong một tam giác].
\[ \Rightarrow {30^0} + {30^0} + \widehat {AOB} = {180^0}\] \[ \Leftrightarrow \widehat {AOB} = {120^0}\].
+] Ta có: \[\widehat {AOB} + \widehat {BOA'} = {180^0}\] [hai góc kề bù] \[ \Rightarrow \widehat {BOA'} = {180^0} - \widehat {AOB} = {180^0} - {120^0} = {60^0}\].
+] Chứng minh tương tự ta có \[\widehat {AOB'} = \widehat {AOC'} = {60^0} \] \[\Rightarrow \widehat {B'OC'} = \widehat {AOB'} + \widehat {AOC'} = {60^0} + {60^0} = {120^0}\].
+] Vì CC là đường kính của đường tròn [O] \[ \Rightarrow \widehat {COC'} = {180^0}\].
b] Ta có .
Chứng minh tương tự ta có \[\widehat {AOC} = \widehat {BOC} = {120^0}\]
\[ \Rightarrow sd\,cung\,ABC = {360^0} - sd\,cung\,AOC\]\[\, = {360^0} - \widehat {AOC} = {360^0} - {240^0} = {120^0}\].
\[sd\,cung\,ACC' = sd\,cung\,ABC' = {300^0}\].
\[sd\,cung\,BCB' = \widehat {BOB'} = {180^0}\].