Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên
Hướng dẫn, cách giải phương trình nghiệm nguyên qua một số ví dụ. Phương pháp: chẵn lẻ, phân tích, cực hạn, loại trừ, chia hết, lùi vô hạn,bất đẳng thức.
Tùy từng bài tập mà các em áp dụng một hay nhiều phương pháp để giải bài toán phương trình nghiệm nguyên.
I. Phương pháp 1 : Sử dụng tính chẵn lẻ
Ví dụ 1: Tìm x, y nguyên tố thoả mãn
y2 – 2x2 = 1
Hướng dẫn:
Ta có y2 – 2x2 = 1 ⇒ y2 = 2x2 +1 ⇒ y là số lẻ
Đặt y = 2k + 1 [với k nguyên].Ta có [2k + 1]2 = 2x2 + 1
⇔ x2 = 2 k2 + 2k ⇒ x chẵn , mà x nguyên tố ⇒ x = 2, y = 3
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
[2x + 5y + 1][2|x| + y + x2 + x] = 105
Hướng dẫn:
Ta có: [2x + 5y + 1][2|x| + y + x2 + x] = 105
Ta thấy 105 lẻ ⇒ 2x + 5y + 1 lẻ ⇒ 5y chẵn ⇒ y chẵn
2|x|+ y + x2 + x = 2|x|+ y + x[x+ 1] lẻ
có x[x+ 1] chẵn, y chẵn ⇒ 2|x|lẻ ⇒ 2|x|= 1 ⇒ x = 0
Thay x = 0 vào phương trình ta được
[5y + 1] [ y + 1] = 105 ⇔ 5y2 + 6y – 104 = 0
⇒ y = 4 hoặc y = $ \displaystyle -\frac{26}{5}$[ loại]
Thử lại ta có x = 0; y = 4 là nghiệm của phương trình
II. Phương pháp 2 : Phương pháp phân tích
Thực chất là biến đổi phương trình về dạng:
g1 [x1, x2,…., xn] h [x1, x2,…., xn] = a
Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2
Hướng dẫn: Ta có: x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2 ⇔ x4 +4x3+6x2+4x +1- y2=1
⇔ [x+1]4 – y2 = 1 ⇔ [[x+1]2 –y] [[x+1]2+y]= 1
⇔$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}[x+1]_{{}}^{2}-y=1\\[x+1]_{{}}^{2}+y=1\end{array} \right.$ hoặc$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}[x+1]_{{}}^{2}-y=-1\\[x+1]_{{}}^{2}+y=-1\end{array} \right.$
$ \displaystyle \left[ \begin{array}{l}1+y=1-y\\-1+y=-1-y\end{array} \right.$
⇒ y = 0 ⇒ [x+1]2 = 1 ⇔x+1 = ±1 ⇒ x = 0 hoặc x = -2
Vậy [ x, y ] = [ 0, 0 ]; [ – 2, 0 ]
III. Phương pháp 3 : Phương pháp cực hạn
Sử dụng đối với 1 số bài toán vai trò của các ẩn bình đẳng như nhau:
Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
5 [ x + y + z + t ] + 10 = 2 xyzt
Hướng dẫn:
Ta giả sử x ≥ y ≥ z ≥ t ≥ 1
Ta có: 5 [ x + y + z + t ] + 10 = 2 xyzt
Do x≥ y≥z ≥ 2 nên 8x – 5 ≥ 8y – 5 ≥ 11
⇒ [8x – 5] [8y – 5] = 265 vô nghiệm
vậy nghiệm của phương trình là bộ [x, y, z]
= [ 35; 3; 1; 1]; [9; 5; 1; 1] và các hoán vị
IV. Phương pháp 4: Phương pháp loại trừ
Khẳng định nghiệm rồi loại trừ các giá trị còn lại của ẩn
Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
1! + 2! + … + x! = y2
Hướng dẫn:
Với x ≥ 5 thì x! có tận cùng là 0 và 1! + 2! + 3! + 4! Có tận cùng là 3
Þ 1! + 2! + … + x! có tận cùng là 3, không là số chính phương [loại]
Vậy x < 5 mà x nguyên dương nên: x = {1;2;3;4}
Thử vào phương trình ta được [x = 1, y= 2]; [x = 3, y= 3] là thoả mãn.
Ví dụ 6: Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trìnhy2 + y = x4 + x3 + x2 + x
Hướng dẫn:
Ta có : y2 + y = x4 + x3 + x2 + x ⇔ 4 y2+4y+1=4 x4 + 4 x3 + 4x2 + 4x+1
⇒ [2x2 + x ] 2 – [2y + 1]2 = [3x + 1] [x +1]
hay [2x2 + x + 1] 2 – [2y+ 1]2 = x[x-2]
Ta thấy:
Nếu x> 0 hoặc x< – 1 thì [3x + 1] [x +1] > 0
Nếu x > 2 hoặc x < -1 thì x [x-2] > 0
⇒ Nếu x>2 hoặc x< 1 thì [2x2 + x] 0 ⇒ 3y chia hết cho 3, x2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1
⇒ x2 + 3ychia cho 3 dư 0 hoặc 1
mà 3026 chia cho 3 dư 2 [loại]
Vậy nghiệm [x,y] = [55,0]
6. Phương pháp 6 : Sử dụng tính chất của số nguyên tố
Ví dụ 9: Tìm x, y, z nguyên tố thoả mãn xy + 1 = z
Hướng dẫn:
Ta có x, y nguyên tố và xy + 1 = z ⇒ z > 3
Mà z nguyên tố ⇒ z lẻ ⇒ xy chẵn ⇒ x chẵn ⇒ x = 2
Xét y = 2 ⇒ 22 + 1 = 5 là nguyên tố ⇒ z = 5 [thoả mãn]
Xét y> 2 ⇒ y = 2k + 1 [k ∈ N] ⇒ 22k+1 + 1 = z ⇒ 2. 4k + 1 = z
Có 4 chia cho 3 dư 1 ⇒ [2.4k+1] chia hết cho 3 ⇒ z chia hết cho 3 không thỏa mãn [loại]
Vậy x = 2, y = 2, z = 5 thoả mãn
VII. Phương pháp 7: Đưa về dạng tổng
Ví dụ 10: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
x2 + y2 – x – y = 8
Hướng dẫn:
Ta có x2 + y2 –x – y = 8 ⇒ 4 x2 + 4 y2 – 4 x –4y = 32
⇔ [4x2 – 4x +1] + [4y2 – 4y + 1] = 34 ⇔ [2x – 1]2 + [2y – 1]2 = 34
Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 chỉ có duy nhất 1 dạng phân tích thành tổng của 2 số chính phương 32 và 52
Do đó ta có $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}|2x-1|=3\\|2y-1|=5\end{array} \right.$ hoặc $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}|2x-1|=5\\|2y-1|=3\end{array} \right.$
Giải ra ta được [x,y] = [2,3]; [2,-2]; [-1, -2]; [-1, 3] và các hoán vị của nó.
Ví dụ 11: Tìm nghiệm nguyên của phương trìnhx2 – 4xy + 5y2 = 169
Hướng dẫn: Ta có x2 – 4xy + 5y2 = 169 ⇔ [x – 2y]2 + y2 = 169
Ta thấy 169 = 02 + 132 = 52 + 122
Giải ra ta được [x, y] = [29, 12];[19, 12]; [-19, -12]; [22, 5]; [-2, 5] ;[2, -5]; [-22, -5]; [26, 13]; [-26, -13]; [-13. 0]; [13, 0]
VIII. Phương pháp 8: Lùi vô hạn
Ví dụ 12: Tìm nghiệm nguyêm của phương trình
x2 – 5y2 = 0
Hướng dẫn:
Giả sử x0, y0 là nghiệm của phương trình x2 – 5y2 = 0
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = y = 0
Ví dụ 13: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
x2 + y2 + z2 = x2 y2
Hướng dẫn:
Nếu x, y đều là số lẻ ⇒ x2 , y2 chia cho 4 đều dư 1
Đặt x = 2x1, y = 2y1, z = 2z1
Ta có x+ y+z= xy
lập luận tương tự ta có x+ y+ z= 16 xy
Quá trình này cứ tiếp tục ta thấy [x1, y1, z1 ] là nghiệm của phương trình thì
$ \displaystyle \left[ \frac{{{x}_{1}}}{2_{{}}^{k}},\frac{{{y}_{1}}}{2_{{}}^{k}},\frac{{{z}_{1}}}{2_{{}}^{k}} \right]$là nghiệm của phương trình với k nguyên dương
⇒x1 = y1 = z1 = 0
Vậy phương trình có nghiệm là [0, 0, 0]
IX. Phương pháp 9: Sử dụng tính chất nghiệm của phương trình bậc 2
Biến đổi phương trình về dạng phương trình bậc 2 của ẩn coi các ẩn khác là tham số, sử dụng các tính chất về nghiệm của phương trình bậc 2 để xác định giá trị của tham số.
Ví dụ 14: Giải phương trình nghiệm nguyên
3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0
Hướng dẫn:
Ta có PT: 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0
⇒ y2 + [4x + 2]y + 3 x2 + 4x + 5 = ] [*] coi x là tham số giải phương trình bậc 2 pt [*] ẩn y ta có
⇒ [x- n] [x+ n] = 4 ⇒ x – n = x + n = ± 2 ⇒ x = ± 2
Vậy phương trình có nghiệm nguyên
[x, y] = [2; -5]; [-2, 3]
Ví dụ 15: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
x2 – [y+5]x + 5y + 2 = 0
Hướng dẫn:
Ta có x2 – [y+5]x + 5y + 2 = 0 coi y là tham số ta có phương trình bậc 2 ẩn x. Giả sử phương trình bậc 2 có 2 nghiệm x1, x2
Ta có: $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=y+5\\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=5y+2\end{array} \right.$
⇒ $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}5{{x}_{1}}+5{{x}_{2}}=5y+25\\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=5y+2\end{array} \right.$
⇒ 5 x1 + 5x2 – x1x2 = 23
⇔ [x1 -5] [x2 -5] = 2 Mà 2 = 1.2 = [-1][-2]
⇒ x1 + x2 = 13 hoặc x1 + x2 = 7 ⇒ y = 8 hoặc y = 2
thay vào phương trình ta tìm được các cặp số
[x,y ] = [7, 8]; [6, 8]; [4, 2]; [3, 2]; là nghiệm của phương trình
X.Phương pháp 10 : Dùng bất đẳng thức
Ví dụ 16: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
x2 –xy + y2 = 3
Hướng dẫn:
Ta có x2 –xy + y2 = 3 ⇔ [x- $ \displaystyle \frac{y}{2}$]2 = 3 –$ \displaystyle \frac{3y_{{}}^{2}}{4}$
Ta thấy [x-$ \displaystyle \frac{y}{2}$]2= 3 –$ \displaystyle \frac{3y_{{}}^{2}}{4}$≥ 0
⇒ -2≤ y≤ 2
⇒ y= ± 2; ±1; 0 thay vào phương trình tìm x
Ta được các nghiệm nguyên của phương trình là :
[x, y] = [-1,-2], [1, 2]; [-2, -1]; [2,1] ;[-1,1] ;[1, -1]
Bài tập phương trình nghiệm nguyên:
Tin tức - Tags: nghiệm nguyên, phương trìnhMột số công thức giải nhanh bài tập trắc nghiệm hóa học
Các dạng toán về phương pháp khử trong tiểu học
Xin ý kiến mọi người liên quan đến việc gia sư
Các định luật, quy tắc Hóa học cần ghi nhớ
Cách dạy con của người Nhật từ 0 đến 18 tuổi
Học người Nhật cách dạy con không cần roi vọt
Cha mẹ cần làm gì khi con nói dối?