Đóng góp quan trọng nhất của Descartes với toán học là việc hệ thống hóa hình học giải tích, hệ các trục tọa độ vuông góc được mang tên ông. Qua công trình "Hình học" [1637], có thể coi ông là cha đẻ của môn hình học giải tích.
Ông là nhà toán học đầu tiên phân loại đường cong dựa theo tính chất của các phương trình tạo nên chúng. Ông cũng có những đóng góp vào lý thuyết về đẳng thức.
Descartes cũng là người đầu tiên dùng các chữ cái cuối cùng của bảng chữ cái để chỉ ẩn số và dùng các chữ cái đầu tiên của bảng chữ cái để chỉ giá trị đã biết. Ông đã sáng tạo ra hệ thống ký hiệu để mô tả lũy thừa của các số [chẳng hạn trong biểu thức x²].
Mặt khác, chính ông đã thiết lập ra phương pháp, gọi là phương pháp dấu hiệu Descartes, để tìm số nghiệm âm, dương của bất cứ phương trình đại số nào.
Hệ tọa độ Descartes trên mặt phẳng. Ảnh: Wikipedia.
Theo sách Từ điển Danh nhân thế giới [bản dùng cho nhà trường, NXB Giáo dục 2003], những tác phẩm của nhà bác học này đã hình thành nên học thuyết Descartes, tóm tắt như sau:
- Để tìm chân lý phải căn cứ trên các chứng cứ trực tiếp, không thể phủ nhận được.
- Cần phân biệt lý trí với vật chất. Lý trí là khả năng của con người biết tư duy. Vật chất là một bản thể tồn tại độc lập với lý trí.
- Khi tìm sự thật, chỉ nên tin vào lý trí mà thôi. Mà tiêu chuẩn của lý trí là sự hiển nhiên.
Cho đến nay, mặc dù cần bổ sung ít nhiều, thuyết Descartes vẫn còn nhiều giá trị ở các địa hạt ông đề cập đến. Tư duy có thể học được ở ông là cần nghi ngờ mọi thứ, vì con người có thể tìm được sự thật sau khi nghi ngờ được giải đáp.
CHƯƠNG 1: KHÔNG GIAN VÉCTƠ....................................................................................................................
I- Vecto và các phép toán: ...................................................................................................................................
Lời
Cuốn tiểu luận được biên soạn theo chương trình Hình học giải tích trong chương trình giảng dạy ở
trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minhốn tiểu luận được chia làm ba chương lớn:
Chương 1: Nhắc lại kiến thức về vectơ.
Chương 2: Đường bậc hai[Xét trong mặt phẳng]
Chương 3: Mặt bậc hai [Xét trong không gian]
Chương 1: Nhắc lại các khái niệm về vectơ, các phép toán liên quan đến vectơ một cách tổng quát và
cụ thể nhất để làm nền tảng lý thuyết và ứng dung cho các chương sau. Chương này chủ yếu là lý thuyết
song sau mỗi định lý quan trọng chúng tôi đều đưa ra các ví dụ cụ thể để thấy rõ ứng dụng và khắc sâu
kiến thức.
Chương 2: Mở rộng về đường bậc hai mà ta chỉ xét trong mặt phẳng Oxyác khái niệm, định nghĩa
tưởng chừng rất quen thuộc từ thời phổ thông như tiếp tuyến, tiệm cận, tâm hay đường kính đều được
nói đến một cách tổng quát và có phần mới mẻ, kĩ lưỡng hơn.Để người đọc nắm kĩ kiến thức, các bài tập
được phân theo dạng và có phương pháp cụ thể cho mỗi dạng sau đó là phần bài tập ứng dụng có lời
giải.
Chương 3: Đề cập tới khái niệm hoàn toàn mới mẻ:Mặt bậc hai nhiên với nhiều nét có phần giống
với kiến thức phần bậc hai nên ở phần này chúng tôi đi sâu vào khái niệm mặt kẻ và đường sinh.Để mô
phỏng rõ tính chất hình học, mỗi loại mặt bậc hai đều có hình vẽ minh họa trực quan sinh động dễ hiểu.
Xin cảm ơn tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh đã giúp đỡ tận tình chúng tôi trong quá trình thực hiện tiểu luận
này. Xin cảm ơn các tác giả những tài liệu tham khảo mà chúng tôi đã sử dụng. Trong quá trình thực
hiện tiểu luận còn có một vài sai sót, xin bạn đọc thông cảm.
Xin trân trọng cảm ơn quý bạn đọc.
LỊCH
SỬ
MÔN
HỌC
Descartes là nhà toán học đầu tiên của nhân loại đưa ra phương pháp xác định tọa độ một điểm bằng
hệ trục vuông góc mà mọi học sinh phổ thông đều đã quen biết với tên gọi "Hệ tọa độ Descartes".
Descartes đã chứng tỏ được khi một điểm chuyển động vạch nên một đường thì mối quan hệ giữa các
tọa độ x,y của nó thể hiện bằng f[x,y] = 0. Ý tưởng vĩ đại này sản sinh ra môn hình học giải tích. Triết
học gọi đây là mối quan hệ biện chứng trong toán học.
Từ khi có hình học giải tích, việc nghiên cứu hình học đã qua được một chặng đường dài phát triển.
Vinh quang mà người đời dành cho Descartes là ở phương pháp luận nghiên cứu khoa học của ông, mà
thể hiện tiêu biểu chính là hình học giải tích.
CHƯƠNG 1: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
Kiến thức cơ bản :
I- Vecto và các phép toán:
- Định nghĩa : AB
là một đoạn thẳng có định hướng.
- Hai vacto bằng nhau : có cùng hướng và cùng độ dài.
- Hai vecto đối nhau : ngược hướng và cùng độ dài.
- Cộng vecto : ta có
A B C , , ta có : AC AB BC
*Nếu ABCD là hình bình hành thì : AB AD AC
Tính chất :
a b b a
[giao hoán ]
[ ] a b c a [ ] b c
[kết hợp ]
a 0 a
[phép cộng có phần tử trung hòa: phần tử không ]
a [ ] 0 a
[cộng với phần tử đối ]
*Hai vecto đối nhau là 2 vecto cùng phương, ngược chiều, modum bằng nhau.
- Hiệu 2 vecto : OB OA AB
- Tích một số thực với một vecto :
b k a b k a
và
a b ,
cùng hướng nếu k 0
a b ,
ngược hướng nếu k 0
a
cùng phương b k R b k a :
Tính chất :
m a b [ ] ma mb
[phép nhân vô hướng có tính phân phối đối với phép cộng trong không gian
vecto ]
[ m n a ma na ]
[phép nhân vô hướng có tính phân phối đối với phép cộng các số thực ]
m na [ ] [ ] mn a
[phép nhân vô hướng có tính kết hợp]
1 a a
- Tích vô hướng :
- Vecto đồng phẳng : 3 vecto đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng :
Với
a b c , ,
đồng phẳng
m n , : c ma nb
- Phân tích một vecto theo một vecto không đồng phẳng :
Với
a b c , ,
không đồng và vecto e
, có duy nhất 3 số thực 1 2 3
x x x , , :
e x a x b x c 1 2 3
III- Hệ tọa độ, hệ tọa độ của vecto va của điểm:
- Hệ tọa độ : Hai trục x’Ox, y’Oy vuông góc với nhau tạo nên hệ trục tọa độ Đề-các Oxy : O là
gốc tọa độ, x’Ox là trục hoành và y’Oy là trục tung. Trong đó :
i 1,0 , j 0,
là các
vecto đơn vị trên các trục. Ta có :
i j 1,. 0 i j
- Tọa độ của vecto :
u x y , u xi y j
- Tọa độ của điểm :
OM x y , M x y ,
. Trong đó x là hoành độ, y là tung độ của M.
- Các kết quả : Trong hệ tọa độ Oxy, cho
A x y A ; , B B x yB ; B và các vecto
a a a 1 2; , b b b 1 2;
. Ta có :
1 1 2 2
1 2
1 1 2 2
] ;
] ; ,
].
a a b a b a b
b k a k a k a k
c a b a b a b
Hệ quả :
#######
2 2 1 2
1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2
1 1 2 2
2]cos ; .
3]. 0
a a a
a b a b a b a a b b
a b a b a b
d a b ] a 1 b a 1 2, b 2
e]
a b ,
cùng phương
1 2
1 2
1 2
1 2
:
0
b b k b k a a a
a a
b b
f]Tọa độ của vecto
AB xB x yA ; B xA
g]Khoảng cách :
2 2 B A B A AB AB x x y y
h]Điểm M chia AB theo tỉ số k [k khác 1] MA k MB
. Khi đó,tọa độ của M tính bởi:
;
A B A B M M
x kx y ky x y l k l k
M là trung điểm AB ta có :
; 2 2
A B A B M M
x x y y x y
- Kiến thức về tam giác :
Cho
A x y A ; , A B x yB ; , B C x yC ;. C
a]Trọng tâm của tam giác [giao các đường trung tuyến ] :
G là trọng tâm tam giác ABC :
; 3 3
A B C A B C G G
x x x y y y x y
b]Trực tâm của tam giác [giao các đường cao ] :
H là trực tâm của tâm giác
. 0
. 0
AH BC AH BC
BH CA BH CA
c]Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác [ giao của các đường trung trực ] :
I[a;b] là tâm của ABC AI BI CI R [R là bán kính của đường tròn ngoại
tiếp ABC ].
Giải hệ
2 2 2 2 AI BI CI R suy ra tọa độ tâm I.
d]Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác [ giao của các đường phân giác trong của các góc tam
giác ].
Tâm K của đường tròn nội tiếp tam giác ABC tìm được khi thực hiện hai lần công
thức điểm chia đoạn theo tỉ số k :
Vì
1
DB AB k DC AC
nên D chia BC theo tỉ số 1
k , suy ra tọa độ điểm D.
Vì
2
KA BA k KD BD
nên K chia AD theo tỉ số 2
k , suy ra tọa độ điểm K.
e]Diện tích tam giác :
2 2 2
1 1 1 ... 2 2 2
1 1 1 sin sin sin 2 2 2
[ ][ ][ ] 4
1 1 . [. ] det[ , ] 2 2
a b c S a h b h c h
S ab C ac B bc A
abc S pr p p a p b p c R
S AB AC AB AC AB AC
Trong đó :
1 2 1 2 2 1 1 2
det[ , ]
a a AB AC a b a b b b
với 1 2 1 2
AB [ ; ], a a AC [ ; ]. b b
IV- Phương trình đường thẳng:
1.Định nghĩa : Cho các vecto
u n , 0.
u
là một vecto chỉ phương của đường thẳng d khi u
nằm trên 1 đường thẳng song
song hoặc trùng với d.
n
là một vecto pháp tuyế của đường thẳng d khi n
nằm trên một đường thẳng
vuông góc với d. Mọi vecto pháp tuyến của d đều có dạng
k n k ,[ 0]
.
Một đường thẳng d hoàn toàn được xác định khi biết o
M d và một vecto chỉ
phương u
hoặc một vecto pháp tuyến n
của d.
- Phương trình tổng quát của đường thẳng :
- Hệ quả : Nếu 11112222
d A x B y C : 0, : d A x B y C 0 cắt nhau tại 1 2 2 1
I A B [ A B ]
thì phương trình các phân giác tạo bởi 1 2
d d , là :
1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2
A x B y C A x B y C
A B A B
VII- Hệ tọa độ de-cac, tọa độ của vecto và điểm:
Hệ tọa độ Đề-các vuông góc trong không gian :
Ba trục tọa độ x’Ox, y’Oy, z’Oz vuông góc đôi một tạo nên hệ trục tọa độ Oxyz với Ox là
trục hoành, Oy là trục tung và Oz là trục cao, trên Ox, Oy, Oz lần lượt có các vecto đơn vị
i [1,0,0], [0,1,0], [0,0,1] j k
Tọa độ của vecto :
u [ , , ] x y z u xi y j zk
Tọa độ của điểm :
M [ , , ] x y z OM [ , , ] x y z
x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ của M.
Các kết quả : Trong hệ Oxyz cho
A x y z [ ; ; ] A A A và
B x y z [ ; ; ] B B B và 1 1 1
a [ ; ; ] x y z
,
b [ ; ; ] x y z 2 2 2
. Ta có :
1 2 1 2 1 2
a b [ x x y ; y z ; z ]
123
k a [ ; ; ] kx kx kx
Tích vô hướng : 1 2 1 2 1 2
a b x x. y y z z
Hệ quả :
2 2 2 a x 1 y 1 z 1
1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2
cos[ ; ] .
x x y y z z a b x y z x y z
1 2 1 2 1 2
a b x x y y z z 0
a b ,
cùng phương
1 1 1
2 2 2
:
x y z k b k a x y z
Tọa độ Vecto :
AB [ xB x yA ; B y zA ; B zA ]
Khoảng cách :
2 2 2 AB [ xB xA ] [ yB yA ] [ zB zA ]
Điểm M chia AB theo tỉ số k
[ 1] [ 1]. 1
OA kOB k MA k MB OM k k
Khi đó tọa độ M sẽ là :
1
1
1
A B M
A B M
A B M
x kx x k
y ky y k
z kz z k
M là trung điểm AB :
2
2
2
A B M
A B M
A B M
x x x
y y y
z z z
VIII- Tích có hướng của 2 vecto và ứng dụng :
Tích có hướng của 2 vecto :
Định nghĩa : Cho 1 1 1 2 2 2
a [ ; ; ], [ ; ; ] x y z b x y z
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
, ; ;
y z z x x y a b y z z x x y
Các tính chất :
a
cùng phương
b a b , 0
a b , a
và
a b , a b. .sin[ , ] a b
Diện tích tam giác :
1 , 2
ABC S AB AC
Thể tích :
Hình hộp :
. ' ' ' ' , ' ABCD A B C D V AB AD AA
Tứ diện :
1 , 6
VABCD AB AD AD
Điều kiện 3 vecto đồng phẳng :
a b c , ,
đồng phẳng
a b c ,. 0
A, B, C, D đồng phẳng
AB AC AD , . 0
IX- Khoảng cách
- Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng :
Khoảng cách từ điểm 0 0 0
M x y z [ ; ; ] đến mặt phẳng
[ ] : Ax+By+Cz+D=0 là :
0 0 0 2 2 2
[ ,[ ]]
Ax By Cz D d M A B C
- Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng :
Khoảng cách từ điểm 1
M đến đường thẳng
[ ] đi qua điểm 0
M và có VTCP u
là :
01 1
, [ , ]
M M u d M u
Trong [Oxy], tập hợp các điểm M[x;y] có tọa độ thỏa mãn phương trình F[x;y]=0. Khi đó ta nói
F[x;y]=0 là phương trình đường cong [C] hay [C] có phương trình là F[x;y]=0.
Vậy phương trình tổng quát của một đường bậc 2 bất kì là:
A x
2 2 Bxy Cy
2 2 Dx 2 Ey F 0. Với [ A ; B ; C ] [0;0; 0]
II-Công thức đổi tọa độ và 2 cách đổi trục tọa độ: Phép tịnh tiến và phép quay
- Công thức đổi tọa độ [đổi mục tiêu].
Xét trong cả hệ tọa độ trực chuẩn và afin.
Trong mặt phẳng.
●Lưu ý: [x ; y ] là tọa độ điểm O’ trong mục tiêu 1, tương tự, tọa độ
[ a ; a ],
[ b ; b ] là tọa độ trong mục tiêu 1.
► Hướng giải quyết vấn đề: Ta làm sao biểu diễn tọa độ M[x;y] theo tọa độ M[x’;y’].
e [ a ; a ] e a e a e
- Ta có:
1 1 2
1 1
1 2
2
e 2 [ b 1 ; b 2 ] e 2 b 1 e 1 b 2 e 2
- Trong mục tiêu 1: OM [ x ; y ] , [O[0;0]].
Do đó: OM x 1 e 1
x 2 e 2
[1]
- Trong mục tiêu 2: O ' M [ x '; y '] , [O’[0;0]]. Do đó: O M x '
y '
.
- Ta có: OM OO ' O
' M
x 0 e 1 y 0 e 2 x ' e 1 y ' e 2 x 0 e 1 y 0 e 2 x '[ a 1 e 1 a 2 e 2 ] y
'[ b 1 e 1 b 2 e 2 ]
[ x 0 a 1 x ' b 1 y '] e 1 [ y 0 a 2 x
' b 2 y '] e 2
[2]
x x a x ' b y '
Từ [1] và [2] ta được: 011 [ I ].
y y 0 a 2 x ' b 2 y
Mục tiêu 1: [ O ; 1
e
; 2
e
] Mục tiêu 2: [ O ;
e 1
; 2
e
]
M[x;y] O’[x 0 ;y 0 ] e 1 [ a 1 ; a 2 ]
e 2 [ b 1 ; b 2 ]
M[x’;y’]
0 0 e 1 1 2 e 2 1 2
e 1
Trong không gian:
e 1 a 1 e 1 a 2 e 2 a 3 e 3
e 2 1 e 1 2 e 2 3 e 3
e 3 c 1 e 1 c 2 e 2 c 3 e 3
Trong mục tiêu 1: OM x
Trong mục tiêu 2: O M
x
y
z
.
[1]
Ta có: OM OO O M
0 e 1 0 e 2 0 e 3 e 1 e 2 e 3
x 0 e 1 y 0 e 2 z 0 e 3 x '[ a 1 e 1 a 2 e 2 a 3 e 3 ] y '[ b 1 e 1 b 2 e 2 b 3 e 3 ] z '[ c 1 e 1
c 2 e 2 c 3 e 3 ]
[ x 0 a 1 x ' b 1 y ' c 1 z '] e 1 [ y 0 a 2 x ' b 2 y ' c 2 z '] e 2 [ z 0 a 3 x ' b 3 y
Giải tích có nghĩa là gì?
Giải tích là phân chia một vấn đề phức tạp thành những phần nhỏ hơn để hiểu tốt hơn vấn đề đó. Giải tích có thể đề cập đến: Giải tích toán học, còn gọi đơn giản là giải tích.
Ai là người sáng tạo ra môn hình học giải tích?
Đóng góp quan trọng nhất của Descartes với toán học là việc hệ thống hóa hình học giải tích, hệ các trục tọa độ vuông góc được mang tên ông. Qua công trình "Hình học" [1637], có thể coi ông là cha đẻ của môn hình học giải tích.
Giải tích học những gì?
Giải tích toán học hay gọi ngắn là giải tích [Tiếng Anh: calculus] là phân nhánh của toán học làm việc với hàm liên tục, giới hạn và các lý thuyết liên quan như đạo hàm, tích phân, đo lường, chuỗi vô hạn và các hàm giải tích. Khu vực hấp dẫn kỳ lạ phát sinh từ một phương trình vi phân.
Bài toán giải tích là gì?
Toán giải tích là một học phần của Toán cao cấp, đề cập đến các vấn đề cơ bản về giải tích toán học như hàm nhiều biến, phương trình vi phân, chuỗi số và chuỗi hàm, tích phân bội, tích phân đường và tích phân mặt.