Hướng dẫn tìm tập xác định của hàm số

Tập xác định của một hàm số là tập hợp các giá trị làm cho hàm số có nghĩa. Nói cách khác, đây là tập hợp các giá trị x mà bạn có thể thay vào bất kỳ phương trình cho trước nào và tính được giá trị y tương ứng. Nếu xem x là giá trị đầu vào thì y là giá trị đầu ra và tập hợp y được gọi là tập giá trị [hay phạm vi] của hàm số. Để tìm tập xác định của một hàm số trong nhiều trường hợp khác nhau, hãy tiến hành theo những bước dưới đây.

1. 1

   Bạn cần hiểu khái niệm của tập xác định. Tập xác định là tập hợp các giá trị đầu vào để hàm số sinh ra giá trị đầu ra. Nói cách khác, tập xác định là tất cả các giá trị của x mà khi thay vào hàm sẽ tính được giá trị y tương ứng.

2. 2

   Học cách tìm tập xác định của nhiều hàm số. Loại hàm số sẽ giúp chúng ta biết được cách nhanh nhất để tìm tập xác định. Sau đây là những kiến thức cơ bản về các dạng hàm số mà bạn cần biết:

   • Hàm đa thức không có căn thức hoặc biến số trong mẫu. Với hàm số dạng này, tập xác định là toàn bộ số thực.
   • Hàm phân thức với biến số trong mẫu. Để tìm tập xác định của dạng hàm số này, hãy đặt mẫu số bằng 0 rồi loại trừ giá trị x mà bạn tìm được khi giải phương trình.
   • Hàm căn thức với biến số nằm trong dấu căn. Để tìm tập xác định của dạng hàm số này, chỉ cần đặt số hạng trong dấu căn >0 và giải để tìm các giá trị x.
   • Hàm logarit tự nhiên [ln]. Hãy đặt các số hạng trong dấu ngoặc >0 và giải để tìm x.
   • Đồ thị. Đồ thị sẽ thể hiện các giá trị x nằm trong đó.
   • Mối liên hệ giữa x và y. Đây là danh sách các cặp tọa độ x và y. Tập xác định cũng chính là danh sách các tọa độ x.

3. 3

   Kết luận chính xác tập xác định. Ký hiệu của tập xác định rất dễ học, nhưng quan trọng là bạn phải viết đúng để kết luận đáp án chính xác và đạt điểm tối đa khi làm bài tập cũng như kiểm tra. Sau đây là một số điều cần biết về cách viết tập xác định của hàm số:

   • Định dạng khi viết tập xác định là dấu ngoặc vuông/ngoặc đơn mở, giá trị đầu và giá trị cuối của miền được phân tách bằng dấu chấm phẩy, sau cùng là dấu ngoặc vuông/ngoặc đơn đóng.[1] X Nguồn nghiên cứu Đi tới nguồn
     • Ví dụ: [-1; 5]. Tập xác định này đi từ -1 đến trước 5.
   • Dấu ngoặc vuông [ và ] thể hiện rằng số nào đó được bao gồm trong tập xác định.
     • Vậy trong ví dụ [-1; 5], tập xác định bao gồm -1.
   • Dấu ngoặc đơn [ và ] thể hiện rằng số nào đó không bao gồm trong tập xác định.
     • Vậy trong ví dụ [-1; 5], 5 không nằm trong tập xác định. Tập xác định sẽ dừng lại một cách tùy ý ngay trước 5, chẳng hạn như tại 4,999…
   • Ký hiệu “U” [nghĩa là "hợp"] được dùng để liên kết các phần trong tập xác định bị chia cắt bởi khoảng trống.'
     • Ví dụ: [-1; 5] U [5; 10]. Tập xác định này bao gồm các giá trị từ -1 đến 10, ngoại trừ khoảng trống tại 5. Đây có thể là tập xác định của hàm số nào đó với mẫu số “x - 5”.
     • Nếu tập xác định có nhiều khoảng trống, bạn có thể sử dụng ký hiệu "U" bất cứ khi nào cần thiết.
   • Sử dụng dấu vô cực âm và dương để thể hiện rằng tập xác định kéo dài đến vô tận theo hướng nào đó.
     • Luôn sử dụng dấu [ ] với ký hiệu vô cực [không phải [ ]].
   • Lưu ý: Định dạng và các ký hiệu này có thể khác nhau tùy vào nơi mà bạn sống.
     • Những quy tắc trong bài viết được áp dụng tại Việt Nam.
     • Một số quốc gia khác sử dụng mũi tên thay vì dấu vô cực để thể hiện rằng tập xác định còn tiếp tục đến vô cùng theo hướng nào đó.
     • Cách viết tập xác định trong dấu ngoặc cũng khác nhau tùy theo khu vực. Tại Vương quốc Anh và Hoa Kỳ, giá trị đầu và giá trị cuối của tập xác định được phân tách bằng dấu phẩy.

1. 1

   Viết lại đề bài. Ví dụ như tìm tập xác định của hàm số sau:

2. 2

   Đối với hàm phân thức có biến số dưới mẫu, hãy đặt mẫu thức bằng 0. Vì không thể thực hiện phép chia cho 0 nên khi tìm tập xác định của hàm phân thức, bạn cần loại trừ tất cả giá trị x làm cho mẫu thức bằng 0. Tiến hành viết lại mẫu số dưới dạng phương trình bằng 0.[2] X Nguồn nghiên cứu Đi tới nguồn Trong ví dụ trên, ta có:

   • f[x] = 2x/[x2 - 4]
   • x2 - 4 = 0
   • [x - 2 ][x + 2] = 0
   • x ≠ [2; - 2]

3. 3

   Kết luận tập xác định như sau:

   • x là tất cả số thực, ngoại trừ 2 và -2 hay x ∈ R \ {-2; 2}

1. 1

   Viết lại đề bài. Ví dụ như tìm tập xác định của hàm số sau: Y =√[x-7]

2. 2

   Vì không số âm nào có căn bậc hai thực nên số hạng nằm trong dấu căn phải lớn hơn hoặc bằng 0. Hãy viết lại biểu thức trong dấu căn dưới dạng phương trình lớn hơn hoặc bằng 0.[3] X Nguồn nghiên cứu Đi tới nguồn Cách này áp dụng được với tất cả căn bậc chẵn, không chỉ riêng căn bậc hai. Lưu ý: số thực âm vẫn có căn bậc lẻ nên bạn không thể áp dụng cách này. Tiếp tục ví dụ trên, ta có:

3. 3

   Cô lập biến số. Để tìm x, bạn chỉ cần cộng 7 vào cả hai vế để cô lập biến số x nằm bên trái phương trình:[4] X Nguồn nghiên cứu Đi tới nguồn

4. 4

   Kết luận chính xác tập xác định. Vậy tập xác định của hàm số là:

5. 5

   Tìm tập xác định của hàm căn thức bậc hai với nhiều nghiệm. Ví dụ hàm số: Y = 1/√[ ̅x2 -4]. Để tìm tập xác định, tiến hành bình phương mẫu thức và đặt phương trình bằng 0. Sau khi giải phương trình, ta có x ≠ [2; - 2].

   • Kiểm tra miền từ -2 trở về trước [chẳng hạn như thay -3 vào] xem liệu tập xác định này có thể làm cho mẫu thức lớn hơn 0 hay không. Thay -3 vào mẫu thức, ta có:
     • [-3]2 - 4 = 5 > 0. Vậy tập xác định [-∞; -2] thỏa điều kiện.
   • Tiếp tục kiểm tra miền từ -2 đến 2. Bạn có thể chọn x = 0.
     • 02 - 4 = -4, vậy miền từ -2 đến 2 không làm mẫu thức lớn hơn 0.
   • Bây giờ, kiểm tra với các số lớn hơn 2 [chẳng hạn như 3].
     • 32 - 4 = 5 > 0. Vậy tập xác định [2; +∞] thỏa điều kiện.
   • Kết luận tập xác định. Vậy tập xác định của hàm số là:

1. 1

   Viết lại đề bài. Chẳng hạn, hãy tìm tập xác định của hàm số:

2. 2

   Viết phương trình với biểu thức trong dấu ngoặc đơn lớn hơn 0. Vì hàm log được xác định cho tất cả số dương[5] X Nguồn nghiên cứu Đi tới nguồn , nên bạn cần viết lại biểu thức trong dấu ngoặc đơn thành phương trình lớn hơn 0. Ở ví dụ trên, ta có:

3. 3

   Giải phương trình. Bây giờ, bạn chỉ cần tìm x bằng cách cộng thêm 8 vào hai vế phương trình để cô lập biến số như sau[6] X Nguồn nghiên cứu Đi tới nguồn :

4. 4

   Kết luận tập xác định. Tập xác định của phương trình này là tất cả các số từ 8 đến dương vô cực[7] X Nguồn nghiên cứu Đi tới nguồn :

1. 1

   Nhìn vào đồ thị.

2. 2

   Xác định các giá trị x nằm trong đồ thị.[8] X Nguồn nghiên cứu Đi tới nguồn Sau đây là một số mẹo dành cho bạn:

   • Đồ thị đường thẳng. Nếu đồ thị có dạng đường thẳng nằm nghiêng kéo dài vô tận về hai hướng thì tất cả các giá trị x đều sẽ nằm trong đó, vậy tập xác định của trường hợp này là toàn bộ số thực.
   • Đồ thị parabol thông thường. Nếu đồ thị là đường parabol với bề lõm hướng lên hoặc xuống, tập xác định của hàm số sẽ là tất cả số thực vì suy cho cùng thì toàn bộ tọa độ x đều sẽ được bao phủ.
   • Đồ thị parabol nằm ngang. Nếu đồ thị có hình parabol nằm ngang với đỉnh [4;0] và kéo dài sang phải đến vô cùng, tập xác định của hàm số sẽ là D = [4;∞]

3. 3

   Kết luận tập xác định. Chỉ cần kết luận tập xác định dựa vào loại đồ thị mà bạn đã xác định. Nếu bạn có phương trình đường thẳng và muốn kiểm tra lại cho chắc, hãy thay tọa độ x vào hàm số và tính xem có đúng không.[9] X Nguồn nghiên cứu Đi tới nguồn

1. 1

   Viết ra các cặp tọa độ. Đây đơn giản là tập hợp các cặp số cho trước. Ví dụ: {[1; 3]; [2; 4]; [5; 7]}

2. 2

   Viết ra các tọa độ x. Trong ví dụ trên, ta có các giá trị x là 1, 2 và 5.[10] X Nguồn nghiên cứu Đi tới nguồn

3. 3

   Kết luận tập xác định. Vậy tập xác định là D = {1; 2; 5}

4. 4

   Kiểm tra để chắc chắn rằng các cặp số đã cho là một hàm số. Để thỏa điều kiện là một hàm số, mỗi khi thay một tọa độ x bạn sẽ nhận được một tọa độ y tương ứng. Nếu như bạn thay x = 3, ta sẽ có y = 6, vân vân. Vậy các cặp tọa độ {[1; 3]; [2; 4]; [5; 7]} không phải là một hàm số vì với tọa độ x = 1, có đến hai giá trị tương ứng của y là 4 và 5. [11] X Nguồn nghiên cứu Đi tới nguồn