Đề bài
Cho ba điểm \[A, B, C\] thẳng hàng sao cho \[B\] nằm giữa \[A\] và \[C\]. Chứng minh rằng độ dài của nửa đường tròn đường kính \[AC\] bằng tổng các độ dài của hai nửa đường tròn đường kính \[AB\] và \[BC\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Nửa đường tròn có bán kính \[R\] có độ dài là \[l = \pi R = \dfrac{{\pi d}}{2}\] với \[d = 2R\] là đường kính của đường tròn.
Lời giải chi tiết
Gọi \[{C_1};{C_2};{C_3}\] lần lượt là độ dài của các nửa đường tròn đường kính \[AC,AB,BC.\] Theo công thức \[C = \pi d\] ta có :
\[{C_1} =\dfrac{1}{2} \pi AC\] [vì \[C_1\] là nửa đường tròn đường kính \[AC\]]
\[{C_2} = \dfrac{1}{2} \pi AB\][vì \[C_2\] là nửa đường tròn đường kính \[AC\]]
\[{C_3} = \dfrac{1}{2} \pi BC\][vì \[C_3\] là nửa đường tròn đường kính \[AC\]]
Từ đó ta có \[{C_2} + {C_3} = \dfrac{1}{2} \pi AB + \dfrac{1}{2} \pi BC \]\[=\dfrac{1}{2}\pi \left[ {AB + BC} \right]\]
Vì \[B\] nằm giữa \[A\] và \[C\]\[ \Rightarrow AC = AB + BC.\]
Vậy \[{C_1} = {C_2} + {C_3}\]
Chú ý: Vì\[{C_1};{C_2};{C_3}\] lần lượt là độ dài của các nửa đường tròn đường kính \[AC,AB,BC.\] Nên ta phải có \[\dfrac{1}{2}\] ở công thức tính nửa chu vi là\[{C_1} =\dfrac{1}{2} \pi AC.\]