Đề bài
Câu 1 [2 điểm]: Giải phương trình:
a] \[\left[ {3x - 2} \right]\left[ {2x + 1} \right] = {\left[ {2x + 1} \right]^2}\]
b] \[\frac{2}{{x - 2}} - \frac{3}{{3 - x}} = \frac{{3x - 20}}{{\left[ {x - 3} \right]\left[ {x - 2} \right]}}\]
Câu 2 [2 điểm]: Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Một miếng đất hình chữ nhật có chiều rộng bé hơn chiều dài \[25m\]. Nếu giảm chiều dài \[25m\] thì diện tích mảnh đất sẽ nhỏ hơn diện tích ban đầu là \[1000{m^2}\]. Tính các kích thước của miếng đất ban đầu.
Câu 3 [2 điểm]: Cho phương trình \[\left[ {{m^2} + 2m + 3} \right]x - 6 = 0\] [\[m\] là tham số]
a] Tính giá trị của \[m\] để phương trình nhận \[x = 2\] là một nghiệm.
b] Tìm giá trị của \[m\] để phương trình có nghiệm \[x\] duy nhất đạt giá trị lớn nhất.
Câu 4 [3,5 điểm]: Cho \[\Delta ABC\] vuông tại \[A,\,\,AB < AC,\,\,AH\] là đường cao.
a] Chứng minh \[\Delta HAC\] và \[\Delta ABC\] đồng dạng.
b] Chứng minh \[H{A^2} = HB.HC\]
c] Gọi \[D,\,\,E\] lần lượt là trung điểm của \[AB,\,\,BC\]. Chứng minh \[CH.CB = 4D{E^2}\].
d] Gọi \[M\] là giao điểm của đường thẳng vuông góc với \[BC\] tại \[B\] và đường thẳng \[DE\]. Gọi \[N\] là giao điểm của \[AH\] và \[CM\]. Chứng minh \[N\] là trung điểm của \[AH\].
Câu 5 [0,5 điểm]: Cho ba số \[a,\,\,b,\,\,c\] thỏa mãn \[0 < a \le b \le c\]. Chứng minh rằng:
\[\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \ge \frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c}\]
Lời giải chi tiết
Câu 1 [VD]
Phương pháp:
a] Đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích:
\[A\left[ x \right].B\left[ x \right] = 0\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left[ x \right] = 0\\B\left[ x \right] = 0\end{array} \right.\]
b] Phương trình chứa ẩn ở mẫu:
+ Tìm điều kiện xác định của phương trình.
+ Quy đồng hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
+ Giải phương trình vừa nhận được.
+ Kết luận.
Cách giải:
a] \[\left[ {3x - 2} \right]\left[ {2x + 1} \right] = {\left[ {2x + 1} \right]^2}\]
\[\begin{array}{l}\left[ {3x - 2} \right]\left[ {2x + 1} \right] = {\left[ {2x + 1} \right]^2}\\ \Leftrightarrow \left[ {3x - 2} \right]\left[ {2x + 1} \right] - {\left[ {2x + 1} \right]^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {2x + 1} \right]\left[ {\left[ {3x - 2} \right] - \left[ {2x + 1} \right]} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {2x + 1} \right]\left[ {3x - 2 - 2x - 1} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {2x + 1} \right]\left[ {x - 3} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 1 = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{2}\\x = 3\end{array} \right.\end{array}\]
Vậy tập nghiệm của phương trình là \[S = \left\{ { - \frac{1}{2};\,\,3} \right\}\].
b] \[\frac{2}{{x - 2}} - \frac{3}{{3 - x}} = \frac{{3x - 20}}{{\left[ {x - 3} \right]\left[ {x - 2} \right]}}\]
Điều kiện: \[\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ne 0\\3 - x \ne 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne 3\end{array} \right.\]
\[\frac{2}{{x - 2}} - \frac{3}{{3 - x}} = \frac{{3x - 20}}{{\left[ {x - 3} \right]\left[ {x - 2} \right]}}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{2}{{x - 2}} + \frac{3}{{x - 3}} = \frac{{3x - 20}}{{\left[ {x - 3} \right]\left[ {x - 2} \right]}}\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{2\left[ {x - 3} \right]}}{{\left[ {x - 3} \right]\left[ {x - 2} \right]}} + \frac{{3\left[ {x - 2} \right]}}{{\left[ {x - 3} \right]\left[ {x - 2} \right]}} = \frac{{3x - 20}}{{\left[ {x - 3} \right]\left[ {x - 2} \right]}}\\ \Rightarrow 2\left[ {x - 3} \right] + 3\left[ {x - 2} \right] = 3x - 20\\ \Leftrightarrow 2x - 6 + 3x - 6 = 3x - 20\\ \Leftrightarrow 2x - 6 + 3x - 6 - 3x + 20 = 0\\ \Leftrightarrow 2x + 8 = 0\\ \Leftrightarrow 2x = - 8\\ \Leftrightarrow x = - 4\,\,\left[ {tm} \right]\end{array}\]
Vậy tập nghiệm của phương trình là \[S = \left\{ { - 4} \right\}\].
Câu 2 [VD]
Phương pháp:
Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Bước 1: Lập phương trình
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình
Bước 3: Kết hợp với điều kiện xác định và kết luận.
Cách giải:
Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Gọi chiều rộng của miếng đất ban đầu là \[x\,\,\left[ {m,\,\,x > 0} \right]\].
Chiều dài của miếng đất ban đầu là \[x + 25\,\,\left[ m \right]\].
Diện tích của miếng đất ban đầu là \[x\left[ {x + 25} \right]\,\,\left[ {{m^2}} \right]\].
Chiều dài của miếng đất sau khi giảm đi \[25m\] là \[\left[ {x + 25} \right] - 25 = x\,\,\left[ m \right]\].
Diện tích của miếng đất sau khi giảm chiều dài là \[{x^2}\,\,\left[ {{m^2}} \right]\].
Vì giảm chiều dài \[25m\] thì diện tích mảnh đất sẽ nhỏ hơn diện tích ban đầu là \[1000{m^2}\] nên ta có phương trình:
\[\begin{array}{l}x\left[ {x + 25} \right] - {x^2} = 1000\\ \Leftrightarrow {x^2} + 25x - {x^2} = 1000\\ \Leftrightarrow 25x = 1000\\ \Leftrightarrow x = 40\,\,\left[ {tm} \right]\end{array}\]
Chiều rộng của miếng đất ban đầu là \[40m\].
Vậy chiều dài của miếng đất ban đầu là \[40 + 25 = 65\left[ m \right]\].
Câu 3 [VD]
Phương pháp:
a] Thay giá trị \[x = 2\] vào phương trình đã cho để tìm \[m\].
b] Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất với mọi \[m\]. Đưa phương trình về dạng \[ax + b = 0\]\[ \Leftrightarrow x = - \frac{b}{a}\].
Từ đó tìm giá trị lớn nhất của \[x\].
Cách giải:
Cho phương trình \[\left[ {{m^2} + 2m + 3} \right]x - 6 = 0\] [\[m\] là tham số]
a] Tính giá trị của \[m\] để phương trình nhận \[x = 2\] là một nghiệm.
Vì \[x = 2\] là nghiệm của phương trình \[\left[ {{m^2} + 2m + 3} \right]x - 6 = 0\] nên ta có:
\[\begin{array}{l}\left[ {{m^2} + 2m + 3} \right].2 - 6 = 0\\ \Leftrightarrow 2{m^2} + 4m + 6 - 6 = 0\\ \Leftrightarrow 2{m^2} + 4m = 0\\ \Leftrightarrow 2m\left[ {m + 2} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2m = 0\\m + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = - 2\end{array} \right.\end{array}\]
Vậy \[m \in \left\{ { - 2;\,\,0} \right\}\].
b] Tìm giá trị của \[m\] để phương trình có nghiệm \[x\] duy nhất đạt giá trị lớn nhất.
Phương trình \[\left[ {{m^2} + 2m + 3} \right]x - 6 = 0\] có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi
\[{m^2} + 2m + 3 \ne 0\]\[ \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 + 2 \ne 0\]\[ \Leftrightarrow {\left[ {m + 1} \right]^2} + 2 \ne 0\]với mọi \[m\].
Suy ra, với mọi giá trị của \[m\] thì phương trình có nghiệm duy nhất.
Ta có:
\[\begin{array}{l}\left[ {{m^2} + 2m + 3} \right]x - 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {{m^2} + 2m + 3} \right]x = 6\\ \Leftrightarrow x = \frac{6}{{{m^2} + 2m + 3}}\\ \Leftrightarrow x = \frac{6}{{{{\left[ {m + 1} \right]}^2} + 2}}\end{array}\]
Vì \[{\left[ {m + 1} \right]^2} \ge 0\] với mọi \[m\]
\[ \Rightarrow {\left[ {m + 1} \right]^2} + 2 \ge 2\] với mọi \[m\]
\[ \Rightarrow \frac{6}{{{{\left[ {m + 1} \right]}^2} + 2}} \le \frac{6}{2}\] với mọi \[m\]
\[ \Rightarrow x \le 3\] với mọi \[m\]
Dấu \[ = \] xảy ra khi và chỉ khi \[m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = - 1\] [thỏa mãn]
Do đó, \[x\] đạt giá trị lớn nhất bằng \[3\] khi \[m = - 1\].
Vậy \[m = - 1\] thì phương trình có nghiệm \[x\] duy nhất đạt giá trị lớn nhất.
Câu 4 [VD]
Phương pháp:
a] Chứng minh tam giác đồng dạng theo trường hợp góc góc.
b] Chứng minh tam giác đồng dạng để có tỉ số \[\frac{{BH}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{CH}}\]. Từ đó, chứng minh được \[A{H^2} = BH.CH\].
c] Áp dụng câu b \[\left[ {A{H^2} = BH.CH} \right]\] và áp dụng định nghĩa đường trung bình trong \[\Delta ABC\].
d] Chứng minh \[HN = AN\] từ \[\frac{{HN}}{{BM}} = \frac{{AN}}{{PM}}\] [áp dụng hệ quả của định lý Ta-lét]
Hệ quả của định lý Ta-lét:
\[a\,{\rm{//}}\,BC\]\[ \Rightarrow \frac{{AB'}}{{AB}} = \frac{{AC'}}{{AC}} = \frac{{BC'}}{{BC}}\]
Cách giải:
Cho \[\Delta ABC\] vuông tại \[A,\,\,AB < AC,\,\,AH\] là đường cao.
a] Chứng minh \[\Delta HAC\] và \[\Delta ABC\] đồng dạng.
Xét \[\Delta ABC\] và \[\Delta HAC\] có:
\[\angle BAC = \angle AHC\,\,\left[ { = {{90}^ \circ }} \right]\]
\[\angle C\] chung
\[ \Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta HAC\] [góc-góc]
b] Chứng minh \[H{A^2} = HB.HC\].
\[\Delta ABH\] vuông tại \[H\]\[ \Rightarrow \angle BAH + \angle HBA = {90^0}\] [tổng ba góc trong tam giác]
\[\Delta ABC\] vuông tại \[A\]\[ \Rightarrow \angle BAH + \angle CAH = {90^0}\] [tổng ba góc trong tam giác]
\[ \Rightarrow \angle HBA = \angle CAH\] [vì cùng phụ với \[\angle BAH\]]
Xét \[\Delta BAH\] và \[\Delta ACH\] có:
\[\angle AHB = \angle CHA\,\,\left[ { = {{90}^0}} \right]\]
\[\angle BAH = \angle ACH\] [chứng minh trên]
\[ \Rightarrow \Delta BAH \sim \Delta ACH\] [góc-góc]
\[ \Rightarrow \frac{{BH}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{CH}}\][tỷ số cặp cạnh tương ứng]
\[ \Rightarrow A{H^2} = BH.CH\][đpcm]
c] Gọi \[D,\,\,E\] lần lượt là trung điểm của \[AB,\,\,BC\]. Chứng minh \[CH.CB = 4D{E^2}\].
Theo câu a] ta có: \[\Delta ABC \sim \Delta HAC\]
\[ \Rightarrow \frac{{BC}}{{AC}} = \frac{{AC}}{{HC}}\] [tỷ số cặp cạnh tương ứng]
\[ \Rightarrow A{C^2} = HC.BC\] \[\left[ 1 \right]\]
Xét \[\Delta ABC\] ta có:
\[D\] là trung điểm của \[AB\] [giả thiết]
\[E\] là trung điểm của \[BC\] [giả thiết]
\[ \Rightarrow DE\] là đường trung bình của \[\Delta ABC\] [định nghĩa đường trung bình trong tam giác]
\[ \Rightarrow DE = \frac{1}{2}AC\] [tính chất]
\[ \Leftrightarrow AC = 2DE\] \[\left[ 2 \right]\]
Từ \[\left[ 1 \right]\]và \[\left[ 2 \right]\] suy ra: \[{\left[ {2DE} \right]^2} = HC.BC\]
\[ \Leftrightarrow 4D{E^2} = HC.BC\] hay \[CH.CB = 4D{E^2}\][đpcm].
d] Gọi \[M\] là giao điểm của đường thẳng vuông góc với \[BC\] tại \[B\] và đường thẳng \[DE\]. Gọi \[N\] là giao điểm của \[AH\] và \[CM\]. Chứng minh \[N\] là trung điểm của \[AH\].
Gọi \[P\] là giao điểm của \[MB\] và \[AC\].
Vì \[DE\] là đường trung bình của \[\Delta ABC\] nên \[DE\,{\rm{//}}\,AC\] [tính chất đường trung bình]\[ \Rightarrow ME\,{\rm{//}}\,AC\].
Xét \[\Delta BPC\] có :\[ME\,{\rm{//}}\,AC\] và \[E\] là trung điểm của \[BC\].
\[ \Rightarrow \] \[M\] là trung điểm của \[BP\] [định lí đường trung bình trong tam giác]
\[ \Rightarrow BM = PM\]
Ta có:
\[AH \bot BC\] tại \[H\]
\[PB \bot BC\] tại \[B\]
\[ \Rightarrow AH\,{\rm{//}}\,{\rm{BP}}\] [quan hệ từ vuông góc đến song song]
\[ \Rightarrow HN\,{\rm{//}}\,BM,\,AN\,{\rm{//}}\,PM\] [vì \[N \in AH,\,\,M \in BP\]]
Xét \[\Delta BCM\] có \[HN\,{\rm{//}}\,BM\], áp dụng hệ quả của định lý Ta-let ta có: \[\frac{{CN}}{{CM}} = \frac{{HN}}{{BM}}\]
Xét \[\Delta PCM\] có \[AN\,{\rm{//}}\,PM\], áp dụng hệ quả của định lý Ta-let ta có: \[\frac{{AN}}{{PM}} = \frac{{CN}}{{CM}}\]
\[ \Rightarrow \frac{{HN}}{{BM}} = \frac{{AN}}{{PM}}\]\[\left[ { = \frac{{CN}}{{CM}}} \right]\]
Mà \[PM = BM\] [vì \[M\] là trung điểm của \[BP\]]
\[ \Rightarrow HN = AN\]
\[ \Rightarrow \] \[N\] là trung điểm của \[AH\].
Câu 5 [VDC]
Phương pháp:
Chứng minh hiệu \[\left[ {\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}} \right] - \left[ {\frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c}} \right] \ge 0\] bằng cách quy mẫu thức nhiều phân thức.
Cách giải:
Ta có:
\[\begin{array}{l}\left[ {\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}} \right] - \left[ {\frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c}} \right]\\ = \left[ {\frac{a}{b} - \frac{b}{a}} \right] + \left[ {\frac{b}{c} - \frac{c}{b}} \right] + \left[ {\frac{c}{a} - \frac{a}{c}} \right]\\ = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{ab}} + \frac{{{b^2} - {c^2}}}{{bc}} + \frac{{{c^2} - {a^2}}}{{ac}}\\ = \frac{{\left[ {{a^2} - {b^2}} \right]c + \left[ {{b^2} - {c^2}} \right]a + b\left[ {{c^2} - {a^2}} \right]}}{{abc}}\\ = \frac{{{a^2}c - {b^2}c + {b^2}a - {c^2}a + b{c^2} - b{a^2}}}{{abc}}\\ = \frac{{\left[ {{a^2}c - {c^2}a} \right] + \left[ { - {b^2}c + {b^2}a} \right] + \left[ {b{c^2} - b{a^2}} \right]}}{{abc}}\\ = \frac{{ac\left[ {a - c} \right] + {b^2}\left[ {a - c} \right] + b\left[ {c - a} \right]\left[ {c + a} \right]}}{{abc}}\\ = \frac{{ac\left[ {a - c} \right] + {b^2}\left[ {a - c} \right] - b\left[ {a - c} \right]\left[ {a + c} \right]}}{{abc}}\\ = \frac{{\left[ {a - c} \right]\left[ {ac + {b^2} - b\left[ {a + c} \right]} \right]}}{{abc}}\\ = \frac{{\left[ {a - c} \right]\left[ {ac + {b^2} - ba - bc} \right]}}{{abc}}\\ = \frac{{\left[ {a - c} \right]\left[ {\left[ {ac - bc} \right] + \left[ {{b^2} - ba} \right]} \right]}}{{abc}}\\ = \frac{{\left[ {a - c} \right]\left[ {c\left[ {a - b} \right] - b\left[ {a - b} \right]} \right]}}{{abc}}\\ = \frac{{\left[ {a - c} \right]\left[ {c - b} \right]\left[ {a - b} \right]}}{{abc}}\end{array}\]
\[ \Rightarrow \left[ {\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}} \right] - \left[ {\frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c}} \right] = \frac{{\left[ {a - c} \right]\left[ {c - b} \right]\left[ {a - b} \right]}}{{abc}}\]
Vì \[0 < a \le b \le c\] suy ra
\[\left. \begin{array}{l}\left[ {a - c} \right] \le 0\\\left[ {a - b} \right] \le 0\\\left[ {c - b} \right] \ge 0\end{array} \right\}\] \[ \Rightarrow \left[ {a - c} \right]\left[ {a - b} \right]\left[ {c - b} \right] \ge 0\]
Lại có: \[abc > 0\]
\[ \Rightarrow \frac{{\left[ {a - c} \right]\left[ {c - b} \right]\left[ {a - b} \right]}}{{abc}} \ge 0\]
Mà \[\left[ {\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}} \right] - \left[ {\frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c}} \right] = \frac{{\left[ {a - c} \right]\left[ {c - b} \right]\left[ {a - b} \right]}}{{abc}}\] [chứng minh trên]
\[ \Rightarrow \left[ {\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}} \right] - \left[ {\frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c}} \right] \ge 0\]
\[ \Rightarrow \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \ge \frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c}\] [đpcm]