Bài 1 trang 18 sách sgk giải tích 12
Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau :
- \[y{\rm{ }} = {\rm{ }}2{x^{3}} + {\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}36x{\rm{ }}-{\rm{ }}10\] ;
- \[y{\rm{ }} = {\rm{ }}x{^4} + {\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}3\] ;
- \[y = x + {1 \over x}\]
- \[y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}{\left[ {1{\rm{ }}-{\rm{ }}x} \right]^{2}}\];
- \[y = \sqrt {{x^2} - x + 1}\]
Giải:
- Tập xác định: \[D = \mathbb R\]
\[\eqalign{ & y' = 6{{\rm{x}}^2} + 6{\rm{x}} - 36;y' = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 2\left[ {y = - 54} \right] \hfill \cr x = - 3\left[ {y = 71} \right] \hfill \cr} \right. \cr} \]
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực trị tại \[x = -3\] và \[y\]CĐ \[= 71\]
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x = 2\] và \[y\]CT \[= -54\]
- Tập xác định: \[D =\mathbb R\]
\[y' = 4{{\rm{x}}^3} + 4{\rm{x}} = 4{\rm{x}}\left[ {{x^2} + 1} \right]\];
\[y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\left[ {y = - 3} \right]\]
Bảng biến thiên:
Hàm số có điểm cực tiểu tại \[x = 0\] và \[y\]CT \[= -3\]
- Tập xác định: \[D = \mathbb R\]\ { 0 }
\[\eqalign{ & y' = 1 - {1 \over {{x^2}}} = {{{x^2} - 1} \over {{x^2}}};y' = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1\left[ {y = 2} \right] \hfill \cr x = - 1\left[ {y = - 2} \right] \hfill \cr} \right. \cr}\]
Bảng biến thiên
Hàm số đạt cực đại tại \[x = -1\], \[y\]CĐ \[= -2\]
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x = 1\], \[y\]CT \[= 2\]
- Tập xác định \[D = \mathbb R\]
\[ y' = 3{{\rm{x}}^2}{\left[ {1 - x} \right]^2} - 2{{\rm{x}}^3}\left[ {1 - x} \right] \]
\[= {x^2}\left[ {1 - x} \right]\left[ {3 - 5{\rm{x}}} \right]\]
\[\eqalign{ & y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1\left[ {y = 0} \right] \hfill \cr x = {3 \over 5}\left[ {y = {{108} \over {3125}}} \right] \hfill \cr x = 0 \hfill \cr} \right. \cr} \]
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực đại tại \[x = {3 \over 5};y = {{108} \over {3125}}\]
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x = 1\], \[y\]CT =\[ 0\]
- Vì \[x^2\] –\[ x + 1 > 0, ∀ ∈ \mathbb R\] nên tập xác định : \[D = \mathbb R\]
\[y' = {{2{\rm{x}} - 1} \over {2\sqrt {{x^2} - x + 1} }};y = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 2}\left[ {y = {{\sqrt 3 } \over 2}} \right]\]
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x = {1 \over 2};{y_{CT}} = {{\sqrt 3 } \over 2}\]
Bài 2 trang 18 sách sgk giải tích 12
Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:
- \[y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^4} - {\rm{ }}2{x^2} + {\rm{ }}1\] ; \[b] y = sin2x – x\];
c]\[y = sinx + cosx\]; d]\[y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^5}-{\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1\].
Giải:
- \[y'{\rm{ }} = 4{x^3}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} = {\rm{ }}4x[{x^2} - {\rm{ }}1]\] ;
\[y' = 0\] \[⇔ 4x[\]\[x^2\]\[ - 1] = 0 ⇔ x = 0, x = \pm 1\].
\[ y'' = 12x^2-4\].
\[y''[0] = -4 < 0\] nên hàm số đạt cực đại tại \[x = 0\],
\[y\]cđ =\[ y[0] = 1\].
\[y''[\pm 1] = 8 > 0\] nên hàm số đạt cực tiểu tại \[x = \pm1\],
\[y\]ct = \[y[\pm1]\] = 0.
- \[y' = 2cos2x - 1\] ; \[y'=0\Leftrightarrow cos2x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi\]
\[\Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi .\]
\[y'' = -4sin2x\] .
\[y''\left [ \frac{\pi }{6} +k\pi \right ]=-4sin\left [ \frac{\pi }{3} +k2\pi \right ]=-2\sqrt{3}0\] nên hàm số đạt cực tiểu tại các điểm \[x =-\frac{\pi }{6}+ kπ\],
\[y\]ct = \[sin[-\frac{\pi }{3}+ k2π] + \frac{\pi }{6} - kπ\] =\[-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi }{6} - kπ\] , \[k ∈\mathbb Z\].
- \[y = sinx + cosx \]= \[\sqrt{2}sin\left [x+\frac{\pi }{4} \right ]\];
\[ y' \]=\[\sqrt{2}cos\left [x+\frac{\pi }{4} \right ]\] ;
\[y'=0\Leftrightarrow cos\left [x+\frac{\pi }{4} \right ]=0\Leftrightarrow\]\[x+\frac{\pi }{4} =\frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi .\]
\[y''=-\sqrt{2}sin\left [ x+\frac{\pi }{4} \right ].\]
\[y''\left [ \frac{\pi }{4} +k\pi \right ]=-\sqrt{2}sin\left [ \frac{\pi }{4}+k\pi +\frac{\pi }{4} \right ]\]
\[=-\sqrt{2}sin\left [ \frac{\pi }{2} +k\pi \right ]\]
\[=\left\{ \matrix{ - \sqrt 2 \text{ nếu k chẵn} \hfill \cr \sqrt 2 \text{ nếu k lẻ} \hfill \cr} \right.\]
Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm \[x=\frac{\pi }{4}+k2\pi\],
đạt cực tiểu tại các điểm \[x=\frac{\pi }{4}+[2k+1]\pi [k\in \mathbb{Z}].\]
- \[y'{\rm{ }} = {\rm{ }}5{x^4} - {\rm{ }}3{x^2} - {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}[{x^2} - {\rm{ }}1][5{x^2} + {\rm{ }}2]\]; \[y'{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {x^{2}} - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} = \pm 1\].
\[y''{\rm{ }} = {\rm{ }}20{x^{3}} - {\rm{ }}6x\].
\[y''[1] = 14 > 0\] nên hàm số đạt cực tiểu tại \[x = 1\],
\[y\]ct =\[ y[1] = -1\].
\[y''[-1] = -14 < 0\] hàm số đạt cực đại tại \[x = -1\],
\[y\]cđ = \[y[-1] = 3\].
Bài 3 trang 18 sách sgk giải tích 12
Chứng minh rằng hàm số \[y=\sqrt{\left | x \right |}\] không có đạo hàm tại \[x = 0\] nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó.
Giải:
Đặt \[y=f[x]=\sqrt{\left | x \right |}\]. Giả sử \[x > 0\], ta có :
\[\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}\frac{\sqrt{x}}{x}=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}\frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty .\]
Do đó hàm số không có đạo hàm tại \[x = 0\] . Tuy nhiên hàm số đạt cực tiểu tại \[x = 0\] vì \[f[x]=\sqrt{\left | x \right |}\geq 0=f[0],\forall x\in\mathbb R\].