Dạng toán tìm số giá trị nguyên của m để hàm số đơn điệu trên khoảng cho trước là một bài toán ít gặp trong chương trình toán lớp 12, tuy nhiên bài toán thường gây nhiều bỡ ngỡ cho gặp lần đầu. Và khi đề thi chuyển dần sang trắc nghiệm, dạng toán này lại được khai thác rất nhiều. Để giải bài toán này chúng ta cũng thực hiện biện luận m theo điều kiện của bài toán, riêng đến phần kết luận thực hiện phép đếm các phần tử.
Tóm tắt kiến thức về tính đồng biến, nghịch biến
1. Định nghĩa đồng biến, nghịch biến
Cho hàm số y = f[x] xác định trên K , trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nữa khoảng.
a] Hàm số y = f[x] đồng biến trên K nếu mọi x₁, x₂ ∊ K, x₁ < x₂ ⇒ f[x₁] < f[x₂].
b] Hàm số y = f[x] nghịch biến trên K nếu mọi x₁, x₂ ∊ K, x₁ < x₂ ⇒ f[x₁] > f[x₂].
2. Định lí
Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm trên K .
a] Nếu f’[x] > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f[x] đồng biến trên K .
b] Nếu f’[x] < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f[x] nghịch biến trên K .
c] Nếu f’[x] = 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f[x] không đổi trên K .
Chú ý: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f’[x] > 0 trên khoảng [a;b] thì hàm số f đồng biến trên đoạn [a;b]. Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f’[x] < 0 trên khoảng [a;b] thì hàm số f nghịch biến trên đoạn [a;b].
3. Định lí mở rộng
Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm trên K.
a] Nếu f’[x] ≥ 0 với mọi x thuộc K và f’[x] = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số f[x] đồng biến trên K.
b] Nếu f’[x] ≤ 0 với mọi x thuộc K và f’[x] = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số f[x] nghịch biến trên K.
4. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số
Bước 1: Tìm tập xác định.
Bước 2: Tính đạo hàm f’[x]. Tìm các điểm xᵢ [i = 1, 2, …,n] mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 3: Sắp xếp các điểm xᵢ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Các ví dụ mẫu và cách giải
Gặp dạng toán này chúng ta giải tương tự như các bài toán tìm m để hàm số đồng biến nghịch biến trên khoảng. Tuy nhiên sau khi có kết quả chúng ta cần phải đếm số giá trị nguyên của m. Do đó các bước giải bài tập cần phải trình bày thật chính xác.
Ví dụ 1. Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y = [m2 – 1] x3 + [m – 1] x2 – x + 4 nghịch biến trên khoảng [-∞; +∞].
A. 0
B. 3
C. 2
D. 1
Lời giải
Chọn C
TH1: m = 1.
Ta có: y = -x + 4 là phương trình của một đường thẳng có hệ số góc âm nên hàm số luôn nghịch biến trên ℝ. Do đó nhận m = 1.
TH2: m = -1.
Ta có: y = -2x2 – x + 4 là phương trình của một đường Parabol nên hàm số không thể nghịch biến trên ℝ. Do đó loại m = -1.
TH3: m ≠ ±1.
Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng [-∞; +∞] ⇔ y’ ≤ 0, ∀ x ∊ ℝ. Dấu “=” chỉ xảy ra ở hữu hạn điểm trên ℝ.
⇔ 3[m2 – 1] x2 + 2[m – 1] x – 1 ≤ 0, ∀ x ∊ ℝ
Vì m ∊ ℤ nên m = 0
Vậy có 2 giá trị m nguyên cần tìm là m = 0 hoặc m = 1.
Ví dụ 2. Cho hàm số y = -x3 – mx2 + [4m + 9] x + 5 , với m là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng [-∞; +∞]
A. 5
B. 4
C. 6
D. 7
Lời giải
Chọn D
Ta có:
TXĐ: D = ℝ
y’ = -3x2 – 2mx + 4m + 9
Hàm số nghịch biến trên [-∞; +∞] khi y’ ≤ 0, ∀ x ∊ [-∞; +∞]
⇔ m ∊ [-9; -3]
Vậy có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn.
Ví dụ 3. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá tr nguyên của tham số m để hàm số hàm số y = ⅓[m2 – m] x3 + 2mx2 + 3x – 2 đồng biến trên khoảng [-∞; +∞]?
A. 4
B. 5
C. 3
D. 0
Lời giải
Chọn A
y’ = [m2 – m] x2 + 4mx + 3
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng [-∞; +∞] ⇔ y’ ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ
+] Với m = 0
Ta có y’ = 3 > 0, ∀ x ∊ ℝ ⇒ Hàm số đồng biến trên khoảng [-∞; +∞]
+] Với m = 1
Ta có y’ = 4x + 3 > 0 ⇔ x > -¾ ⇒ m = 1 không thỏa mãn.
+ Với
Ta có y’ ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ ⇔ -3 ≤ m < 0
Tổng hợp các trường hợp ta được -3 ≤ m ≤ 0
Vì m ∊ ℤ nên m ∊ {-3; -2: -1; 0}
Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài ra.
Ví dụ 4. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số trên y = ⅓mx3 – 2mx2 + [3m + 5] x đồng biến trên ℝ.
A. 4
B. 2
C. 5
D. 6
Lời giải
Chọn D
Ta có y’ = mx2 – 4mx + 3m + 5
Với a = 0 ⇔ m = 0 ⇒ y’ = 5 > 0.
Vậy hàm số đồng biến trên ℝ.
Với a ≠ 0 ⇔ m ≠ 0.
Hàm số đã cho đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi y’ ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ
Vì m ∊ ℤ nên m ∊ {0; 1; 2; 3; 4; 5}
Ví dụ 5. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y = ⅓x3 + mx2 + 4x – m đồng biến trên khoảng [-∞; +∞].
A. [-2; 2]
B. [-∞; 2]
C. [-∞; -2]
D. [2; +∞]
Lời giải
Chọn A
Ta có: y’ = x2 + 2mx + 4
Hàm số đồng biến trên khoảng [-∞; +∞] khi và chỉ khi y’ ≥ 0, ∀ x ∊ [-∞; +∞].
⇔ ∆ = m2 – 4 ≤ 0 ⇔ -2 ≤ m ≤ 2.
BÀI HỌC LIÊN QUAN– Tính đơn điệu của hàm số
– Hàm số đồng biến nghịch biến
– Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng
– Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R
– Tìm m để hàm số đồng biến nghịch biến trên đoạn có độ dài
Thầy Dũng dạy toán học từ năm 2010 sau khi nhận bằng sư phạm môn toán tại trường Đại Học Sư Phạm Đà Nẵng. Triết lý dạy học của thầy luôn coi trọng chất lượng hơn số lượng bởi ở một góc độ nào đó, chúng ta sử dụng toán học hằng ngày trong cuộc sống và cần phải hiểu rõ về bản chất của nó thay vì học sơ sài. Thầy cảm giác rất may mắn khi được làm biên tập viên cho môn toán tại VerbaLearn, nơi mà những bài dạy của thầy có thể tiếp cận nhiều học sinh hơn.
Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R Toán 12
- I. Phương pháp giải bài toán tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên
- II. Ví dụ minh họa tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên
- II. Bài tập tự luyện
Để giúp các bạn học sinh lớp 12 học tập tốt hơn môn Toán, VnDoc xin mời các bạn tham khảo tài liệu Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R. Bộ tài liệu hướng dẫn chi tiết cách tìm điều kiện của tham số m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R và bài tập rèn luyện ... được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và đề thi THPT Quốc gia. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp các bạn ôn thi THPT Quốc gia môn Toán trắc nghiệm hiệu quả.
- 300 câu hỏi trắc nghiệm môn Toán lớp 12 [Có đáp án]
- Bài tập trắc nghiệm cực trị của hàm số và điểm uốn [Có đáp án]
- Bài tập trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm số
- Câu hỏi trắc nghiệm môn Toán lớp 12: Cực trị của hàm số
Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 12, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 12 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 12. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.
Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R
Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.
I. Phương pháp giải bài toán tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên
- Định lí: Cho hàm số
+ Hàm số đồng biến trên khoảng
+ Hàm số nghịch biến trên khoảng khi và chỉ khi
- Để giải bài toán này trước tiên chúng ta cần biết rằng điều kiện để hàm số y=f[x] đồng biến trên R thì điều kiện trước tiên hàm số phải xác định trên .
+ Giả sử hàm số y=f[x] xác định và liên tục và có đạo hàm trên . Khi đó hàm số y=f[x] đơn điệu trên khi và chỉ khi thỏa mãn hai điều kiện sau:
- Hàm số y=f[x] xác định trên .
- Hàm số y=f[x] có đạo hàm không đổi dấu trên .
+ Đối với hàm số đa thức bậc nhất:
- Hàm số y = ax + b đồng biến trên khi và chỉ khi a > 0.
- Hàm số y = ax + b nghịch biến trên khi và chỉ khi a < 0.
- Đây là dạng bài toán thường gặp đối với hàm số đa thức bậc 3. Nên ta sẽ áp dụng như sau:
Xét hàm số TH1: TH2: + Hàm số đồng biến trên + Hàm số nghịch biến trên |
Chú ý: Hàm số đa thức bậc chẵn không thể đơn điệu trên R được.
- Các bước tìm điều kiện của m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên
Bước 1. Tìm tập xác định .
Bước 2. Tính đạo hàm y’ = f’[x].
Bước 3. Biện luận giá trị m theo bảng quy tắc.
Bước 4. Kết luận giá trị m thỏa mãn.
II. Ví dụ minh họa tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên
Ví dụ 1: Cho hàm số
Hướng dẫn giải
Ta có:
Hàm số nghịch biến trên
Đáp án B
Ví dụ 2: Cho hàm số
Hướng dẫn giải
Ta có:
TH1:
TH2:
Đáp án D
Ví dụ 3: Tìm m để hàm số
Hướng dẫn giải
Để hàm số đồng biến trên thì:
Đáp án A
Ví dụ 4: Cho hàm số
Hướng dẫn giải
Tập xác định:
Tính đạo hàm:
TH1: Với m = 1 ta có
Vậy m = 1 không thỏa mãn điều kiện đề bài.
TH2: Với ta có:
Hàm số luôn nghịch biến
Ví dụ 5: Tìm m để hàm số
Hướng dẫn giải
Tập xác định:
Đạo hàm:
TH1: Với m = -3
Vậy m = -3 hàm số nghịch biến trên
TH2: Với
Hàm số nghịch biến trên khi
II. Bài tập tự luyện
Câu 1: Hàm số nào đồng biến trên ?
Câu 2: Cho hàm số
Câu 3: Cho các hàm số sau:
Hàm số nào nghịch biến trên ?
Câu 4: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số
Câu 5: Tìm tất cả các giá trị m để hàm số
Câu 6: Cho hàm số
Câu 7: Cho hàm số y = f[x] = x3 - 6x2 + 9x - 1. Phương trình f[x] = -13 có bao nhiêu nghiệm?
| A. 0 | B. 3 |
| C. 2 | D. 1 |
Câu 8: Xác định giá trị của m để hàm số y =
| A. m < -1 | B. m > 2 |
| C. -1 ≤ m ≤ 2 | D.-1 < m < 2 |
Câu 9: Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho hàm số y =
| A. -3 ≤ m ≤ 1 | B. m≤ 2 |
| C. m ≤ -3; m≥ 1 | D. -3 < m < 1 |
Câu 10: Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng y = x3 - 3mx2 đồng biến trên
| A. m≥ 0 | B. m ≤ 0 |
| C. m < 0 | D. m =0 |
Câu 11:Cho hàm số: y =
| A. m > 4 | B.-2 ≤ m ≤ -1 |
| C. m < 2 | D. m < 4 |
Câu 12: Cho hàm số: y = x3 + 2x2 - mx + 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó.
| A. m≥ 4 | B. m ≤ 4 |
| C. m > 4 | D. m < 4 |
Câu 13: Tìm tham số m để hàm số
| A. m ≥ -1 | B. m ≤ -1 |
| C. m≤ 1 | D. m≥ 2 |
Câu 14: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số:
a. y = [m + 2].
b. y = [m - 1]x3 - 3[m - 1]x2 + 3[2m - 3]x + m nghịch biến trên .
--------------------------------------------------------------------
Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải bài tập Toán lớp 12, Thi THPT Quốc gia môn Toán, Thi THPT Quốc gia môn Văn, Thi THPT Quốc gia môn Lịch sử mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.
Mời bạn đọc tham khảo thêm một số tài liệu liên quan:
- 45 câu hỏi trắc nghiệm có đáp án môn Toán lớp 12: Tính đơn điệu của hàm số
- Câu hỏi trắc nghiệm môn Toán lớp 12: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
- 100 bài tập trắc nghiệm chuyên đề hàm số có đáp án
- Trắc nghiệm Toán 12 chương 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số