Phương pháp so sánh 2 phân số Bồi dưỡng Toán 5
Dạng bài tập so sánh phân số là dạng toán thường thấy trong các bài toán nâng cao, xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi toán 5.
Để so sánh được 2 phân số bất kì các em cần phải ghi nhớ những kiến thức dưới đây:
Lý thuyết so sánh hai phân số:
Có cùng mẫu số: ta so sánh hai tử số, phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
Không cùng mẫu số: thì ta quy đồng mẫu số rồi so sánh hai tử số của các phân số đã quy đồng được.
Các phương pháp so sánh 2 phân số:
Nếu hai phân số có cùng tử số thì phân số nào có mẫu số lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn.
So sánh với 1.
So sánh phần bù với 1 của mỗi phân số:
+ Phần bù với đơn vị của phân số là hiệu giữa 1 và phân số đó.
+Trong hai phân số, phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn và ngược lại.
$ \displaystyle 1-\frac{a}{b}\frac{c}{d}$
Ví dụ: So sánh các phân số sau bằng cách thuận tiện nhất.
$ \displaystyle \frac{{2000}}{{2001}}$ và$ \displaystyle \frac{{2001}}{{2002}}$
Bước 1: [Tìm phần bù]
Ta có:
$ \displaystyle 1-\frac{{2000}}{{2001}}=\frac{1}{{2001}}$
$ \displaystyle 1-\frac{{2001}}{{2002}}=\frac{1}{{2002}}$
Bước 2: [So sánh phần bù với nhau, kết luận hai phân số cần so sánh]
Vì$ \displaystyle \frac{1}{{2001}}>\frac{1}{{2002}}$ nên$ \displaystyle \frac{{2000}}{{2001}}\frac{{2001}}{{2003}}$.
So sánh phần hơn với 1 của mỗi phân số:
+ Phần hơn với đơn vị của phân số là hiệu của phân số và 1.
+ Trong hai phân số, phân số nào có phần hơn lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
$ \displaystyle \frac{a}{b}-1\frac{{2002}}{{2001}}$
* Chú ý:
Đặt C = tử 1 mẫu 1
D = tử 2 mẫu 2
Cách so sánh phần hơn được dùng khi C = D. Nếu trong trường hợp C D ta có thể sử dụng tính chất cơ bản của phân số để biến đổi đưa về hai phân số mới có hiệu giữa tử số và mẫu số của hai phân số bằng nhau.
Ví dụ: So sánh hai phân số sau: $ \displaystyle \frac{{2001}}{{2000}}$và$ \displaystyle \frac{{2003}}{{2001}}$
Bước 1:
Ta có:$ \displaystyle \frac{{2001}}{{2000}}=\frac{{2001\times 2}}{{2000\times 2}}=\frac{{4002}}{{4000}}$
$ \displaystyle \frac{{4002}}{{4000}}-1=\frac{2}{{4000}}$
$ \displaystyle \frac{{2003}}{{2001}}-1=\frac{2}{{2001}}$
Bước 2: Vì $ \displaystyle \frac{2}{{4000}}\frac{4}{9}$
Ví dụ 2: So sánh $ \displaystyle \frac{{19}}{{60}}$và$ \displaystyle \frac{{31}}{{60}}$
Bước 1: Ta có:
$ \displaystyle \frac{{19}}{{60}}\frac{{30}}{{90}}=\frac{1}{3}$
Bước 2: Vì $ \displaystyle \frac{{19}}{{60}}\frac{{100}}{{101}}$
Ví dụ 4: So sánh hai phân số bằng cách nhanh nhất.
$ \displaystyle \frac{{40}}{{57}}$ và$ \displaystyle \frac{{41}}{{55}}$
Bài giải
+] Ta chọn phân số trung gian là:$ \displaystyle \frac{{40}}{{55}}$
+] Ta có:$ \displaystyle \frac{{40}}{{57}}2\frac{3}{{10}}$hay $ \displaystyle \frac{{41}}{{10}}>\frac{{23}}{{10}}$
* Chú ý: Khi mẫu số của hai phân số cùng chia hết cho một số tự nhiên ta có thể nhân cả hai phân số đó với số tự nhiên đó rồi đưa kết quả vừa tìm được về hỗn số rồi so sánh hai hỗn số đó với nhau.
Ví dụ: So sánh $ \displaystyle \frac{{47}}{{15}}$và $ \displaystyle \frac{{65}}{{21}}$.
+] Ta có:$ \displaystyle \frac{{47}}{{15}}\times 3=\frac{{47}}{5}=9\frac{2}{5}$
$ \displaystyle \frac{{65}}{{21}}\times 3=\frac{{65}}{7}=9\frac{2}{7}$
+] Vì $ \displaystyle \frac{2}{5}>\frac{2}{7}$nên $ \displaystyle 9\frac{2}{5}>9\frac{2}{7}$hay$ \displaystyle \frac{{47}}{{15}}>\frac{{65}}{{21}}$
Thực hiện phép chia hai phân số để so sánh
Khi chia phân số thứ nhất cho phân số thứ hai, nếu thương tìm đợc bằng 1 thì hai phân số đó bằng nhau; nếu thương tìm đợc lớn hơn 1 thì phân số thứ nhất lớn hơn phân số thứ hai; nếu thương tìm được nhỏ hơn 1 thì phân số thứ nhất nhỏ hơn phân số thứ hai.
Ví dụ: So sánh $ \displaystyle \frac{5}{9}$và$ \displaystyle \frac{7}{10}$
Ta có: $ \displaystyle \frac{5}{9}:\frac{7}{{10}}=\frac{{50}}{{63}}