Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x 2 x + 1

Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây

Dưới đây là một vài câu hỏi có thể liên quan tới câu hỏi mà bạn gửi lên. Có thể trong đó có câu trả lời mà bạn cần!

CHUYÊN ĐỀ TOÁN 8TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨCA. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức:1] Khái niệm:Nếu với mọi giá trị của biến thuộc một khoảng xác định nào đó mà giá trị của biểuthức A luôn luôn lớn hơn hoặc bằng [nhỏ hơn hoặc bằng] một hằng số k và tồn tại một giátrị của biến để A có giá trị bằng k thì k gọi là giá trị nhỏ nhất [giá trị lớn nhất] của biểu thứcA ứng với các giá trị của biến thuộc khoảng xác định nói trên2] Phương pháp:a] Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta cần:+ Chứng minh A ≥ k với k là hằng số+ Chỉ ra dấu “=” có thể xẩy ra với giá trị nào đó của biếnb] Để tìm giá trị lớn nhất của A, ta cần:+ Chứng minh A ≤ k với k là hằng số+ Chỉ ra dấu “=” có thể xẩy ra với giá trị nào đó của biếnKí hiệu : min A là giá trị nhỏ nhất của A; max A là giá trị lớn nhất của AB. Các bài tập tìmGiá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thứcI] Dạng 1: Tam thức bậc haiVí dụ 1 :a] Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2x2 – 8x + 1b] Tìm giá trị lớn nhất của B = -5x2 – 4x + 1Giải:a] A = 2[x2 – 4x + 4] – 7 = 2[x – 2]2 – 7 ≥ - 7min A = - 7 ⇔ x = 2b] B = - 5[x2 +max B =4249929x] + 1 = - 5[x2 + 2.x. + ] + = - 5[x + ]2 ≤5525555592⇔ x= −55b] Ví dụ 2: Cho tam thức bậc hai P[x] = a x2 + bx + ca] Tìm min P nếu a > 0b] Tìm max P nếu a < 0Giải:bb 2b2Ta có: P = a[x + x] + c = a[x +] + [c ]a2a4a2b 2b2Đặt c = k. Do [x +] ≥ 0 nên:2a4aa] Nếu a > 0 thì a[x +b 2b] ≥ 0 do đó P ≥ k ⇒ min P = k ⇔ x = 2a2ab] Nếu a < 0 thì a[x +b 2b] ≤ 0 do đó P ≤ k ⇒ max P = k ⇔ x = 2a2aII. Dạng 2: Đa thức có dấu giá trị tuyệt đối1] Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất củaa] A = [3x – 1]2 – 4 3x - 1 + 5đặt 3x - 1 = y thì A = y2 – 4y + 5 = [y – 2]2 + 1 ≥ 1x = 13x - 1 = 2⇔min A = 1 ⇔ y = 2 ⇔ 3x - 1 = 2 ⇔ x = - 13x1=23b] B = x - 2 + x - 3B = x-2 + x-3 = B = x-2 + 3-x ≥ x-2 +3-x = 1⇒ min B = 1 ⇔ [x – 2][3 – x] ≥ 0 ⇔ 2 ≤ x ≤ 3222] Ví dụ 2: Tìm GTNN của C = x - x + 1 + x - x - 2222222Ta có C = x - x + 1 + x - x - 2 = x - x + 1 + 2 + x - x ≥ x - x + 1 + 2 + x - x = 3min C = 3 ⇔ [x2 – x + 1][2 + x – x2] ≥ 0 ⇔ 2 + x – x2 ≥ 0 ⇔ x2 – x – 2 ≤ 0⇔ [x + 1][x – 2] ≤ 0 ⇔ - 1 ≤ x ≤ 23] Ví dụ 3:Tìm giá trị nhỏ nhất của : T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4|Ta có |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x| ≥ |x-1+4-x| = 3 [1]Vàx − 2 + x − 3 = x − 2 + 3 − x ≥ x − 2 + 3 − x = 1 [2]Vậy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| ≥ 1 + 3 = 4Ta có từ [1] ⇒ Dấu bằng xảy ra khi 1 ≤ x ≤ 4[2] ⇒ Dấu bằng xảy ra khi 2 ≤ x ≤ 3Vậy T có giá trị nhỏ nhất là 4 khi 2 ≤ x ≤ 3III. Dạng 3: Đa thức bậc cao1] Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất củaa] A = x[x – 3][x – 4][x – 7] = [x2 – 7x][ x2 – 7x + 12]Đặt x2 – 7x + 6 thì A = [y – 6][y + 6] = y2 – 36 ≥ - 36Min A = - 36 ⇔ y = 0 ⇔ x2 – 7x + 6 = 0 ⇔ [x – 1][x – 6] = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 6b] B = 2x2 + y2 – 2xy – 2x + 3 = [x2 – 2xy + y2] + [x2 – 2x + 1] + 2x - y = 0⇔x=y=1x - 1 = 0= [x – y]2 + [x – 1]2 + 2 ≥ 2 ⇔ c] C = x2 + xy + y2 – 3x – 3y = x2 – 2x + y2 – 2y + xy – x – yTa có C + 3 = [x2 – 2x + 1] + [y2 – 2y + 1] + [xy – x – y + 1]= [x – 1]2 + [y – 1]2 + [x – 1][y – 1]. Đặt x – 1 = a; y – 1 = b thìC + 3 = a2 + b2 + ab = [a2 + 2.a.bbb23b 23b 2≥ 0+ ]+= [a + ]2 +22444Min [C + 3] = 0 hay min C = - 3 ⇔ a = b = 0 ⇔ x = y = 12] Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất củaa] C = [x + 8]4 + [x + 6]4Đặt x + 7 = y ⇒ C = [y + 1]4 + [y – 1]4 = y4 + 4y3 + 6y2 + 4y + 1 + y4 - 4y3 + 6y2 - 4y + 1= 2y4 + 12y2 + 2 ≥ 2 ⇒ min A = 2 ⇔ y = 0 ⇔ x = - 7b] D = x4 – 6x3 + 10x2 – 6x + 9 = [x4 – 6x3 + 9x2 ] + [x2 – 6x + 9]= [x2 – 3x]2 + [x – 3]2 ≥ 0 ⇒ min D = 0 ⇔ x = 3IV. Dạng phân thức:1. Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai:Biểu thức dạng này đạt GTNN khi mẫu đạt GTLNVí dụ : Tìm GTNN của A =-2−22=22 =9x - 6x + 5 [3x - 1] 2 + 46x - 5 - 9x11−2−21Vì [3x – 1]2 ≥ 0 ⇒ [3x – 1]2 + 4 ≥ 4 ⇒ [3x - 1]2 + 4 ≤ 4 ⇒ [3x - 1]2 + 4 ≥ 4 ⇒ A ≥ 212min A = - ⇔ 3x – 1 = 0 ⇔ x =132. Phân thức có mẫu là bình phương của một nhị thức:a] Ví dụ 1: Tìm GTNN của A =3x 2 - 8x + 6x 2 - 2x + 1+] Cách 1: Tách tử thành các nhóm có nhân tử chung với mẫu3x 2 - 8x + 6 3[x 2 - 2x + 1] - 2[x - 1] + 1211== 3−+A= 2Thì22 . Đặt y =x-1x - 2x + 1[x - 1]x - 1 [x - 1]A = 3 – 2y + y2 = [y – 1]2 + 2 ≥ 2 ⇒ min A = 2 ⇔ y = 1 ⇔1=1 ⇔ x=2x-1+] Cách 2: Viết biểu thức A thành tổng của một số với một phân thức không âmA=3x 2 - 8x + 62[x 2 - 2x + 1] + [x 2 - 4x + 4][x - 2]2==2+≥2x 2 - 2x + 1[x - 1] 2[x - 1] 2⇒ min A = 2 ⇔ x – 2 = 0 ⇔ x = 2b] Ví dụ 2: Tìm GTLN của B =xxx + 20x + 1002x11⇒ x = − 10 thìTa có B = x 2 + 20x + 100 = [x + 10] 2 . Đặt y =yx + 1021111111222≤B = [ y − 10 ].y = - 10y + y = - 10[y – 2.y. y +]+= - 10  y - ÷ +204004040 4010 Max B =111⇔ y= 0 ⇔ y = ⇔ x = 10401010x 2 + y2c] Ví dụ 3: Tìm GTNN của C = 2x + 2xy + y 21 [x + y] 2 + [x - y] 2 22x+y1 1 [x - y] 2 1 ⇒ min A = 1 ⇔ x = yTa có: C =2== + .≥2x 2 + 2xy + y 2[x + y] 22 2 [x + y] 2 23. Các phân thức có dạng khác:a]Ví dụ : Tìm GTNN, GTLN [Cực trị] của A =Ta có: A =3 - 4xx2 +13 - 4x [4x 2 − 4x + 4] − [x 2 + 1] [x - 2] 2== 2− 1 ≥ −1 ⇒ min A = - 1 ⇔ x = 2x2 +1x2 +1x +113 - 4x [4x 2 + 4] − [4x 2 + 4x + 1][2x + 1] 2⇒⇔−=4−≤4Ta lại có: A = 2 =maxA=4x=2x +1x2 +1x2 +1C. Tìm GTNN, GTLN của một biểu thức biết quan hệ giữa các biến:1] Ví dụ 1: Cho x + y = 1. Tìm GTNN của A = x3 + y3 + xyTa có A = [x + y][x2 – xy + y2] + xy = x2 + y2 [vì x + y = 1]a] Cách 1: Biểu thị ẩn này qua ẩn kia, rồi đưa về một tam thức bậc haiTừ x + y = 1 ⇒ x = 1 – y211111 1nên A = [1 – y] + y = 2[y – y] + 1 = 2[y – 2.y. + ] + = 2  y - ÷ + ≥24222 22Vậy min A =22211⇔ x= y=22b] Cách 2: Sử dụng đk đã cho, làm xuất hiện một biểu thức mới có chứa ATừ x + y = 1 ⇒ x2 + 2xy + y2 = 1[1]. Mặt khác [x – y]2 ≥ 0 ⇒ x2 – 2xy + y2 ≥ 0 [2]Cộng [1] với [2] vế theo vế, ta có:2[x2 + y2] ≥ 1 ⇒ x2 + y2 ≥111⇒ min A = ⇔ x = y =2222]Ví dụ 2: Cho x + y + z = 3a] Tìm GTNN của A = x2 + y2 + z2b] Tìm GTLN của B = xy + yz + xzTừ Cho x + y + z = 3 ⇒ Cho [x + y + z]2 = 9 ⇔ x2 + y2 + z2 + 2[xy + yz + xz] = 9 [1]Ta có x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz – zx =1.2 .[ x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz – zx]21222= [ x − y ] + [ x −z ] + [ y − z ]  ≥ 0 ⇒ x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy+ yz + zx [2]2Đẳng thức xẩy ra khi x = y = za] Từ [1] và [2] suy ra9 = x2 + y2 + z2 + 2[xy + yz + xz] ≤ x2 + y2 + z2 + 2[x2 + y2 + z2] = 3[x2 + y2 + z2]⇒ x2 + y2 + z2 ≥ 3 ⇒ min A = 3 ⇔ x = y = z = 1b] Từ [1] và [2] suy ra9 = x2 + y2 + z2 + 2[xy + yz + xz] ≥ xy+ yz + zx + 2[xy + yz + xz] = 3[xy+ yz + zx]⇒ xy+ yz + zx ≤ 3 ⇒ max B = 3 ⇔ x = y = z = 13] Ví dụ 3:Tìm giá trị lớn nhất của S = xyz.[x+y].[y+z].[z+x] với x,y,z > 0 và x + y + z = 113Vì x,y,z > 0 ,áp dụng BĐT Côsi ta có: x+ y + z ≥ 3 3 xyz ⇒ 3 xyz ≤ ⇒ xyz ≤áp dụng bất đẳng thức Côsi cho x+y ; y+z ; x+z ta có[ x + y ] .[ y + z ] .[ z + x ] ≥ 3 3 [ x + y ] .[ y + z ] . [ x + z ]13⇒ 2 ≥ 3 3 [ x + y ] .[ y + z ] .[ z + x ]Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = ⇒ S ≤Vậy S có giá trị lớn nhất là8 18. =27 27 72981khi x = y = z =72934] Ví dụ 4: Cho xy + yz + zx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất củaÁp dụng BĐT Bunhiacốpski cho 6 số [x,y,z] ;[x,y,z]Ta có [ xy + yz + zx ] ≤ [ x 2 + y 2 + z 2 ] ⇒ 1 ≤ [ x 2 + y 2 + z 2 ]222[1]x4 + y4 + z 4127áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho [ x 2 , y 2 , z 2 ] và [1,1,1]Ta có[ x 2 + y 2 + z 2 ] 2 ≤ [12 + 12 + 12 ][ x 4 + y 4 + z 4 ] ⇒ [ x 2 + y 2 + z 2 ] 2 ≤ 3[ x 4 + y 4 + z 4 ]Từ [1] và [2] ⇒ 1 ≤ 3[ x 4 + y 4 + z 4 ] ⇒ x 4 + y 4 + z 4 ≤Vậy x 4 + y 4 + z 4 có giá trị nhỏ nhất là1313khi x= y = z = ±33D. Một số chú ý:1] Khi tìm GTNN, GTLN ta có thể đổi biếnVí dụ : Khi tìm GTNN của A =[x – 1]2 + [x – 3]2 , ta đặt x – 2 = y thìA = [y + 1]2 + [y – 1]2 = 2y2 + 2 ≥ 2…2] Khi tìm cực trị của một biểu thức, ta có thể thay đk của biểu thức này đạt cực trị bởi đktương đương là biểu thức khác đạt cực trị:+] -A lớn nhất ⇔ A nhỏ nhất ;+]1lớn nhất ⇔ B nhỏ nhất [với B > 0]B+] C lớn nhất ⇔ C2 lớn nhấtVí dụ: Tìm cực trị của A =x4 + 1[x2+ 1]a] Ta có A > 0 nên A nhỏ nhất khi21lớn nhất, ta cóA211 [ x + 1]2x 2= 4= 1+ 4≥ 1 ⇒ min A = 1 ⇔ x = 0 ⇒ max A = 1 ⇔ x = 0Ax +1x +12b] Ta có [x2 – 1]2 ≥ 0 ⇔ x4 - 2x2 + 1 ≥ 0 ⇒ x4 + 1 ≥ 2x2. [Dấu bằng xẩy ra khi x2 = 1]12x 22x 2≤ 1 ⇒ 1+ 4≤ 1 + 1 = 2 ⇒ maxVì x4 + 1 > 0 ⇒ 4= 2 ⇔ x2 = 1x +1⇒ min A =1⇔ x = ±12x +1A3] Nhiều khi ta tìm cực trị của biểu thức trong các khoảng của biến, sau đó so sámh cáccực trị đó để để tìm GTNN, GTLN trong toàn bộ tập xác định của biếnyVí dụ: Tìm GTLN của B = 5 - [x + y]a] xét x + y ≤ 4- Nếu x = 0 thì A = 0- Nếu 1 ≤ y ≤ 3 thì A ≤ 3- Nếu y = 4 thì x = 0 và A = 4b] xét x + y ≥ 6 thì A ≤ 0So sánh các giá trị trên của A, ta thấy max A = 4 ⇔ x = 0; y = 44] Sử dụng các hằng bất đẳng thức:Ví dụ: Tìm GTLN của A = 2x + 3y biết x2 + y2 = 52Aùp dụng Bđt Bunhiacốpxki: [a x + by]2 ≤ [a2 + b2][x2 + y2] cho các số 2, x , 3, y ta có:[2x + 3y]2 ≤ [22 + 32][x2 + y2] = [4 + 9].52 = 262 ⇒ 2x + 3y ≤ 262Max A = 26 ⇔xy3x3x⇒ x2 + y2 = x2 +  ÷ = 52 ⇔ 13x2 = 52.4 ⇔ x = ± 4= ⇒y =232 2 Vậy: Ma x A = 26 ⇔ x = 4; y = 6 hoặc x = - 4; y = - 65] Hai số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi chúng bằng nhauHai số có tích không đổi thì tổng của chúng lớn nhất khi và chỉ khi chúng bằng nhaua]Ví dụ 1: Tìm GTLN của A = [x2 – 3x + 1][21 + 3x – x2]Vì [x2 – 3x + 1] + [21 + 3x – x2] = 22 không đổi nên tích [x2 – 3x + 1][21 + 3x – x2] lớnnhất khi và chỉ khi x2 – 3x + 1 = 21 + 3x – x2 ⇔ x2 – 3x – 10 = 0 ⇔ x = 5 hoặc x = - 2Khi đó A = 11. 11 = 121 ⇒ Max A = 121 ⇔ x = 5 hoặc x = - 2b] Ví dụ 2: Tìm GTNN của B =Ta có: B =[x + 4][x + 9] x 2 + 13x + 3636==x++ 13xxxVì các số x và⇒ A= x+[x + 4][x + 9]x36363636⇔ x=6có tích x. = 36 không đổi nên x +nhỏ nhất ⇔ x =xxxx36+ 13 nhỏ nhất là min A = 25 ⇔ x = 6x6]Trong khi tìm cực trị chỉ cần chỉ ra rằng tồn tại một giá trị của biến để xẩy ra đẳng thứcchứ không cần chỉ ra mọi giá trị để xẩy ra đẳng thứcmnVí dụ: Tìm GTNN của A = 11 − 5Ta thấy 11m tận cùng bằng 1, 5n tận cùng bằng 5Nếu 11m> 5n thì A tận cùng bằng 6, nếu 11m< 5n thì A tận cùng bằng 4khi m = 2; n = 3 thÌ A = 121 − 124 = 4 ⇒ min A = 4, chẳng hạn khi m = 2, n = 3