Khi nào sử dụng công thức nghiệm thu gọn

Xuất bản ngày 22/11/2019

Tham khảo lý thuyết công thức nghiệm thu gọn với phần tổng hợp kiến thức cơ bản cần nắm, tài liệu hữu ích cho các em học tốt môn Toán lớp 9.

Bạn đang tìm kiếm tài liệu tổng hợp kiến thức về công thức nghiệm thu gọn? Hãy tham khảo ngay bài viết dưới đây của Đọc tài liệu với những lý thuyết công thức nghiệm thu gọn cùng tổng hợp các dạng toán cơ bản thường gặp. Đây sẽ là tài liệu học tập hữu ích cho học sinh và đồng thời giúp các thầy cô có thêm tài liệu hay phục vụ việc dạy học.

Cùng tham khảo nhé!

I. Lý thuyết công thức nghiệm thu gọn

1. Nhắc lại công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Xét phương trình bậc hai 

và biệt thức

Trường hợp 1. Nếu thì phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2. Nếu thì phương trình có nghiệm kép: 

Trường hợp 3. Nếu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: 

2. Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai

Xét phương trình bậc hai với và biệt thức 

Trường hợp 1. Nếu thì phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2. Nếu thì phương trình có nghiệm kép

Trường hợp 3. Nếu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: 

II. Các dạng toán thường gặp về công thức nghiệm thu gọn

Dạng 1: Giải phương trình bậc hai một ẩn bằng cách sử dụng công thức nghiệm thu gọn

Phương pháp:

Xét phương trình bậc hai  với và biệt thức 

Trường hợp 1. Nếu thì phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2. Nếu  thì phương trình có nghiệm kép 

Trường hợp 3. Nếu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Dạng 2: Xác định số nghiệm của phương trình bậc hai

Phương pháp:

Xét phương trình bậc hai dạng  với 

+] Phương trình có nghiệm kép  

+] Phương trình có hai nghiệm phân biệt 

+] Phương trình vô nghiệm 

Dạng 3: Giải và biện luận phương trình bậc hai [dùng một trong hai công thức: công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn]

Phương pháp:

* Giải và biện luận phương trình bậc hai theo tham số m là tìm tập nghiệm của phương trình tùy theo sự thay đổi của .

Xét phương trình bậc hai với  [hoặc 

Trường hợp 1. Nếu hoặc thì phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2. Nếu  hoặc thì phương trình có nghiệm kép 

Trường hợp 3. Nếu hoặc thì phương trình có hai nghiệm phân biệt 

III. Bài tập về công thức nghiệm thu gọn

Xác định a, b', c rồi dùng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình:

a]  

b] 

Lời giải:

a]

Ta có: 

Suy ra 

Do đó phương trình có nghiệm kép:

b] 

Ta có: 

Suy ra 

Do đó phương trình vô nghiệm.

=>> Xem thêm nhiều bài tập khác trong toán 9 chương 4 bài 5 để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng làm bài

*****************

Hy vọng với hệ thống kiến thức lý thuyết công thức nghiệm thu gọn trên đây, các em sẽ có thêm một tài liệu học tập hữu ích để học tốt hơn môn Toán 9. Chúc các em luôn học tốt và đạt kết quả cao!

Table of Contents

Như các bạn đã biết công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, trường hợp nào thì phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép hay vô nghiệm ở các bài học trước. Trong nhiều trường hợp, khi giải phương trình bậc 2 nếu đặt  b = 2b' thì việc tính toán để giải phương trình sẽ dễ hơn rất nhiều. Khi đó, ta có công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc 2.

1. Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc 2

Đối với phương trình ax2 + bx + c = 0 [ a  0] và b = 2b';  ' = b'2 - ac

Nếu   ' > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x1 =  ; x2 =  

Nếu   ' = 0 thì phương trình có nghiệm kép:

x1 = x2 =  

Nếu   ' < 0 thì phương trình vô nghiệm

2. Các dạng toán cơ bản về công thức nghiệm thu gọn lớp 9

2.1. Dạng 1: Giải phương trình bậc hai sử dụng công thức nghiệm thu gọn

Bài 1: Sử dụng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình sau:

a] x2 - 4x - 5 = 0

b] x2 - 2x + 1 = 0

c] -2x2 + 6x - 9 = 0

a] x2 - 4x - 5 = 0  [ a = 1; b = -4; b' = -2; c = -5]

Ta có:   ' = b'2 - ac = [-2]2 - 1.[-5] = 9 > 0

Suy ra, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x1 =  = 5; x2 =  = -1

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S =  

b] x2 - 2x + 1 = 0 [a = 1; b = -2; b' = -1; c = 1 ]

Ta có:   ' = b'2 - ac = [-1]2 - 1.1 = 0 

Suy ra, phương trình có nghiệm kép:

x1 = x2 =  = 1

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S =  

c] -2x2 + 6x - 9 = 0 [ a = -2; b = 6;  b' = 3; c = -9] 

Ta có:   ' = b'2 - ac = 32 - [-2].[-9] = -9 < 0

 Suy ra phương trình vô nghiệm.

Bài 2: Sử dụng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình sau:

a] -x2 + 4x - 3 = 0

b] 3x2 - 6x = 0

c] x2 + 4 = 0

a]   -x2 + 4x - 3 = 0 [ a = -1 ; b = 4 ; b' = 2; c = -3]

Ta có:   ' = b'2 - ac = 22 - [-1].[-3] = 1 > 0

Suy ra, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x1 = = 1; x2 =  = 3.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S =  .

b]  3x2 - 6x = 0 [ a = 3; b = -6 ; b' = -3; c = 0 ]

Ta có:   ' = b'2 - ac = [-3]2 - 3.0 = 9 > 0

Suy ra, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x1 =  = 2; x2 =  = 0.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S =  .

c] x2 + 4 = 0 [ a = 1; b = 0; b' = 0; c = 4]

Ta có:   ' = b'2 - ac = 02 - 1.4 = -4 < 0

Suy ra, phương trình vô nghiệm.

2.2. Dạng 2: Tìm m thỏa mãn điều kiện cho trước

*Phương pháp giải: Xét phương tình dạng bậc hai: ax2 + bx + c = 0

1. Phương trình có hai nghiệm phân biệt  

2. Phương trình có nghiệm kép  

3. Phương trình vô nghiệm  

4. Phương trình có đúng một nghiệm  a = 0; b  0

Bài 1: Cho phương trình x2 - 2.[m + 4]x + m2 + 4 = 0 [ m là tham số]. Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Ta có: x2 - 2.[m + 4]x + m2 + 4 = 0 [ a = 1; b = - 2.[m + 4]; b = -[m + 4] ; c = m2 + 4]

   ' = b'2 - ac = [ -[m + 4]]2 - 1. [m2 + 4] = m2 + 8m + 16 - m2 - 4 = 8m + 12

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì   ' > 0

 8m + 12 > 0  8m > -12  m >  .

Vậy m >  thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Bài 2: Cho phương trình -x2 - 4[m + 1] x - 4m2 + 4 = 0 [ m là tham số]. Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm kép.

Ta có:  -x2 - 4[m+1] x - 4m2 + 4 = 0 [ a = -1 ; b = -4[m+1] ; b' = -2[m+1] ; c = -4m2 + 4]

   ' = b'2 - ac = [ -2[m + 1]]2 - [-1]. [-4m2 + 4] = 4m2 + 8m + 4 - 4m2 + 4 = 8m + 8

Để phương trình có nghiệm kép thì   ' = 0

 8m + 8 = 0  m = -1.

Vậy m = -1 thì phương trình đã cho có nghiệm kép.

Bài 3: Cho phương trình mx2 - 2[m + 1]x + m - 4 = 0 [ m là tham số]. Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Ta có: mx2 - 2[m + 1]x + m - 4 = 0  [ a = m; b = -2[m + 1]; b' = -[ m + 1]; c = m - 4]

  ' = b'2 - ac = [ -[m + 1]]2 - m. [m - 4] = m2 + 2m + 1 - m2 + 4m = 6m + 1

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

Vậy m  0; m >  thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Bài 4: Cho phương trình: [ m - 2]x2 - 2[m - 1]x + m - 1 = 0 [1] [ m là tham số]. Tìm giá trị của m để phương trình vô nghiệm.

Ta có: [ m - 2]x2 - 2[m - 1]x + m - 1 = 0 [ a = m - 2; b = -2[m - 1]; b' = -[m - 1]; c = m - 1]

Trường hợp 1: a = 0  m - 2 = 0  m = 2

Thay m = 2 vào phương trình [1] ta được:

-2[ 2 - 1]x + 2 - 1 = 0  -2x + 1 = 0  x =  

Suy ra, m = 2 loại

Trường hợp 2: a  0  m - 2  0  m   2 [ * ]

Khi đó, để phương trình vô nghiệm thì  

 b'2 - ac < 0  [ -[m - 1]]2 - [m - 2].[m - 1] < 0  m2 - 2m + 1 - m2 + 3m -2 < 0

 m - 1 < 0  m < 1

Kết hợp với điều kiện [ * ] ta có: m < 1

Vậy m < 1 thì phương trình đã cho vô nghiệm.

Như vậy, khi b = 2b' ta sử dụng công thức nghiệm thu gọn thì việc tính toán để giải phương trình cũng như các dạng toán liên quan sẽ đơn giản. Hy vọng bài viết này sẽ giúp các bạn dễ dàng giải các bài toán về phương trình bậc hai một ẩn. Chúc các bạn học tốt!

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang