Đề bài
Tứ giác \[ABCD\] có \[\widehat A = {65^0},\widehat B = {117^0},\widehat C = {71^0}\]. Tính số đo góc ngoài tại đỉnh \[D.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng kiến thức:
+] Tổng bốn góc của một tứ giác bằng \[360^o.\]
+] Góc ngoài của tứ giác là góc kề bù với một góc của tứ giác.
Lời giải chi tiết
Trong tứ giác \[ABCD\] ta có:
\[\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D_1 = {360^0}\]
[tổng các góc trong tứ giác]
\[\eqalign{& \Rightarrow \widehat D_1 = {360^0} - \left[ {\widehat A + \widehat B + \widehat C} \right] \cr
& = {360^0} - \left[ {{{65}^0} + {{117}^0} + {{71}^0}} \right] = {107^0} \cr} \]
Ta lại có: \[\widehat D_1 + \widehat {{D_2}} = {180^0}\] [\[2\] góc kề bù]
\[ \Rightarrow \widehat {{D_2}} = {180^0} - \widehat D_1 \]\[= {180^0} - {107^0} = {73^0}\]
HocTot.Nam.Name.Vn
Luyện tập đường trung bình của tam giác, của hình thang: Đáp án và Giải bài 26, 27, 28 trang 80 SGK Toán 8 tập 1.
Bài 26. Tính x, y trên hình 45, trong đó AB // CD // EF // GH.
Gợi ý giải: Ta có AB // EF nên ABFE là hình thang CA = CE và DB = DF nên CD là đường-trung bình của hình thang ABFE.
Do đó: CD = [AB +EF]/2 = [8+16]/2 = 12 cm
Hay x = 12 cm
Tương tự CDHG là hình thang, EF là đường-trung bình của hình thang CDHG.
Nên EF = [CD +GH]/2 ⇒ GH = 2EF -CD = 2.16 – 12
GH = 20 hay y = 20cm
Vậy x = 12cm, y = 20cm.
Bài 27 trang 80. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, K theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, AC.
a] So sánh các độ dài EK và CD, KF và AB.
b] Chứng minh rằng EF ≤ [AB+CD]/2
a] Trong ∆ACD có EA = ED, KA = KC [gt]
nên EK là đường trungbình của ∆ACD
Do đó EK = CD/2
Tương tự KF là đường trungbình của ∆ABC.
Nên KF = AB/2
b] Ta có EF ≤ EK + KF [bất đẳng thức trong ∆EFK]
Nên EF ≤ EK + KF = CD/2 + AB/2= [AB +CD]/2
Vậy EF ≤ [AB +CD]/2
Bài 28. Cho hình thang ABCD [AB // CD], E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC. Đường thằng EF cắt BD ở I, cắt AC ở K.
a] Chứng minh rằng AK = KC, BI = ID.
b] Cho AB = 6cm, CD = 10cm. Tính các độ dài EI, KF, IK
a] Vì EA = ED, FB = FC [gt]
Nên EF là đường-trung-bình của hình thang ABCD.
Do đó: EF // AB // CD
∆ABC có BF = FC và FK // AB
nên: AK = KC
∆ABD có AE = ED và EI // AB
nên: BI = ID
b] Vi EF là đường trung bình của hình thang ABCD.
nên EF = [AB+CD]/2 = [6+10]/2= 8
EI là đường-trung-bình của ∆ABD nên EI = ½.AB =½.6 = 3 [cm]
KF là đườngtrung-bình của ∆ABC nên KF =½.AB=½.6 = 3 [cm]
Lại có EF = EI + IK + KF
nên IK = EF – [EI + KF] = 8 – [3 + 3] = 2 [cm]
|
Tính tổng các góc ngoài của tứ giác [tại mỗi đỉnh của tứ giác chỉ chọn một góc ngoài].
Tính tổng các góc ngoài của tứ giác [tại mỗi đỉnh của tứ giác chỉ chọn một góc ngoài]. Giải: Ta có: \[{\widehat A_1} + {\widehat B_1} + {\widehat C_1} + {\widehat D_1} = {360^0}\] [tổng các góc của tứ giác] Tại mỗi đỉnh của tứ giác tổng một góc trong và một góc ngoài bằng 180° nên \[\eqalign{ & {\widehat A_1} + {\widehat A_2} + {\widehat B_1} + {\widehat B_2} + {\widehat C_1} + {\widehat C_2} + {\widehat D_1} + {\widehat D_2} \cr & = {180^0}.4 = {720^0} \cr & \Rightarrow {\widehat A_2} + {\widehat B_2} + {\widehat C_2} + {\widehat D_2} \cr & = {720^0} - \left[ {{{\widehat A}_1} + {{\widehat B}_1} + {{\widehat C}_1} + {{\widehat D}_1}} \right] \cr & = {720^0} - {360^0} = {360^0} \cr} \] Sachbaitap.com Báo lỗi - Góp ý Bài tiếp theo Xem lời giải SGK - Toán 8 - Xem ngay >> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Xem thêm tại đây: Bài 1. Tứ giác |
- Giải bài 48, 49, 50 trang 95, 96 Sách bài tập...
- Giải bài 44, 45, 46, 47 trang 95 Sách bài tập...
- Giải bài 55, 56, 57 trang 98 Sách bài tập Toán 8...
- Giải bài 51, 52, 53, 54 trang 97 Sách bài tập...
- Giải bài 1, 2, 3 trang 131, 132 Sách bài tập Toán...
- Giải bài 6, 7, 8, 9 trang 133 Sách bài tập Toán 8...
- Giải bài 20, 21, 22 trang 136, 137 Sách bài tập...
- Giải bài 17, 18, 19 trang 135, 136 Sách bài tập...
- Giải bài 13, 14, 15, 16 trang 134, 135 Sách bài...
- Giải bài 26, 27, 28 trang 138 Sách bài tập Toán 8...
Page 2
- Giải bài 48, 49, 50 trang 95, 96 Sách bài tập...
- Giải bài 44, 45, 46, 47 trang 95 Sách bài tập...
- Giải bài 55, 56, 57 trang 98 Sách bài tập Toán 8...
- Giải bài 51, 52, 53, 54 trang 97 Sách bài tập...
- Giải bài 1, 2, 3 trang 131, 132 Sách bài tập Toán...
- Giải bài 6, 7, 8, 9 trang 133 Sách bài tập Toán 8...
- Giải bài 20, 21, 22 trang 136, 137 Sách bài tập...
- Giải bài 17, 18, 19 trang 135, 136 Sách bài tập...
- Giải bài 13, 14, 15, 16 trang 134, 135 Sách bài...
- Giải bài 26, 27, 28 trang 138 Sách bài tập Toán 8...
Page 3
Câu 7 trang 80 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng tổng hai góc ngoài tại các đỉnh A và C bằng tổng hai góc trong tạo các đỉnh B và D
Giải:
Gọi \[\widehat {{A_1},}\widehat {{C_1}}\] là góc trong của tứ giác tại đỉnh A và C. \[{\widehat A_2},{\widehat C_2}\] là góc ngoài tại đỉnh A và C.
Ta có: \[{\widehat A_1} + {\widehat A_2} = {180^0}\] [2 góc kề bù]
\[\Rightarrow {\widehat A_2} = {180^0} - {\widehat A_1}\]
\[{\widehat C_1} + {\widehat C_2} = {180^0}\] [2 góc kề bù]
\[ \Rightarrow {\widehat C_2} = {180^0} - {\widehat C_1}\]
Suy ra:
\[\eqalign{& {\widehat A_2} + {\widehat C_2} = {180^0} - {\widehat A_1} + {180^0} - {\widehat C_1} \cr
& = {360^0} - \left[ {{{\widehat A}_1} + {{\widehat C}_1}} \right] \cr}\] [1]
Trong tứ giác ABCD ta có:
\[{\widehat A_1} + \widehat B + {\widehat C_1} + \widehat D = {360^0}\] [tổng các góc của tứ giác]
\[\Rightarrow \widehat B + \widehat D = {360^0} - \left[ {{{\widehat A}_1} + {{\widehat C}_1}} \right]\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[{\widehat A_2} + {\widehat C_2} = \widehat B + \widehat D\]
Câu 8 trang 80 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Tứ giác ABCD có \[\widehat A = {110^0},\widehat B = {100^0}\]. Các tia phân giác của các góc C và D cắt nhau ở E. Các đường phân giác của các góc ngoài tại các đỉnh C và D cắt nhau ở F. Tính \[\widehat {CED},\widehat {CFD}\]
Giải:
- Trong tứ giác ABCD, ta có:
\[\eqalign{& \widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = {360^0} \cr & \Rightarrow \widehat C + \widehat D = {360^0} - \left[ {\widehat A + \widehat B} \right] \cr & = {360^0} - \left[ {{{110}^0} + {{100}^0}} \right] = {150^0} \cr
& {\widehat D_1} + {\widehat C_1} = {{\widehat C + \widehat D} \over 2} = {{{{150}^0}} \over 2} = {75^0} \cr} \]
- Trong ∆CED, ta có:
\[\widehat {CED} = {180^0} - \left[ {{{\widehat C}_1} + {{\widehat D}_1}} \right] = {180^0} - {75^0} = {105^0}\]
DE ⊥ DF [tính chất tia phân giác của hai góc kề bù]
\[\Rightarrow \widehat {EDF} = {90^0}\]
CE ⊥ CF [tính chất tia phân giác của hai góc kề bù]
\[ \Rightarrow \widehat {ECF} = {90^0}\]
Trong tứ giác CEDF, ta có:
\[\eqalign{& \widehat {DEC} + \widehat {EDF} + \widehat {DFC} + \widehat {ECF} = {360^0} \cr & \Rightarrow \widehat {DFC} = {360^0} - \left[ {\widehat {DEC} + \widehat {EDF} + \widehat {ECF}} \right] \cr
& \widehat {DFC} = {360^0} - \left[ {{{105}^0} + {{90}^0} + {{90}^0}} \right] = {75^0} \cr} \]
Câu 9 trang 80 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn tổng hai cạnh đối.
Giải:
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
Trong ∆OAB, ta có:
OA + OB > AB [bất đẳng thức tam giác] [1]
Trong ∆OCD, ta có:
OC + OD > CD [bất đẳng thức tam giác] [2]
Cộng từng vế [1] và [2]:
OA + OB + OC + OD > AB + CD
⇒ AC + BD > AB + CD
Câu 10 trang 80 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy.
Giải:
Đặt độ dài AB = a, BC = b, CD = c, AD = d
Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD
Trong ∆OAB, ta có:
OA + OA > a [bất đẳng thức tam giác] [1]
Trong ∆OCD ta có:
Từ [1] và [2] suy ra:
OA + OB + OC + OD > a + c
Hay AC + BD > a + c [*]
-Trong ∆OAD ta có: OA + OD > d [bất đẳng thức tam giác] [3]
-Trong ∆OBC ta có: OB + OC > b [bất đẳng thức tam giác] [4]
Từ [3] và [4] suy ra: OA + OD + OB + OC > b + d
⇒ AC + BD > b + d [**]
Từ [*] và [**] suy ra: 2[AC + BD] > a + b + c + d
\[⇒ AC + BD > {{a + b + c + d} \over 2}\]
-Trong ∆ABC ta có: AC < AB + BC = a + b [bất đẳng thức tam giác]
-Trong ∆ADC ta có: AC < AD + DC = c + d [bất đẳng thức tam giác]
Suy ra: 2AC < a + b + c + d
\[AC < {{a + b + c + d} \over 2}\] [5]
-Trong ∆ABD ta có: BD < AB + AD = a + d [bất đẳng thức tam giác]
-Trong ∆BCD ta có: BD < BC + CD = b + c [bất đẳng thức tam giác]
Suy ra: 2BD < a + b + c + d
\[BD < {{a + b + c + d} \over 2}\] [6]
Từ [5] và [6] suy ra: AC + BD < a + b + c + d
Giaibaitap.me
Page 4
- Giải bài 48, 49, 50 trang 95, 96 Sách bài tập...
- Giải bài 44, 45, 46, 47 trang 95 Sách bài tập...
- Giải bài 55, 56, 57 trang 98 Sách bài tập Toán 8...
- Giải bài 51, 52, 53, 54 trang 97 Sách bài tập...
- Giải bài 1, 2, 3 trang 131, 132 Sách bài tập Toán...
- Giải bài 6, 7, 8, 9 trang 133 Sách bài tập Toán 8...
- Giải bài 20, 21, 22 trang 136, 137 Sách bài tập...
- Giải bài 17, 18, 19 trang 135, 136 Sách bài tập...
- Giải bài 13, 14, 15, 16 trang 134, 135 Sách bài...
- Giải bài 26, 27, 28 trang 138 Sách bài tập Toán 8...
Page 5
Câu 11 trang 81 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Tính các góc của hình thang ABCD [AB//CD], biết rằng \[\widehat A = 3\widehat D,\widehat B - \widehat C = {30^0}\]
Giải:
AB//CD
\[ \Rightarrow \widehat A + \widehat D = {180^0}\] [hai góc trong cùng phía]
Ta có: \[\widehat A = 3\widehat D\] [gt]
\[\eqalign{& \Rightarrow 3\widehat D + \widehat D = {180^0} \cr & \Rightarrow \widehat D = {45^0} \cr
& \Rightarrow \widehat A = {3.45^0} = {135^0} \cr} \]
\[\widehat B + \widehat C = {180^0}\] [hai góc trong cùng phía]
\[\widehat B - \widehat C = {30^0}\] [gt]
\[\eqalign{& \Rightarrow 2\widehat B = {210^0} \Rightarrow \widehat B = {105^0} \cr
& \widehat C = \widehat B - {30^0} = {105^0} - {30^0} = {75^0} \cr} \]
Câu 12 trang 81 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Tứ giác ABCD có BC=CD và DB là tia phân giác của góc D. Chứng minh rằng ABCD là hình thang
Giải:
∆ BCD có BC = CD [gt] nên ∆ BCD cân tại C
\[ \Rightarrow {\widehat B_1} = {\widehat D_1}\] [tính chất tam giác cân]
Mà \[{\widehat D_1} = {\widehat D_2}\]
Suy ra: \[{\widehat B_1} = {\widehat D_2}\]
Do đó: BC//AD [vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau]
Vậy ABCD là hình thang [theo định nghĩa]
Câu 13 trang 81 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Dùng thước và êke kiểm tra xem trong các tứ giác trên hình 2:
a. Tứ giác nào chỉ có một cặp cạnh song song;
b. Tứ giác nào có hai cặp cạnh song song;
c. Tứ giác nào là hình thang.
Giải:
a. Tứ giác ở hình [1] chỉ có 1 cặp cạnh đối song song.
b. Tứ giác ở hình [3] có hai cặp cạnh đối song song.
c. Tứ giác ở hình [1] và hình [3] là hình thang.
Câu 14 trang 81 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Tính các góc B và D của hình thang ABCD, biết rằng \[\widehat A = {60^0},\widehat C = {130^0}.\]
Giải:
Hình thang ABCD ta có, \[\widehat A\] và \[\widehat C\] là hai góc đối
a. Trường hợp \[\widehat A\] và \[\widehat B\] là hai góc kề với cạnh bên.
⇒ AB // BC
\[\widehat A + \widehat B = {180^0}\] [hai góc trong cùng phía bù nhau]
\[ \Rightarrow \widehat B = {180^0} - \widehat A = {180^0} - {60^0} = {120^0}\]
\[\widehat C + \widehat D = {180^0}\] [hai góc trong cùng phía bù nhau]
\[ \Rightarrow \widehat D = {180^0} - \widehat C = {180^0} - {130^0} = {50^0}\]
b. Trường hợp \[\widehat A\] và \[\widehat D\] là 2 góc kề với hai cạnh bên
⇒ AB // CD
\[\widehat A + \widehat D = {180^0}\] [hai góc trong cùng phía bù nhau]
\[ \Rightarrow \widehat D = {180^0} - \widehat A = {180^0} - {60^0} = {120^0}\]
\[\widehat B + \widehat C = {180^0}\] [hai góc trong cùng phía bù nhau]
\[ \Rightarrow \widehat B = {180^0} - \widehat C = {180^0} - {130^0} = {50^0}\]
Giaibaitap.me
Page 6
Câu 15 trang 81 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Chứng minh rằng trong hình thang có nhiều nhất là hai góc tù, có nhiều nhất là hai góc nhọn
Giải:
Xét hình thang ABCD có AB// CD
\[\widehat A\] và \[\widehat D\] là hai góc kề với cạnh bên.
\[ \Rightarrow \widehat A + \widehat D = {180^0}\] [2 góc trong cùng phía ] nên trong hai góc đó có nhiều nhất 1 góc nhọn và có nhiều nhất là 1 góc tù.
\[\widehat B\] và \[\widehat C\] là hai góc kề với cạnh bên
\[ \Rightarrow \widehat B + \widehat C = {180^0}\] [2 góc trong cùng phía] nên trong hai góc đó có nhiều nhất 1 góc nhọn và có nhiều nhất 1 góc tù. Vậy bốn góc là : \[\widehat A,\widehat B,\widehat C,\widehat D\] có nhiều nhất là hai góc nhọn và nhiều nhất là hai góc tù.
Câu 16 trang 81 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Chứng minh rằng trong hình thang các tia phân giác của hai góc kề một cạnh bên vuông góc với nhau.
Giải:
Giải sử hình thang ABCD có AB// CD
\[\eqalign{& {\widehat A_1} = {\widehat A_2} = {1 \over 2}\widehat A[gt] \cr
& {\widehat D_1} = {\widehat D_2} = {1 \over 2}\widehat D[gt] \cr} \]
Mà \[\widehat A + \widehat D = {180^0}\] [hai góc trong cùng phía bù nhau]
Suy ra:
\[{\widehat A_1} + {\widehat D_1} = {1 \over 2}\widehat A + \widehat D = {90^0}\]
Trong ∆ AED ta có :
\[\widehat {AED} + {\widehat A_1} + {\widehat D_1} = {180^0}\] [tổng ba góc trong tam giác]
\[ \Rightarrow \widehat {AED} = {180^0} - \left[ {{{\widehat A}_1} + {{\widehat D}_1}} \right] = {180^0} - {90^0} = {90^0}\]
Vậy AE ⊥ DE
Câu 17 trang 81 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Cho tam giác ABC . Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau ở I. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC, cắt các cạnh AB và AC ở D và E.
a. Tìm các hình thang trong hình vẽ
b. Chứng minh rằng hình thang BDEC có một cạnh đáy bằng tổng hai cạnh bên.
Giải:
a. Đường thẳng đi qua I song song với BC cắt AB tại D và AC tại E, ta có các hình thang sau: BDEC, BDIC, BIEC.
b. DE // BC [theo cách vẽ]
\[ \Rightarrow {\widehat I_1} = {\widehat B_1}\] [hai góc so le trong]
Mà \[{\widehat B_1} = {\widehat B_2}\] [gt]
Suy ra: \[{\widehat I_1} = {\widehat B_2}\]
Do đó: ∆ BDI cân tại D
⇒ DI = DB [1]
Ta có: \[{\widehat I_2} = {\widehat C_1}\] [so le trong]
\[{\widehat C_1} = {\widehat C_2}\] [gt]
Suy ra: \[{\widehat I_2} = {\widehat C_2}\] do đó: ∆ CEI cân tại E
⇒ IE = EC [2]
DE = DI + IE [3]
Từ [1], [2] và [3] suy ra: DE = BD + CE
Giaibaitap.me
Page 7
- Giải bài 48, 49, 50 trang 95, 96 Sách bài tập...
- Giải bài 44, 45, 46, 47 trang 95 Sách bài tập...
- Giải bài 55, 56, 57 trang 98 Sách bài tập Toán 8...
- Giải bài 51, 52, 53, 54 trang 97 Sách bài tập...
- Giải bài 1, 2, 3 trang 131, 132 Sách bài tập Toán...
- Giải bài 6, 7, 8, 9 trang 133 Sách bài tập Toán 8...
- Giải bài 20, 21, 22 trang 136, 137 Sách bài tập...
- Giải bài 17, 18, 19 trang 135, 136 Sách bài tập...
- Giải bài 13, 14, 15, 16 trang 134, 135 Sách bài...
- Giải bài 26, 27, 28 trang 138 Sách bài tập Toán 8...
Page 8
Câu 21 trang 82 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Trên hình 3 có bao nhiêu hình thang ?
Giải:
Trên hình vẽ có tất cả 10 hình thang: ABCD, ABEF, ABGH, ABIK, DCEF, DCGH, DCIK, FEGH, FEIK, HGIK.
Bài 2.1 trang 82 Sách bài tập [SBT] Toán 8 lớp tập 1
Hình thang ABCD [BC// AD] có . Khẳng định nào dưới đây là đúng ?
A. \[\widehat A = {45^0}\]
B. \[\widehat B = {45^0}\]
C. \[\widehat D = {45^0}\]
D. \[\widehat D = {60^0}\]
Giải:
Chọn C. \[\widehat D = {45^0}\]
Câu 2.2 trang 82 Sách bài tập [SBT] Toán lớp 8 tập 1
Hình thang ABCD [AB // CD] có \[\widehat A - \widehat D = {40^0},\widehat A = 2\widehat C\]. Tính các góc của hình thang
Giải:
Hình thang ABCD có AB // CD
\[ \Rightarrow \widehat A + \widehat D = {180^0}\] [hai góc trong cùng phía bù nhau]
\[\eqalign{ & \widehat A - \widehat D = {40^0}[gt] \cr & \Rightarrow 2\widehat A = {220^0} \Rightarrow \widehat A = {110^0} \cr & \widehat D = \widehat A - {40^0} = {110^0} - {40^0} = {70^0} \cr & \widehat A = 2\widehat C[gt] \cr
& \Rightarrow \widehat C = {{\widehat A} \over 2} = {110^0}:2 = {55^0} \cr} \]
\[\widehat B + \widehat C = {180^0}\] [hai góc trong cùng phía bù nhau]
\[ \Rightarrow \widehat B = {180^0} - \widehat C = {180^0} - {55^0} = {125^0}\]
Câu 2.3 trang 82 Sách bài tập [SBT] Toán lớp 8 tập 1
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, BC= 2 cm. Ở phía ngoài tam giác ABC, vẽ tam giác ACE vuông cân tại E.
a. Chứng minh rằng AECB là hình thang vuông
b. Tính các góc và các cạnh của hình thang AECB
Giải:
a. ∆ ABC vuông cân tại A
\[\Rightarrow \widehat {ACB} = {45^0}\]
∆ EAC vuông cân tại E
\[ \Rightarrow \widehat {EAC} = {45^0}\]
Suy ra: \[\widehat {EAC} = \widehat {ACB}\]
⇒ AE // BC [vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau]
nên tứ giác AECB là hình thang có \[\widehat E = {90^0}\]. Vậy AECB là hình thang vuông
b] \[\widehat E = \widehat {ECB} = {90^0},\widehat B = {45^0}\]
\[\widehat B + \widehat {EAB} = {180^0}\] [hai góc trong cùng phía bù nhau]
\[ \Rightarrow \widehat {EAB} = {180^0} - \widehat B = {180^0} - {45^0} = {135^0}\]
∆ ABC vuông tại A. Theo định lí Py-ta-go ta có:
\[A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\] mà AB= AC [gt]
\[\eqalign{ & \Rightarrow 2A{B^2} = B{C^2} = {2^2} = 4 \cr
& A{B^2} = 2 \Rightarrow AB = \sqrt 2 [cm] \Rightarrow AC = \sqrt 2 [cm] \cr} \]
∆ AEC vuông tại E. Theo định lí Py-ta-go ta có:
\[E{A^2} + E{C^2} = A{C^2}\], mà EA = EC [gt]
\[\eqalign{ & \Rightarrow 2E{A^2} = A{C^2} = 2 \cr & E{A^2} = 1 \cr
& \Rightarrow EA = 1[cm] \Rightarrow EC = 1[cm] \cr} \]
Giaibaitap.me
Page 9
Câu 22 trang 82 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Hình thang cân ABCD có AB// CD, AB < CD. Kẻ các đường cao AH, BK. Chứng minh rằng DH = CK.
Giải:
Xét hai tam giác vuông AHD và BKC:
\[\widehat {AHD} = \widehat {BKC} = {90^0}\]
AD=BC [tính chất hình thang cân]
\[\widehat C = \widehat D\] [gt]
Do đó: ∆ AHD = ∆ BKC [cạnh huyền, góc nhọn]
Câu 23 trang 82 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Hình thang cân ABCD có AB // CD, O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng OA=OB, OC=OD.
Giải:
Xét ∆ ADC và ∆ BCD, ta có:
AD = BC [tính chất hình thang cân]
\[\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\] [gt]
DC cạnh chung
Do đó: ∆ ADC = ∆ BCD [c.g.c]
\[ \Rightarrow {\widehat C_1} = {\widehat D_1}\]
Trong ∆ OCD ta có: \[{\widehat C_1} = {\widehat D_1}\]
⇒ ∆ OCD cân tại O
⇒ OC = OD [1]
AC = BD [ tính chất hình thang cân]
⇒ AO + OC = BO + OD [2]
Từ [1] và [2] suy ra: AO = BO
Câu 24 trang 83 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh bên AB, AC lấy các điểm M, N sao cho BM = CN.
a. Tứ giác BMNC là hình gì ? Vì sao ?
b. Tính các góc của tứ giác BMNC biết rằng \[\widehat A = {40^0}\]
Giải:
a. ∆ ABC cân tại A
\[ \Rightarrow \widehat B = \widehat C = {{{{180}^0} - \widehat A} \over 2}\] [tính chất tam giác cân] [1]
AB = AC [gt]
⇒ AM + BM= AN+ CN
⇒ mà BM = CN [gt]
⇒ suy ra: AM = AN
⇒ ∆ AMN cân tại A
\[ \Rightarrow {\widehat M_1} = {\widehat N_1} = {{{{180}^0} - \widehat A} \over 2}\] [ tính chất tam giác cân] [2]
⇒ Từ [1] và [2] suy ra: \[{\widehat M_1} = \widehat B\]
⇒MN // BC [ vì có các cặp góc đồng vị bằng nhau]
Tứ giác BCMN là hình thang có \[\widehat B = \widehat C\]. Vậy BCMN là hình thang cân.
b. \[\widehat B = \widehat C = {{{{180}^0} - \widehat A} \over 2} = {{{{180}^0} - {{40}^0}} \over 2} = {70^0}\]
Mà \[{\widehat M_2} + \widehat B = {180^0}\] [hai góc trong cùng phía]
\[ \Rightarrow {\widehat M_2} = {180^0} - \widehat B = {180^0} - {70^0} = {110^0}\]
\[{\widehat N_2} = {\widehat M_2} = {110^0}\] [tính chất hình thang cân]
Câu 25 trang 83 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BE, CF. Chứng minh rằng BFEC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.
Giải:
Xét hai tam giác AEB và AFC
Có AB = AC [∆ ABC cân tại A]
\[\widehat {ABE} = {{\widehat B} \over 2} = {{\widehat C} \over 2} = \widehat {ACF}\] và \[\widehat A\] là góc chung
\[ \Rightarrow \Delta ADB = \Delta AEC\left[ {g.c.g} \right] \Rightarrow AE = AF \Rightarrow \Delta AEF\] cân tại A
\[ \Rightarrow \widehat {AFE} = {{{{180}^0} - \widehat A} \over 2}\] và trong tam giác \[\Delta ABC:\,\,\widehat B = {{{{180}^0} - \widehat A} \over 2}\]
\[ \Rightarrow \widehat {AFE} = \widehat B \Rightarrow FE//BC\] ⟹ tứ giác BFEC là hình thang.
Giaibaitap.me
Page 10
Câu 26 trang 83 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Chứng minh rằng hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
Giải:
Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng DC tại K.
Ta có hình thang ABKC có hai cạnh bên BK // AC nên AC = BK
Mà AC = BD [gt]
Suy ra: BD = BK do đó ∆ BDK cân tại B
\[ \Rightarrow {\widehat D_1} = \widehat K\] [tính chất tam giác cân]
Ta lại có: \[{\widehat C_1} = \widehat K\] [hai góc đồng vị]
Suy ra: \[{\widehat D_1} = {\widehat C_1}\]
Xét ∆ ACD và ∆ BDC:
AC = BD [gt]
\[{\widehat D_1} = {\widehat C_1}\] [chứng minh trên]
CD cạnh chung
Do đó: ∆ ACD = ∆ BDC [c.g.c] \[ \Rightarrow \widehat {ADC} = \widehat {BCD}\]
Hình thang ABCD có \[\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\] nên là hình thang cân.
Câu 27 trang 83 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Tính các góc của hình thang cân, biết một góc bằng \[{50^0}\]
Giải:
Giả sử hình thang cân ABCD có AB // CD và \[\widehat D = {50^0}\]
Vì \[\widehat C = \widehat D\] [tính chất hình thang cân]
\[ \Rightarrow \widehat C = {50^0}\]
\[\widehat A + \widehat D = {180^0}\] [hai góc trong cùng phía]
\[ \Rightarrow \widehat A = {180^0} - \widehat D = {180^0} - {50^0} = {130^0}\]
\[\widehat B = \widehat A\] [tính chất hình thang cân] \[\Rightarrow \widehat B = {130^0}\]
Câu 28 trang 83 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB bằng cạnh bên AD. Chứng minh rằng CA là tia phân giác của góc C.
Giải:
AB = AD [gt]
AD = BC [tính chất hình thang cân]
⇒ AB = BC do đó ∆ ABC cân tại B
\[\Rightarrow {\widehat A_1} = {\widehat C_1}\] [tính chất tam giác cân]
Mặt khác: AB // CD [gt]
\[{\widehat A_1} = {\widehat C_2}\] [hai góc so le trong]
Suy ra: \[{\widehat C_1} = {\widehat C_2}\]
Vậy CA là tia phân giác của \[\widehat {BCD}\].
Câu 29 trang 83 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại O. Biết rằng OA = OC, OB = OD. Tứ giác ACBD là hình gì ? Vì sao ?
Giải:
Ta có: OA = OC [gt]
⇒ ∆ OAC cân tại O
\[ \Rightarrow {\widehat A_1} = {{{{180}^0} - \widehat {AOC}} \over 2}\] [tính chất tam giác cân] [1]
OB = OD [gt]
⇒ ∆ OBD cân tại O
\[ \Rightarrow {\widehat B_1} = {{{{180}^0} - \widehat {BOD}} \over 2}\] [tính chất tam giác cân] [2]
\[\widehat {AOC} = \widehat {BOD}\] [đối đỉnh] [3]
Từ [1], [2] và [3] suy ra: \[{\widehat A_1} = {\widehat B_1}\]
⇒ AC // BD [vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau]
Suy ra: Tứ giác ACBD là hình thang
Ta có: AB = OA + OB
CD = OC + OD
Mà OA = OC, OB = OD
Suy ra: AB = CD
Vậy hình thang ACBD là hình thang cân.
Giaibaitap.me
Page 11
Câu 30 trang 83 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E trên cạnh AC sao cho AD = AE.
a. Tứ giác BDEC là hình gì ? Vì sao ?
b. Các điểm D, E ở vị trí nào thì BD = DE = EC ?
Giải:
a. AD = AE [gt]
⇒ ∆ ADE cân tại A
\[ \Rightarrow \widehat {ADE} = {{{{180}^0} - \widehat A} \over 2}\]
∆ ABC cân tại A
\[ \Rightarrow \widehat {ABC} = {{{{180}^0} - \widehat A} \over 2}\]
Suy ra: \[\widehat {ADE} = \widehat {ABC}\]
⇒ DE // BC [vì có cặp góc đồng vị bằng nhau]
Tứ giác BDEC là hình thang
\[\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\] [tính chất tam giác cân]
Hay \[\widehat {DBC} = \widehat {ECB}\]. Vậy BDEC là hình thang cân
b. Ta có: BD = DE ⇒ ∆ BDE cân tại D
\[ \Rightarrow {\widehat B_1} = {\widehat E_1}\]
Mà \[{\widehat E_1} = {\widehat B_2}\] [so le trong]
\[ \Rightarrow {\widehat B_1} = {\widehat B_2}\]
DE = EC ⇒∆ DEC cân tại E
\[ \Rightarrow {\widehat D_1} = {\widehat C_1}\]
\[{\widehat D_1} = {\widehat C_2}\] [so le trong]
\[ \Rightarrow {\widehat C_1} = {\widehat C_2}\]
Vậy khi BE là tia phân giác của \[\widehat {ABC}\], CD là tia phân giác của \[\widehat {ACB}\] thì BD = DE = EC.
Câu 31 trang 83 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Hình thang cân ABCD có O là giao điểm của hai đường thẳng chứa cạnh bên AD, BC và E là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng OE là đường trung trực của hai đáy.
Giải:
\[\eqalign{& \widehat {ADC} = \widehat {BCD}\,\,\,\,[gt] \cr
& \Rightarrow \widehat {ODC} = \widehat {OCD} \cr} \]
⇒ ∆ OCD cân tại O
⇒ OC = OD
⇒ OA + AD = OB + BC
Mà AD = BC [tính chất hình thang cân]
⇒ OA = OB
Xét ∆ ADC và ∆ BCD :
AD = BC [chứng minh trên]
AC = BD [tính chất hình thang cân]
CD cạnh chung
Do đó: ∆ ADC = ∆ BCD [c.c.c]
\[ \Rightarrow {\widehat D_1} = {\widehat C_1}\]
⇒ ∆ EDC cân tại E
⇒ EC = ED nên E thuộc đường trung trực của CD
OC = OD nên O thuộc đường trung trực của CD
E≢ O. Vậy OE là đường trung trực của CD.
BD = AC [chứng minh trên]
⇒ EB + ED = EA + EC mà ED = EC
⇒ EB = EA nên E thuộc đường trung trực AB
E≢ O. Vậy OE là đường trung trực của AB.
Câu 32 trang 83 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
a. Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = b, đáy lớn CD = a, đường cao AH.
Chứng minh rằng [a và b có cùng đơn vị đo]
b. Tính đường cao của hình thang cân có hai đáy 10cm, 26cm và cạnh bên 17cm
Giải:
a. Kẻ đường cao BK
Xét hai tam giác vuông AHD và BKC, ta có:
\[\widehat {AHB} = \widehat {BKC} = {90^0}\]
AD = BC [tính chất hình thang cân]
\[\widehat D = \widehat C\] [gt]
Do đó: ∆ AHD = ∆ BKC [cạnh huyền, góc nhọn]
⇒ HD = KC
Hình thang ABKH có hai cạnh bên song song nên AB = HK
a−b = DC – AB = DC – HK = HD + KC = 2HD
\[ \Rightarrow HD = {{a - b} \over 2}\]
\[HD = DC-HD = a - {{a - b} \over 2} = {{a + b} \over 2}\]
b. \[HD = {{CD - AB} \over 2} = {{26 - 10} \over 2} = 8\left[ {cm} \right]\]
Trong tam giác vuông AHD có \[\widehat {AHD} = {90^0}\]
\[A{D^2} = A{H^2} + H{D^2}\] [định lí Pi-ta-go]
\[\eqalign{& \Rightarrow A{H^2} = A{D^2} - H{D^2} \cr & A{H^2} = {17^2} - {8^2} = 289 - 64 = 225 \cr
& AH = 15[cm] \cr} \]
Câu 33 trang 83 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Hình thang cân ABCD có đường chéo DB vuông góc với cạnh bên BC, BD là tia phân giác của góc D. Tính chu vi của hình thang, biết BC = 3cm.
Giải:
Ta có: AD = BC = 3 [cm] [tính chất hình thang cân]
\[\widehat {ABD} = \widehat {BDC}\] [so le trong]
\[\eqalign{& \widehat {ADB} = \widehat {BDC}[gt] \cr
& \Rightarrow \widehat {ABD} = \widehat {ADB} \cr} \]
⇒ ∆ ABD cân tại A
⇒ AB = AD = 3 [cm]
∆ BDC vuông tại B
\[ \Rightarrow \widehat {BDC} + \widehat C = {90^0}\]
\[\widehat {ADC} = \widehat C\] [gt]
Mà \[\widehat {BDC} = {1 \over 2}\widehat {ADC}\] nên \[\widehat {BDC} = {1 \over 2}\widehat C\]
\[\widehat C + {1 \over 2}\widehat C = {90^0} \Rightarrow \widehat C = {60^0}\]
Từ B kẻ đường thẳng song song AD cắt CD tại E.
Hình thang ABED có hai cạnh bên song song nên AB = DE và AD = BE
⇒ DE = 3 [cm], BE = 3 [cm]
\[\widehat {BEC} = \widehat {ADC}\] [đồng vị ]
Suy ra: \[\widehat {BEC} = \widehat C\]
⇒ ∆ BEC cân tại B có \[\widehat C = {60^0}\]
⇒ ∆ BEC đều
⇒ EC = BC = 3 [cm]
CD = CE + ED = 3 + 3 = 6 [cm]
Chu vi hình thang ABCD bằng:
AB + BC + CD + DA = 3+3 +6 +3=15 [cm]
Giaibaitap.me
Page 12
Câu 3.1 trang 83 Sách bài tập [SBT] Toán lớp 8 tập 1
Hình thang cân ABCD [AB // CD] có \[\widehat A = {70^0}\]. Khẳng định nào dưới đây là đúng ?
A. \[\widehat C = {110^0}\]
B. \[\widehat B = {110^0}\]
C. \[\widehat C = {70^0}\]
D. \[\widehat D = {70^0}\]
Giải:
Chọn A. \[\widehat C = {110^0}\]
Câu 3.2 trang 84 Sách bài tập [SBT] Toán lớp 8 tập 1
Hình thang cân ABCD [AB// CD] có hai đường chéo cắt nhau tại I, hai đường thẳng chứa các cạnh bên cắt nhau ở K. Chứng minh rằng KI là đường trung trực của hai đáy.
Giải:
∆ACD = ∆BDC [c.c.c] suy ra
do đó ID = IC [1]
Tam giác KCD có hai góc ở đấy bằng nhau nên KD = KC [2]
Từ [1] và [2] suy ra KI là đương trung trực của CD.
Chứng minh tương tự có IA = IB, KA = KB
Suy ra KI là đường trung trực của AB
Câu 3.3 trang 84 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Hình thang cân ABCD [AB // CD] có , DB là tia phân giác của góc D. Tính các cạnh của hình thang, biết chu vi hình thang bằng 20cm.
Giải:
Hình thang ABCD cân có AB // CD
\[ \Rightarrow \widehat D = \widehat C = {60^0}\]
DB là tia phân giác của góc D
\[ \Rightarrow \widehat {ADB} = \widehat {BDC}\]
\[\widehat {ABD} = \widehat {BDC}\] [hai góc so le trong]
Suy ra: \[\widehat {ADB} = \widehat {ABD}\]
⇒ ∆ ABD cân tại A ⇒ AB = AD [1]
Từ B kẻ đường thẳng song song với AD cắt CD tại E
Hình thang ABED có hai cạnh bên song song nên AB = ED, AD= BE [2]
\[\widehat {BEC} = \widehat {ADC}\] [đồng vị ]
Suy ra: \[\widehat {BEC} = \widehat C = {60^0}\]
⇒∆ BEC đều ⇒ EC = BC [3]
AD = BC [tính chất hình thang cân] [4]
Từ [1], [2], [3] và [4] ⇒ AB = BC = AD = ED = EC
⇒ Chu vi hình thang bằng:
AB + BC + CD + AD = AB + BC + EC +ED +AD = 5AB
⇒AB = BC = AD = 20:5 = 4 [cm]
CD = CE + DE = 2 AB = 2.4 = 8 [cm]
Giaibaitap.me
Page 13
Câu 34 trang 84 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh AC sao cho \[AD = {1 \over 2}DC\]. Gọi M là trung điểm của BC, I là giao điểm của BD và AM. Chứng minh rằng AI = IM.
Giải:
Gọi E là trung điểm của DC
Trong ∆ BDC ta có:
M là trung điểm của BC [gt]
E là trung điểm của CD [gt]
Nên ME là đường trung bình của ∆ BCD
⇒ ME // BD[ tính chất đường trung bình của tam giác]
Suy ra: DI // ME
\[AD = {1 \over 2}DC\] [gt]
\[DE = {1 \over 2}DC\] [theo cách vẽ]
⇒AD = DE
DI // ME
Nên AI = IM [tính chất đường trung bình của tam giác]
Câu 35 trang 84 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Hình thang ABCD có đáy AB, CD. Gọi E, F, I theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, AC. Chứng minh rằng ba điểm E, I, F thẳng hàng.
Giải:
Hình thang ABCD có AB// CD
E là trung điểm của AD [gt]
F là trung điểm của BC [gt]
Nên EF là đường trung bình của hình thang ABCD
⇒ EF // CD [tính chất đường trung bình hình thang] [1]
Trong ∆ ADC có:
E là trung điểm của AD [gt]
I là trung điểm của AC [gt]
Nên EI là đường trung bình của ∆ ADC
⇒ EI // CD [tính chất đường trung bình tam giác] [2]
Từ [1] và [2] theo tiên đề Ơclít đường thẳng EF và EI trùng nhau
Vậy E, I, F thẳng hàng.
Câu 36 trang 84 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, I theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, AC.
Chứng minh rằng:
a. EI// CD, IF // AB
b. \[EF \le {{AB + CD} \over 2}\]
Giải:
a] Trong tam giác ADC, ta có:
E là trung điểm của AD [gt]
I là trung điểm của AC [gt]
Nên EI là đường trung bình của ∆ ABC
⇒ EI // CD [tính chất đường trung bình của tam giác]
Và \[EI = {{CD} \over 2}\]
Trong tam giác ABC ta có:
I là trung điểm của AC
F là trung điểm của BC
Nên IF là đường trung bình của ∆ ABC
⇒ IF // AB [tính chất đường trung bình của tam giác]
Và \[IF = {{AB} \over 2}\]
b] Trong ∆ EIF ta có: EF ≤ EI + IF [dấu “=” xảy ra khi E, I, F thẳng hàng]
Mà \[EI = {{CD} \over 2}{\rm{;}}\,\,IF{\rm{ = }}{{AB} \over 2}\] [chứng minh trên] \[ \Rightarrow {\rm{EF}} \le {{CD} \over 2} + {{AB} \over 2}\]
Vậy \[EF \le {{AB + CD} \over 2}\] [dấu bằng xảy ra khi AB // CD]
Giaibaitap.me
Page 14
Câu 37 trang 84 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Cho hình thang ABCD [AB // CD], M là trung điểm của AD, N là trung điểm của BC. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN với BD, AC. Cho biết AB = 6cm,
CD = 14 cm. Tính các độ dài MI, IK, KN.
Giải:
Hình thang ABCD có AB // CD
M là trung điểm của AD [gt]
N là trung điểm của BC [gt]
Nên MN là đường trung bình của hình thang ABCD
⇒ MN // AB // CD
\[MN = {{AB + CD} \over 2} = {{6 + 14} \over 2} = 10\left[ {cm} \right]\]
Trong tam giác ADC ta có:
M là trung điểm của AD
MK // CD
⇒ AK = KC và MK là đường trung bình của ∆ ADC.
\[ \Rightarrow MK = {1 \over 2}CD = {1 \over 2}.14 = 7\left[ {cm} \right]\]
Vậy: KN = MN – MK = 10 – 7 = 3 [cm]
Trong ∆ ADB ta có:
M là trung điểm của AD
MI // AB nên DI = IB
⇒ MI là đường trung bình của ∆ DAB
\[ \Rightarrow MI = {1 \over 2}AB = {1 \over 2}.6 = 3\left[ {cm} \right]\]
IK = MK – MI = 7 – 3 = 4 [cm]
Câu 38 trang 84 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của GB, GC. Chứng minh rằng DE // IK, DE = IK.
Giải:
Trong tam giác ABC ta có:
E là trung điểm của AB [gt]
D là trung điểm của AC [gt]
Nên ED là đường trung bình của tam giác ABC
⇒ED // BC và \[ED = {{BC} \over 2}\] [tính chất đường trung bình của tam giác] [1]
Trong tam giác GBC ta có:
I là trung điểm của BG [gt]
K là trung điểm của CG [gt]
Nên IK là đường trung bình của ∆ GBC
⇒ IK // BC và \[IK = {{BC} \over 2}\] [tính chất đường trung bình của tam giác] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: IK // DE và IK = DE.
Câu 39 trang 84 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AM, E là giao điểm của BD và AC. Chứng minh rằng \[AE = {1 \over 2}EC\].
Giải:
Gọi F là trung điểm của EC
Trong ∆ CBE ta có:
M là trung điểm của cạnh CB
F là trung điểm của cạnh CE
Nên MF là đường trung bình của ∆ CBE
⇒ MF // BE [tính chất đường trung bình của tam giác]
Hay DE // MF
Trong tam giác AMF ta có:
D là trung điểm của AM
DE // MF
Suy ra: AE = EF [tính chất đường trung bình của tam giác]
Mà \[EF = FC = {{EC} \over 2}\0 nên \[AE = {1 \over 2}EC\].
Giaibaitap.me
Page 15
Câu 40 trang 84 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD, CE. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BE, CD. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN với BD, CE. Chứng minh rằng MI = IK = KN.
Giải:
Trong tam giác ABC ta có:
E là trung điểm của cạnh AB
D là trung điểm của cạnh AC
Nên ED là đường trung bình của ∆ ABC
\[ \Rightarrow ED//BC\] và \[ED = {1 \over 2}BC\] [tính chất đường trung bình của tam giác]
Trong hình thang BCDE, ta có: BC // DE
M là trung điểm cạnh bên BE
N là trung điểm cạnh bên CD
Nên MN là đường trung bình hình thang BCDE ⇒ MN // DE
\[MN = {{DE + BC} \over 2} = {{{{BC} \over 2} + BC} \over 2} = {{3BC} \over 4}\] [tính chất đường trung bình hình thang]
Trong tam giác BED ta có:
M là trung điểm của BE
MI // DE
Suy ra: MI là đường trung bình của ∆ BED
\[ \Rightarrow MI = {1 \over 2}DE = {1 \over 4}BC\] [tính chất đường trung bình tam giác]
Trong tam giác CED ta có:
N là trung điểm của CD
NK // DE
Suy ra: NK là đường trung bình của ∆ BED
\[ \Rightarrow NK = {1 \over 2}DE = {1 \over 4}BC\] [tính chất đường trung bình tam giác]
\[\eqalign{& IK = MN - \left[ {MI + NK} \right] \cr & = {3 \over 4}BC - \left[ {{1 \over 4}BC + {1 \over 4}BC} \right] = {1 \over 4}BC \cr
& \Rightarrow MI = IK = KN = {1 \over 4}BC \cr} \]
Câu 41 trang 84 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Chứng minh rằng đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của hai đường chéo và đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai.
Giải:
Xét hình thang ABCD có: AB // CD.
E là trung điểm của AD, đường thẳng đi qua E song song với AB cắt BC tại F, AC tại K, BD tại I.
Vì E là trung điểm của AD
EF // AB
Suy ra: BF = FC [tính chất đường trung bình hình thang]
Trong tam giác ADC ta có:
E là trung điểm của AD
EK // DC
Suy ra: AK = KC [tính chất đường trung bình tam giác]
Trong tam giác ABD ta có:
E là trung điểm cạnh AD
EI // AB
Suy ra: BI = ID [tính chất đường trung bình của tam giác]
Vậy đường thẳng đi qua trung điểm E của cạnh bên AD của hình thang ABCD thì đi qua trung điểm cạnh bên BC và trung điểm hai đường chéo AC, BD.
Câu 42 trang 84 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Chứng minh rằng trong hình thang mà hai đáy không bằng nhau, đoạn thẳng nối trung điểm của hai đường chéo bằng nửa hiệu hai đáy.
Giải:
Giả sử hình thang ABCD có AB // CD, AB < CD.
I, K lần lượt là trung điểm hai đường chéo BD, AC
Gọi F là trung điểm của BC
Trong tam giác ACB ta có:
K là trung điểm của cạnh AC
F là trung điểm của cạnh BC
Nên KF là đường trung bình của ∆ BDC
⇒ KF // AB và \[KF = {1 \over 2}AB\] [tính chất đường trung bình của tam giác]
Trong tam giác BDC ta có:
I là trung điểm của cạnh BD
F là trung điểm của cạnh BC
Nên IF là đường trung bình của ∆ BDC
⇒ IF // CD và \[IF = {1 \over 2}CD\] [tính chất đường trung bình của tam giác]
FK // AB mà AB // CD nên FK // CD
FI // CD [chứng minh trên]
Suy ra hai đường thẳng FI và FA trùng nhau.
⇒ I, K, F thẳng hàng, AB < CD ⇒ FK < FI nên K nằm giữa I và F
IF = IK + KF
\[\eqalign{& \Rightarrow IK = IF - KF \cr
& = {1 \over 2}CD - {1 \over 2}AB = {{CD - AB} \over 2} \cr} \]
Câu 43 trang 85 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Hình thang ABCD có AB // CD, AB = a, BC = b, CD = c, DA = d. Các đường phân giác của các góc ngoài đỉnh A và D cắt nhau tại M, các đường phân giác của các góc ngoài đỉnh B và C cắt nhau tại N.
a] Chứng ninh rằng MN // CD.
b] Tính độ dài MN theo a, b, c, d [a, b, c, d có cùng đơn vị đo]
Giải:
a] Gọi M’ và N’ là giao điểm của tia AM và BN với CD. Ta có:
\[\widehat {M'} = {\widehat A_2}\] [so le trong]
\[{\widehat A_1} = {\widehat A_2}\] [gt]
Suy ra: \[\widehat {M'} = {\widehat A_1}\]
Nên ∆ ADM’ cân tại D
DM là phân giác của \[\widehat {ADM'}\]
Suy ra: DM là đường trung tuyến [tính chất tam giác cân]
⇒ AM = MM’
\[\widehat {N'} = {\widehat B_2}\] [so le trong]
\[{\widehat B_1} = {\widehat B_2}\] [gt]
Suy ra: \[\widehat {N'} = {\widehat B_1}\] nên ∆ BCN’ cân tại C
CN là phân giác của \[\widehat {BCN'}\]
Suy ra: CN là đường trung tuyến [tính chất tam giác cân]
⇒ BN = NN’
Suy ra: MN là đường trung bình của hình thang ABN’M’
⇒ MN // M’N’ [tính chất đường trung bình hình thang]
Hay MN // CD
b] \[MN = {{AB + M'N'} \over 2}\] [tính chất đường trung bình của hình thang]
\[ \Rightarrow MN = {{AB + M'D + CD + CN'} \over 2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 1 \right]\]
Mà M’D = AD, CN’ = BC. Thay vào [1]:
\[MN = {{AB + AD + CD + BC} \over 2} = {{a + d + c + b} \over 2}\]
Giaibaitap.me
Page 16
Câu 44 trang 85 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi O là trung điểm của AM. Qua O kẻ đường thẳng d cắt các cạnh AB và AC. Gọi AA’, BB’, CC’ là các đường vuông góc kẻ từ A, B, C đến đường thẳng d. Chứng minh rằng:
\[{\rm{AA' = }}{{BB' + CC'} \over 2}\]
Giải:
Ta có: BB’ ⊥ d [gt]
CC’ ⊥ d [gt]
Suy ra: BB’ // CC’
Tứ giác BB’CC’ là hình thang
Kẻ MM’ ⊥ d
⇒ MM’ // BB’ // CC’
Nên MM’ là đường trung bình của hình thang BB’CC’
\[ \Rightarrow MM' = {{BB' + CC'} \over 2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 1 \right]\]
Xét hai tam giác vuông AA’O và MM’O:
\[\widehat {OA'A} = \widehat {OM'M}\]
AO = MO [gt]
\[\widehat {AOA'} = \widehat {MOM'}\] [đối đỉnh]
Do đó: ∆ AA’O = ∆ MM’O [cạnh huyền, góc nhọn]
⇒ AA’ = MM’ [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[{\rm{AA' = }}{{BB' + CC'} \over 2}\].
Câu 4.1 trang 85 Sách bài tập [SBT] Toán lớp 8 tập 1
Trên hình bs.1, ta có AB // CD // EF // GH và AC = CE = EG. Biết CD = 9, GH = 13. Các độ dài AB và EF bằng:
A. 8 và 10 B.6 và 12
C. 7 và 11 D. 7 và 12
Giải:
Chọn C. 7 và 11.
Câu 4.2 trang 85 Sách bài tập [SBT] Toán lớp 8 tập 1
Cho đường thẳng d và hai điểm A, B có khoảng cách đến đường thẳng d theo thứ tự là 20cm và 6cm. Gọi C là trung điểm của AB. Tính khoảng cách từ C đến đường thẳng d.
Giải:
a] Trường hợp A và B nằm trên một nửa mặt phẳng bờ chứa đường thẳng d.
Gọi A’, B’ là chân đường vuông góc kẻ từ A và B đến d
AA’ ⊥ d; BB’ ⊥ d ⇒ AA’ // BB’
Tứ giác ABB’A’ là hình thang. Kẻ CH ⊥ d
⇒ CH // AA’ // BB’ nên CG là đường trung bình của hình thang ABB’A’
\[ \Rightarrow CH = {{AA' + BB'} \over 2} = {{20 + 6} \over 2} = 13\,\,\left[ {cm} \right]\]
b] Trường hợp A và B nằm trên hai nửa mặt phẳng đối bờ chứa đường thẳng d
Kẻ CH ⊥ d cắt A’B tại K
⇒ CH // AA’ // BB’
Trong ∆ AA’B ta có: AC = CB
Mà CK // AA’ nên A’K = KB và CK là đường trung bình của tam giác AA’B
\[ \Rightarrow CK = {{AA'} \over 2}\] [tính chất đường trung bình của tam giác]
\[CK = {{20} \over 2} = 10\,\,\left[ {cm} \right]\]
Trong ∆ A’BB’ có A’K = KB và KH // BB’
Nên KH là đường trung bình của ∆ A’BB’
\[ \Rightarrow KH = {{BB'} \over 2}\] [tính chất đường trung bình của tam giác]
\[ \Rightarrow KH = {6 \over 2} = 3\,\,\left[ {cm} \right]\]
CH = CK – KH = 10 – 3 = 7[cm]
Câu 4.3 trang 85 Sách bài tập [SBT] Toán lớp 8 tập 1
Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = AB. Gọi K là giao điểm của DM và AC. Chứng minh rằng AK = 2KC.
Giải:
Gọi H là trung điểm của AK
Trong ∆ ADK ta có BH là đường trung bình của ∆ ADK.
⇒ BH // DK [tính chất đường trung bình của tam giác]
Hay BH // MK
Trong ∆ BCH ta có M là trung điểm của BC
MK // BH
⇒ CK = HK
AK = AH + HK = 2HK
Suy ra: AH = 2 CK.
Giaibaitap.me
Page 17
Câu 45 trang 85 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Dựng tam giác ABC vuông tại A, biết cạnh huyền BC = 5cm và \[\widehat B = {35^0}\].
Giải:
Cách dựng:
- Dựng đoạn BC = 5cm
- Dựng góc \[\widehat {CBx} = {35^0}\]
- Dựng CA ⊥ Bx ta có ∆ ABC dựng được.
Chứng minh: ∆ ABC có \[\widehat A = {90^0},\widehat B = {35^0}\], BC = 5cm. Thỏa mãn điều kiện bài toán.
Câu 46 trang 85 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Dựng tam giác ABC vuông tại A, biết cạnh huyền BC = 4,5cm và cạnh góc vuông AC = 2cm.
Giải:
Cách dựng:
- Dựng đoạn AC = 2cm
- Dựng góc \[\widehat {CAx} = {90^0}\]
- Dựng cung tròn tâm C bán kính 4,5cm cắt Ax tại B. Nối CB ta có ∆ ABC cần dựng
Chứng minh: ∆ ABC có \[\widehat A = {90^0}\], AC = 2cm, BC = 4,5cm. Thỏa mãn điều kiện bài toán.
Câu 47 trang 85 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Dựng góc \[{30^0}\] bằng thước và compa.
Giải:
Cách dựng:
- Dựng tam giác đều ABC
- Dựng tia phân giác AD của \[\widehat {BAC}\] ta có \[\widehat {BAD} = {30^0}\]
Chứng minh: ∆ ABC đều
\[ \Rightarrow \widehat {BAC} = {60^0}\]
\[\widehat {BAD} = {{\widehat {BAC}} \over 2}\] [tính chất tia phân giác]
\[ \Rightarrow \widehat {BAD} = {30^0}\]
Câu 48 trang 85 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Dựng hình thang cân ABCD [AB // CD], biết CD = 3cm, AC = 4cm, \[\widehat D = {70^0}\].
Giải:
Phân tích: Giả sử hình thang ABCD dựng được thỏa mãn điều kiên bài toán, ta thấy ∆ACD xác định được vì biết CD = 3cm, \[\widehat D = {70^0}\], AC = 4cm.
Ta cần xác định đỉnh B. Đỉnh B thỏa mãn hai điều kiện:
- Nằm trên tia Ay // CD
- B cách D một khoảng bằng 4 cm
Cách dựng:
- Dựng đoạn CD = 3cm
- Dựng góc \[\widehat {CDx} = {70^0}\]
- Trên nửa mặt phẳng bờ CD chứa tia Dx dựng cung tròn tâm C bán kính 4cm cắt Dx tại A.
- Dựng tia Ay // CD
- Trên nửa mặt phẳng bờ CD chứa điểm A, dựng cung tròn tâm D bán kính 4cm cắt Ay tại B
- Nối BC ta có hình thang ABCD cần dựng.
Chứng minh: Thật vậy theo cách dựng ta có AB // CD nên tứ giác ABCD là hình thang có CD = 3cm, \[\widehat {ADC} = {70^0}\], AC = BD = 4cm.
Vậy ABCD là hình thang cân.
Biện luận: ∆ ACD luôn dựng được nên hình thang ABCD luôn dựng được.
Bài toán có một nghiệm hình.
Giaibaitap.me
Page 18
Câu 49 trang 86 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Dựng hình thang ABCD [AB // CD], biết \[\widehat D = {90^0}\], AD = 2cm, CD = 4cm, BC = 3cm.
Giải:
Phân tích: Giải sử hình thang ABCD dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán.
Ta thấy ∆ ADC xác định được vì biết AD = 2cm, \[\widehat D = {90^0}\], DC = 4cm. Ta cần xác định đỉnh B. Đỉnh B thỏa mãn hai điều kiện:
- B nằm trên tia Ax // CD.
- B cách C một khoảng bằng 3cm.
Cách dựng:
- Dựng ∆ ADC biết AD = 2cm, \[\widehat D = {90^0}\], DC = 4cm.
- Dựng Ax ⊥ AD
- Dựng cung tròn tâm C bán kính bằng 3cm, cắt Ax tại B.
Nối BC ta có hình thang ABCD dựng được.
Chứng minh: Thật vậy theo cách dựng, ta có: AB // CD, \[\widehat D = {90^0}\]
Tứ giác ABCD là hình thang vuông.
Lại có AD = 2cm, CD = 4cm, BC = 3cm.
Hình thang dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán.
Biện luận: ∆ ADC dựng được, hình thang ABCD luôn dựng được.
Bài toán có hai nghiệm hình.
Câu 50 trang 86 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Dựng tam giác ABC cân tại A, biết BC = 3cm, đường cao BH = 2,5cm.
Giải:
Cách dựng:
- Dựng BH = 2,5cm
- Dựng \[\widehat {xBH} = {90^0}\]
- Dựng cung tròn tâm bán kính 3cm cắt Hx tại C
- Dựng BC
- Dựng đường trung trực BC cắt CH tại A
- Dựng AB, ta có ∆ ABC cần dựng.
Chứng minh: Ta có AC = AB [ tính chất đường trung trực]
Nên ∆ ABC cân tại A, BH ⊥ AC
Ta lại có BC = 3cm, BH = 2,5cm.
Vậy ∆ ABC dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán.
Câu 51 trang 86 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Dựng tam giác ABC, biết \[\widehat B = {40^0}\], BC = 4cm, AC = 3cm.
Giải:
Cách dựng:
- Dựng đoạn thẳng BC = 4cm
- Dựng góc \[\widehat {CBx} = {40^0}\]
- Dựng trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa tia Bx cung tròn tâm C bán kính 3cm cắt Bx tại A
- Kẻ AC, ta có tam giác ABC cần dựng.
Chứng minh: Thật vậy theo cách dựng ∆ ABC có BC = 4cm, \[\widehat B = {40^0}\], AC = 3cm.
Thỏa mãn điều kiện bài toán.
Bài toán có hai nghiệm hình.
Câu 52 trang 86 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Dựng hình thang ABCD [AB // CD], biết AD = 2cm, CD = 4cm, BC = 2,5cm, AC = 3,5cm
Giải:
Phân tích: Giả sử hình thang ABCD dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán. Tam giác ADC dựng được vì biết ba cạnh AD = 2cm, DC = 4cm, AC = 3,5cm.
Điểm B thỏa mãn hai điều kiện:
- B nằm trên đường thẳng đi qua A và song song với CD.
- B cách C một khoảng bằng 2,5cm
Cách dựng:
- Dựng ∆ ADC biết AD = 2cm, DC = 4cm, AC = 3,5cm
- Dựng tia Ax // CD. Ax nằm trong nửa mặt phẳng bờ AD chứa điểm C.
- Dựng cung tròn tâm C bán kính 2,5cm. Cung này cắt Ax tại B, nối CB ta có hình thang ABCD cần dựng.
Chứng minh:
Tứ giác ABCD là hình thang vì AB // CD
Hình thang ABCD có: AD = 2cm, CD = 4cm, AC = 3,5cm, BC = 2,5cm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Biện luận: ∆ ADC luôn dựng được nên hình thang ABCD dựng được.
Vì cung tròn tâm C bán kính 3cm cắt Ax tại hai điểm ta dựng được hai hình thang thỏa mãn bài toán.
Giaibaitap.me
Page 19
- Giải bài 48, 49, 50 trang 95, 96 Sách bài tập...
- Giải bài 44, 45, 46, 47 trang 95 Sách bài tập...
- Giải bài 55, 56, 57 trang 98 Sách bài tập Toán 8...
- Giải bài 51, 52, 53, 54 trang 97 Sách bài tập...
- Giải bài 1, 2, 3 trang 131, 132 Sách bài tập Toán...
- Giải bài 6, 7, 8, 9 trang 133 Sách bài tập Toán 8...
- Giải bài 20, 21, 22 trang 136, 137 Sách bài tập...
- Giải bài 17, 18, 19 trang 135, 136 Sách bài tập...
- Giải bài 13, 14, 15, 16 trang 134, 135 Sách bài...
- Giải bài 26, 27, 28 trang 138 Sách bài tập Toán 8...
Page 20
Câu 60 trang 86 Sách bài tập[SBT] Toán 8 tập 1
Cho tam giác ABC có\[\widehat A = {70^0}\], điểm M thuộc cạnh BC. Vẽ điểm D đối xứng với M qua AB, vẽ điểm E đối xứng với M qua AC.
a. Chứng minh rằng AD = AE
b. Tính số đo góc DAE.
Giải:
a. Vì D đối xứng với M qua trục AB
⇒ AB là đường trung trực MD.
⇒ AD = AM [tính chất đường trung trực] [1]
⇒ Vì E đối xứng với M qua trục AC
⇒ AC là đường trung trực của ME
⇒ AM = AE [ tính chất đường trung trực] [2]
⇒ Từ [1] và [2] suy ra : AD = AE
b. AD = AM suy ra ∆ AMD cân tại A có AB ⊥ MD
nên AB cũng là đường phân giác của góc MAD
\[ \Rightarrow {\widehat A_1} = {\widehat A_2}\]
AM = AE suy ra ∆ AME cân tại A có AC ⊥ ME nên AC cũng là đường phân giác của \[\widehat {MAE}\]
\[ \Rightarrow {\widehat A_3} = {\widehat A_4}\]
\[\widehat {DAE} = {\widehat A_1} + {\widehat A_2} + {\widehat A_3} + {\widehat A_4}\]
\[= 2\left[ {{{\widehat A}_2} + {{\widehat A}_3}} \right] = 2\widehat {BAC} = {2.70^0} = {140^0}\]
Câu 61 trang 87 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Cho tam giác nhọn ABC có\[\widehat A = {60^0}\], trực tâm H. Gọi M là điểm đối xứng với H qua BC.
a. Chứng minh ∆ BHC = ∆ BMC.
b. Tính \[\widehat {BMC}\]
Giải:
a. Vì M đối xứng với H qua trục BC
⇒ BC là đường trung trực của HM
⇒ BH = BM [ tính chất đường trung trực]
CH = CM [ tính chất đường trung trực]
Suy ra: ∆ BHC = ∆ BMC [c.c.c]
b. Gọi giao điểm BH với AC là D, giao điểm của CH và AB là E
H là trực tâm của ∆ ABC
⇒ BD ⊥ AC, CE ⊥ AB
Xét tứ giác ADHE ta có:
\[\widehat {DHE} = {360^0} - \left[ {\widehat A + \widehat D + \widehat E} \right] \]
\[= {360^0} - \left[ {{{60}^0} + {{90}^0} + {{90}^0}} \right] = {120^0}\]
\[\widehat {BHC} = \widehat {DHE}\] [đối đỉnh]
∆ BHC = ∆ BMC [chứng minh trên]
\[ \Rightarrow \widehat {BMC} = \widehat {BHC}\]
Suy ra: \[\widehat {BMC} = \widehat {DHE} = {120^0}\]
Câu 62 trang 87 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Cho hình thang vuông ABCD\[\left[ {\widehat A = \widehat D = {{90}^0}} \right]\]. Gọi điểm H la điểm đối xứng với B qua AD, I là giao điểm của CH và AD. Chứng minh rằng \[\widehat {AIB} = \widehat {DIC}\]
Giải:
B và H đối xứng qua AD.
I và A đối xứng với chính nó qua AD
Nên \[\widehat {AIB}\] đối xứng với \[\widehat {AIH}\] qua AD
\[ \Rightarrow \widehat {AIB} = \widehat {AIH}\]
\[\widehat {AIH} = \widehat {DIC}\][ đối đỉnh]
Suy ra: \[\widehat {AIB} = \widehat {DIC}\]
Câu 63 trang 87 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Cho hai điểm A, B thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy [AB không vuông góc với xy]. Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua xy, C là giao điểm của A’B và xy. Gọi M là điểm bất kì khác C thuộc đường thẳng xy. Chứng minh rằng AC + CB < AM + MB.
Giải:
Vì A’ đối xứng với A qua xy
⇒ xy là đường trung trực của AA’
⇒ CA’ = CA [tính chất đường trung trực]
MA = MA’ [tính chất đường trung trực]
AC + CB = A’C + CB = A’B [1]
MA + MB = MA’ + MB [2]
Trong ∆ MA’B ta có:
A’B < A’M + MB [bất đẳng thức tam giác] [3]
Từ [1], [2] và [3] suy ra: AC + CB < AM + MB
Giaibaitap.me
Page 21
Câu 53 trang 86 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Dựng hình thang cân ABCD[AB // CD], biết AD = 2cm, CD = 4cm, AC = 3,5cm.
Giải:
Phân tích: Giả sử hình thang ABCD dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán. Tam giác ADC dựng được vì biết ba cạnh AD = 2cm, CD = 4cm, AC = 3,5cm. Điểm B thỏa mãn 2 điều kiện:
- B nằm trên đường thẳng đi qua A và song song với CD
- B cách D một khoảng bằng 3,5 cm
Cách dựng:
- Dựng tam giác ADC biết AD = 2cm, AC = 3,5 cm, CD = 4cm
- Dựng tia Ax // CD, Ax nằm trong nửa mặt phẳng bờ AD chứa điểm C
- Dựng cung tròn tâm D bán kính 3,5cm. Cung này cắt Ax tại B. Nối CB ta có hình thang ABCD cần dựng.
Chứng minh:
Tứ giác ABCD là hình thang vì AB // CD.
AC = BD = 3,5 cm
Vậy hình thang ABCD là hình thang cân.
Hình thang cân ABCD có: AD = 2cm, CD = 4cm, AC = 3,5cm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Biện luận: Tam giác ADC luôn dựng được nên hình thang ABCD luôn dựng được. Cung tròn tâm D bán kính 3,5cm cắt Ax tại 1 điểm ta dựng được một hình thang thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 54 trang 86 Sách bài tập[SBT] Toán 8 tập 1
Dựng hình thang cân ABCD[AB // CD], biết hai đáy AB = 2cm, CD = 4cm, đường cao AH = 2cm.
Giải:
Phân tích: Giả sử hình thang ABCD dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán. Tam giác ADH dựng được vì biết hai cạnh góc vuông AH = 2cm và HD = 1cm, \[\widehat H = {90^0}\]. Vì đáy AB < CD nên \[\widehat D < {90^0}\]. Điểm H nằm giữa D và C.
Điểm C nằm trên tia đối tia HD và cách H
Điểm B thỏa mãn hai điều kiện:
- B nằm trên đường thẳng đi qua A và song song với DH.
- B cách A một khoảng bằng 2cm
Cách dựng:
- Dựng ∆ AHD biết \[\widehat H = 1V\], AH =2cm, HD = 1cm
- Dựng tia đối tia HD
- Dựng điểm C sao cho HC = 3cm
- Dựng tia Ax // DH, Ax nằm trên nửa mặt phẳng bờ AD chứa điểm H
- Dựng điểm B sao cho AB = 2cm. Nối CB ta có hình thang ABCD cần dựng.
Chứng minh:
Tứ giác ABCD là hình thang vì AB // CD
Kẻ BK ⊥ CD. Tứ giác ABKH là hình thang có hai cạnh bên song song
Nên : BK = AH và KH = AB
Suy ra: KC = HC – KH = HC – AB = 3− 2 = 1 [cm]
Suy ra: ∆ AHD = ∆ BKC [c.g.c] \[\Rightarrow \widehat D = \widehat C\]
Vậy hình thang ABCD là hình thang cân.
Hình thang cân ABCD có: AH = 2cm, đáy AB = 2cm, đáy CD = 4cm
Thỏa mãn điều kiện bài toán.
Biện luận: Tam giác AHD luôn dựng được nên hình thang ABCD luôn dựng được. Ta luôn dựng được một hình thang thỏa mãn điều kiện bài toán.
Câu 55 trang 86 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Dựng hình thang ABCD, biết hai đáy AB = 2cm, CD = 4cm, \[\widehat C = {50^0},\widehat D = {70^0}\].
Giải:
Phân tích: Giả sử hình thang ABCD thỏa mãn yêu cầu bài toán. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt CD tại E. Hình thang ABCE có hai cạnh bên song song nên AB = EC = 2cm do đó DE = 2cm
Tam giác ADE dựng được vì biết 2 góc kề với một cạnh.
Điểm C nằm trên tia DE cách D một khoảng bằng 4cm
Điểm B thỏa mãn hai điều kiện:
- B nằm trên đường thẳng đi qua A và song song với CD.
- B nằm trên đường thẳng đi qua C và song song với AE.
Cách dựng:
- Dựng tam giác ADE biết DE = 2cm, \[\widehat D = {70^0},\widehat E = {50^0}\]
- Dựng tia DE lấy điểm C sao cho DC = 4cm
- Dựng tia Ax // CD, Ax nằm trên nửa mặt phẳng bờ AD chứa điểm C
- Dựng tia Cy // AE, Cy nằm trên nửa mặt phẳng bờ CD chứa điểm A. Cy cắt Ax tại B. Hình thang ABCD cần dựng.
Chứng minh:
Tứ giác ABCD là hình thang vì AB // CD
CD = CE + ED ⇒ CE = CD – ED = 4 – 2 =2 [cm]
Hình thang ABCE có hai cạnh bên AE // CB
⇒ AB = CE = 2 [cm]
\[\widehat C = \widehat E = {50^0}\] [hai góc đồng vị]
\[\widehat D = {70^0}\]
Hình thang ABCD thỏa mãn điều kiện bài toán.
Biện luận: Tam giác ADE luôn dựng được, hình thang ABCD luôn dựng được. Ta dựng được một hình thang thỏa mãn điều kiện bài toán.
Câu 56 trang 86 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Dựng hình thang ABCD, biết hai đáy AB = 1cm, CD = 4cm, hai cạnh bên AD = 2cm, BC = 3cm.
Giải:
Phân tích: Giả sử hình thang ABCD dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán.
Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt CD tại E ta thấy tam giác AED xác định vì biết ba cạnh, ta cần xác định đỉnh B và C
- Đỉnh C nằm trên tia DE, cách D một khoảng bẳng 4cm
- Đỉnh B nằm trên đường thẳng đi qua A song song với đường thẳng DE và cách A một khoảng bằng 1cm.
Cách dựng:
- Dựng ∆ ADE biết AD = 2cm, DE = 3cm, AE = 3cm
- Trên tia DE dựng điểm C sao cho DC = 4cm
- Dựng đường thẳng đi qua A và song song với DC, lấy điểm B sao cho AB = 1cm. Nối BC ta có hình thang ABCD cần dựng
Chứng minh: Thật vậy theo cách dựng ta có AB // CD nên tứ giác ABCD là hình thang.
Ta có: AD = 2cm, DC = 4cm, AB = 1cm, hình thang ABCE có hai cạnh đáy AB = EC = 1cm nên BC = AE = 3cm.
Hình thang ABCD thỏa mãn điều kiện bài toán.
Biện luận: Tam giác ADE luôn dựng được nên hình thang ABCD dựng được, bài toán có một nghiệm hình.
Giaibaitap.me
Page 22
Câu 57 trang 86 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Dựng hình thang cân ABCD, biết hai đáy AB = 1cm, CD = 3cm, đường chéo BD = 3cm.
Giải:
Phân tích: Giả sử hình thang ABCD dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán.
Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt CD tại E. Tứ giác ABEC là hình thang có hai cạnh bên song song nên CE = AB = 1cm, BE = AC = 3cm
Tam giác BDE xác định được, ta cần xác định đỉnh C và A
- Đỉnh C nằm trên tia DE cách D một khoảng bẳng 3cm
- Đỉnh A nằm trên đường thẳng đi qua B và song song với CD, A cách C một khoảng bằng 3cm
Cách dựng:
- Dựng ∆ BDE biết BD = 3cm, BE = 3cm, DE = 4cm.
- Dựng điểm C trên tia DE sao cho DC = 3cm
- Dựng đường thẳng d đi qua B song song với CD
- Dựng cung tròn tâm C bán kính 3cm cắt đường thẳng d tại A.
Nối AD ta có hình thang ABCD dựng được.
Chứng minh: Thật vậy theo cách dựng ta có AB // CD.
Tứ giác ABCD là hình thang
CD = 3cm, AC = BD = 3cm. Vậy ABCD là hình thang cân
Thỏa mãn điều kiện bài toán.
Bài toán có một nghiệm hình.
Câu 58 trang 86 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Dựng tứ giác ABCD, biết AB = 2cm, AD = 3cm, \[\widehat A = {80^0},\widehat B = {120^0},\widehat C = {100^0}\].
Giải:
Cách dựng:
- Dựng ∆ ABD biết AB = 2cm, \[\widehat A = {80^0}\], AD = 3cm.
- Dựng \[\widehat {ABx} = {120^0}\]
- Trên nửa mặt phẳng bờ AD chứa đỉnh D dựng \[\widehat {ADy} = {60^0}\]. Dy cắt Bx tại C.
Chứng minh: Thật vậy theo cách dựng AB = 2cm, \[\widehat A = {80^0}\], AD = 3cm, \[\widehat B = {120^0}\]
\[\eqalign{& \widehat C = {360^0} - \left[ {\widehat A + \widehat B + \widehat D} \right] \cr
& = {360^0} - \left[ {{{80}^0} + {{120}^0} + {{60}^0}} \right] = {100^0} \cr} \]
Tứ giác ABCD dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán.
Câu 59 trang 86 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Dựng góc \[{75^0}\] bằng thước và compa.
Giải:
Cách dựng:
- Dựng tam giác ABC đều
- Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B dựng tia Ax ⊥ AC
- Dựng tia phân giác Ay của \[\widehat {xAB}\] ta có \[\widehat {CAy} = {75^0}\]
Chứng minh: thật vậy ∆ ABC đều nên \[\widehat {BAC} = {60^0},\widehat {xAC} = {90^0}\]
\[\eqalign{& \Rightarrow \widehat {BAx} = \widehat {xAC} - \widehat {BAC} = {90^0} - {60^0} = {30^0} \cr & \widehat {BAy} = {1 \over 2}\widehat {BAx} = {15^0} \cr
& \Rightarrow \widehat {CAy} = \widehat {BAC} + \widehat {BAy} = {60^0} + {15^0} = {75^0} \cr} \]
Giaibaitap.me
Page 23
Câu 64 trang 87 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Trên cạnh AB lấy điểm I, trên cạnh AC lấy điểm K sao cho AI = AK. Chứng minh rằng điểm I đối xứng với điểm K qua AH.
Giải:
∆ ABC cân tại A
AH ⊥ BC [gt]
Suy ra : AH là tia phân giác \[\widehat A\]
AI = AK [gt]
⇒∆ AIK cân tại A
AH là tia phân giác \[\widehat A\]
nên AH là đường trung trực của IK
Vậy I đối xứng với K qua AH.
Câu 65 trang 87 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Tứ giác ABCD có AB = BC, CD = DA [hình cái diều]. Chứng minh rằng điểm A đối xứng với điểm C qua đường thẳng BD.
Giải:
Ta có: BA = BC [gt]
Suy ra b thuộc đường trung trực của AC
DC = DA [gt]
Suy ra D thuộc đường trung trực của AC
mà B ≠ D nên BD là đường trung trực của AC
do đó A đối xứng với C qua trục BD.
Câu 66 trang 87 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Tam giác ABC có AB < AC. Gọi d là đường trung trực của BC. Vẽ điểm K đối xứng với điểm A qua đường thẳng d.
a. Tìm các đoạn thẳng đối xứng với đoạn thẳng AB qua d, đối xứng với đoạn thẳng AC qua d.
b. Tứ giác AKCB là hình gì? Vì sao?
Giải:
a. d là đường trung trực của BC nên B và C đối xứng qua d
K đối xứng với A qua d
nên đoạn thẳng đối xứng với đoạn AB qua d là đoạn KC
Đoạn thẳng đối xứng với đoạn AC qua d là đoạn KB
b. d là đường trung trực của BC [gt]
⇒ d ⊥ BC
A và K đối xứng qua d nên d là trung trực của AK
⇒ d ⊥ AK
Suy ra: BC // AK. Tứ giác ABCK là hình thang
AC và KB đối xứng qua d nên AC = BK.
Vậy hình thang ABCK là hình thang cân.
Câu 67 trang 87 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên đường phân giác của góc ngoài đỉnh C [M khác C]. Chứng minh rằng AC + CB < AM + MB.
Giải:
Trên tia đối tia CB lấy điểm E sao cho CE = CA. Nối MA, ME nên ∆ ACE cân tại C có CM là đường trung trực [tính chất tam giác cân]
⇒ MA = ME [ tính chất đường trung trực]
Ta có: AB + BC = BC + CE = BE [1]
MA + MB = MB + ME [2]
Trong ∆ MBE ta có: BE < MB + ME [ bất đẳng thức tam giác] [3]
Từ [1], [2] và [3] suy ra: AB + BC = MA + MB
Giaibaitap.me
Page 24
Câu 68 trang 87 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Trong các hình nét đậm vẽ trên giấy kẻ ô vuông ở hình 4, hình 5, hình nào có trục đối xứng ?
Giải:
Câu 70 trang 88 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Điền dấu “x” vào ô thích hợp:
| Câu khẳng định | Đúng | Sai |
| a. Tam giác có một trục đối xứng là tam giác cân | ||
| b. Tam giác có một trục đối xứng là hình thang cân |
Giải
| Câu khẳng định | Đúng | Sai |
| a. Tam giác có một trục đối xứng là tam giác cân | x | |
| b. Tam giác có một trục đối xứng là hình thang cân | x |
Câu 71 trang 88 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Chứng minh rằng giao điểm hai đường chéo của hình thang cân nằm trên trục đối xứng của hình thang cân.
Giải:
Hình thang cân ABCD có AB // CD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
Xét ∆ ADC và ∆ BCD:
AD = BC [ tính chất hình thang cân]
AC = BD [ tính chất hình thang cân]
CD cạnh chung
Do đó ∆ ADC = ∆ BCD [c.c.c]
\[ \Rightarrow {\widehat D_1} = {\widehat C_1}\]
⇒ ∆ OCD cân tại O
⇒ OC = OD nên O nằm trên đường trung trực của CD.
Trục đối xứng của hình thang cân là đường thẳng trung trực của hai đáy.
Vậy O thuộc trục đối xứng của hình thang cân.
Câu 72 trang 88 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Cho góc nhọn xOy, điểm A nằm trong góc đó. Dựng điểm B thuộc tia Ox, điểm C thuộc tia Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất.
Giải:
Cách dựng:
- Dựng điểm D đối xứng với A qua Ox
- Dựng điểm E đối xứng với A qua tia Oy
- Nối DE cắt Ox tại B, Oy tại C
Tam giác ABC là tam giác có chu vi nhỏ nhất.
Vì \[\widehat {xOy} < {90^0}\] nên DE luôn cắt Ox và Oy do đó ∆ ABC luôn dựng được.
Chứng minh:
Chu vi ∆ ABC bằng AB + BC + AC
Vì D đối xứng với A qua Ox nên Õ là đường trung trực của AD
⇒ AB = BD [ tính chất đường trung trực]
E đối xứng với A qua Oy nên Oy là đường trung trực của AE
⇒AC = CE [ tính chất đường trung trực]
Suy ra: AB + BC + AC = BD + BC + CE = DE [1]
Lấy B’ bất kì trên Ox, C’ bất kì trên tia Oy. Nối C’E, C’A, B’A, B’D.
Ta có: B’A = B’D [ tính chất đường trung trực]
C’A = C’E [tính chất đường trung trực]
Chu vi ∆ AB’C’ bằng AB’ + AC’ + B’C’ = B’D + B’C’ +C’E [2]
Vì DE ≤ B’D + B’C’ + C’E [dấu bằng sảy ra khi B’ trùng B. C’ trùng C]
nên chu vi của ∆ ABC ≤ chu vị của ∆ A’B’C’
Vậy ∆ ABC có chu vi bé nhất.
Giaibaitap.me
Page 25
- Giải bài 48, 49, 50 trang 95, 96 Sách bài tập...
- Giải bài 44, 45, 46, 47 trang 95 Sách bài tập...
- Giải bài 55, 56, 57 trang 98 Sách bài tập Toán 8...
- Giải bài 51, 52, 53, 54 trang 97 Sách bài tập...
- Giải bài 1, 2, 3 trang 131, 132 Sách bài tập Toán...
- Giải bài 6, 7, 8, 9 trang 133 Sách bài tập Toán 8...
- Giải bài 20, 21, 22 trang 136, 137 Sách bài tập...
- Giải bài 17, 18, 19 trang 135, 136 Sách bài tập...
- Giải bài 13, 14, 15, 16 trang 134, 135 Sách bài...
- Giải bài 26, 27, 28 trang 138 Sách bài tập Toán 8...
Page 26
- Giải bài 48, 49, 50 trang 95, 96 Sách bài tập...
- Giải bài 44, 45, 46, 47 trang 95 Sách bài tập...
- Giải bài 55, 56, 57 trang 98 Sách bài tập Toán 8...
- Giải bài 51, 52, 53, 54 trang 97 Sách bài tập...
- Giải bài 1, 2, 3 trang 131, 132 Sách bài tập Toán...
- Giải bài 6, 7, 8, 9 trang 133 Sách bài tập Toán 8...
- Giải bài 20, 21, 22 trang 136, 137 Sách bài tập...
- Giải bài 17, 18, 19 trang 135, 136 Sách bài tập...
- Giải bài 13, 14, 15, 16 trang 134, 135 Sách bài...
- Giải bài 26, 27, 28 trang 138 Sách bài tập Toán 8...