Đề bài
Dựng hình vuông \[ABCD,\] biết đỉnh \[A,\] điểm \[M\] thuộc cạnh \[BC\] và điểm \[N\] thuộc cạnh \[CD.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
* Phân tích:
+] Giả sử đã có một hình thỏa mãn điều kiện bài toán
+] Chọn ra các yếu tố dựng được ngay [đoạn thẳng, tam giác,...]
+] Đưa việc dựng các điểm còn lại về các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản [Mỗi điểm thường được xác định là giao của hai đường.]
* Cách dựng: Nêu thứ tự từng bước dựng hình, đòng thời thể diện các nét dựng trên hình vẽ.
* Chứng minh: Bằng lập luận để chứng tỏ rằng với cách dựng trên, hình đã dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài nêu ra.
Lời giải chi tiết
Phân tích:
Giả sử hình vuông \[ABCD\] dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán. Ta cần dựng đỉnh \[C.\] Đỉnh \[C\] thỏa mãn \[2\] điều kiện:
+] \[\widehat {MCN} = 90^\circ \] nên \[C\] nằm trên cung chứa góc \[90^\circ\] dựng trên \[MN.\]
+] Ta có \[\widehat {ACM} = 45^\circ \][vì hình vuông có đường chéo là phân giác] nên \[C\] nằm trên cung chứa góc\[45^\circ\] vẽ trên \[AM.\]
Cách dựng:
Dựng cung chứa góc\[90^\circ\] trên đoạn \[MN.\]
Dựng cung chứa góc\[45^\circ\] trên đoạn \[AM.\]
Hai cung cắt nhau tại \[C,\] nối \[CM, CN.\]
Kẻ \[AB CN\] tại \[B, AD CN\] tại \[D.\]
Ta có tứ giác \[ABCD\] là hình vuông cần dựng.
Chứng minh:
Thật vậy theo cách dựng ta có: \[\widehat C = 90^\circ ,\widehat B = 90^\circ ,\widehat D = 90^\circ \]
Tứ giác \[ABCD\] là hình chữ nhật, có điểm \[M\] thuộc \[BC,\] điểm \[N\] thuộc \[CD.\] \[AC\] là phân giác của \[\widehat C.\]
Vậy: tứ giác \[ABCD\] là hình vuông.