Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] có ba góc nhọn. Xác định vị trí của điểm \[M\] trong tam giác sao cho \[MA + MB + MC\] nhỏ nhất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng kiến thức:
+] Trong tam giác đều, mỗi góc đều bằng \[60^\circ.\]
+] Chứng minh ba điểm thẳng hàng: Nếu \[ \widehat{ABD}+\widehat{DBC}=180^\circ\] thì \[A,B,C\] thẳng hàng.
Lời giải chi tiết
Trong \[ABC\] ta lấy điểm \[M.\] Nối \[MA, MB, MC.\]
Ta cần làm xuất hiện tổng \[MA + MB + MC\] sau đó tìm điều kiện để tổng đó nhỏ nhất.
Lấy \[MC\] làm cạnh dựng trên nửa mặt phẳng bờ \[BC\] chứa điểm \[A\] tam giác đều \[MCN.\] Suy ra: \[CM = MN.\]
Lấy \[AC\] làm cạnh dựng trên nửa mặt phẳng bờ \[AC\] không chứa điểm \[B\] tam giác đều \[APC.\]
Ta có:
\[\widehat {MCA} + \widehat {ACN} = \widehat {MCN}=60^\circ \]
\[\widehat {ACN} + \widehat {NCP} =\widehat {ACP}= 60^\circ \]
\[ \Rightarrow \widehat {MCA} = \widehat {NCP}\]
Xét \[AMC\] và \[PNC:\]
+] \[CM = CN\] [vì \[MCN\] đều]
+] \[\widehat {MCA} = \widehat {NCP}\] [chứng minh trên]
+] \[ CA = CP\] [vì \[APC\] đều]
Suy ra: \[AMC = PNC\;\; [c.g.c]\]
\[ \Rightarrow PN = AM\]
\[ MA + MB + MC = NP + MB + MN\]
Ta có \[ABC\] cho trước nên điểm \[P\] cố định nên \[BM + MN + NP\] ngắn nhất khi \[4\] điểm \[B, M, N, P\] thẳng hàng.
Vì \[\widehat {CMN} = 60^\circ \] nên \[3\] điểm \[B, M, N\] thẳng hàng khi và chỉ khi \[\widehat {BMC} = 120^\circ \]
Vì \[\widehat {CNM} = 60^\circ \] nên \[3\] điểm \[M, N, P\] thẳng hàng khi và chỉ khi \[\widehat {CNP} = 120^\circ \]
Mà \[AMC = PNC\] [chứng minh trên] \[ \Rightarrow \widehat {AMC} = \widehat {PNC} = 120^\circ \]
Vậy \[MA + MB + MC\] bé nhất khi và chỉ khi \[\widehat {BMC} = 120^\circ \] và \[\widehat {AMC} = 120^\circ \]
Vậy \[M\] là giao điểm của \[2\] cung chứa góc \[120^\circ \] dựng trên \[BC\] và \[AC.\]