Tên đề tài: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HOÁ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ.A. ĐẶT VẤN ĐỀ:Trong hoạt động dạy và học của nhà trường, quá trình tìm tòi đúc kết nâng tầmgiải toán theo hướng tổng quát, từ đó làm rõ nội dung những bài toán ở dạng đặc biệt,giúp cho việc dạy có định hướng cụ thể, lôgic, người học sẽ tiếp thu và có nhiều cơ hộisáng tạo, đó cũng là đổi mới phương pháp dạy học.Là giáo viên dạy nhiều năm ở bộ môn toán THPT, tôi đã gặp không ít những trắctrở trong việc giảng dạy ở nhiều bài toán giải phương trình, bất phương trình và hệphương trình vô tỉ. Vì mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải khác nhau, mỗi cách giảithể hiện được khái niệm toán học của nó. Trong các cách giải khác nhau đó, có cách giảithể hiện tính hợp lí trong dạy học, có cách giải thể hiện tính sáng tạo của toán học. Trongđề tài này tôi muốn hướng dẫn học sinh giải một số phương trình, bất phương trình và hệphương trình vô tỉ bằng “ con mắt” của lượng giác.Từ những bài toán không chứa những yếu tố lượng giác, bằng phép đổi biến tachuyển bài toán về lượng giác, cách giải như vậy gọi là phương pháp lượng giác hoá. Dođó, qua công tác giảng dạy, đúc kết những kinh nghiệm nhiều năm của bản thân và việchọc tập nghiên cứu khoa học, thử nghiệm trực tiếp nhiều năm của giảng dạy, tôi mạnhdạn trao đổi cùng đồng nghiệp kinh nghiệm của bản thân.B. CƠ SỞ LÍ LUẬN:Việc giảng dạy và ôn luyện giúp học sinh giải các bài toán liên quan đến lượnggiác hoá, đòi hỏi người giáo viên có phương pháp định hướng cơ bản dạng toán, sửdụng phương pháp nào là logic, biết phân biệt phương pháp nào ngộ nhận là logic. Vấnđề ở chỗ những bài toán nào thích hợp cho việc lượng giác hoá.Những kiến thức liên quan:1] Các hàm số cơ bản:*] Hàm số: xy sin=, xy cos=.• Miền xác định: R.• Miền giá trị: [ ]1;1−.• Chu kì: π2.*] Hàm số: xy tan=.• Miền xác định: ZkkxRx ∈+≠∈∀ ,2:ππ.• Miền giá trị: R.• Chu kì: π.*] Hàm số: xy cot=.• Miền xác định: ZkkxRx ∈≠∈∀ ,:π.• Miền giá trị: R.• Chu kì: π.2] Một số biểu thức lượng giác cơ bản về miền giái trị:1*] Nếu ]4sin[2]4cos[2cossinππ+=−=+= xxxxA thì ta có 22 ≤≤− A.*] Nếu ]4sin[2]4cos[2sincosππ−=+=−= xxxxBthì ta có 22 ≤≤− B.*] Nếu xxC cossinβα+= thì ta có 2222βαβα+≤≤+− C.*] Nếu xxDnnsincos += thì ta có 11 ≤≤− D.3] Phép đổi biến số:*] Nếu ]0[, >≤ kkx thì ta đặt [ ]παα;0,cos ∈= kx hoặc −∈=2;2,sinππααkx.*] Nếu Rx ∈ thì ta đặt −∈=2;2,tanππααx.*] Nếu yx, thoả mãn điều kiện ]0,,[,22222>=+ cbacybxa thì ta đặt αsinacx =,[ ]παα2;0,cos ∈=bcy.*] Nếu zyx ,, thoả mãn xyzzyx =++ hoặc 1=++ zxyzxy thì ta có thể đặt αtan=x,γβtan,tan == zy với −∈2;2,,ππγβα.[ ]−∈∈2;2;0ππαπα*] Một số biểu thức [dấu hiệu] thường gặp:Biểu thức Cách đặt Miền giá trị của biến22ax +αtanax =[hoặc αcotax =]−∈2;2ππα[hoặc [ ]πα;0∈]22xa −αsinax =[hoặc αcosax =]−∈2;2ππα[hoặc [ ]πα;0∈]22ax −αcosax = hoặc αsinaa =[ ]∈2\;0ππαhoặc { }0\2;2−∈ππαxaxa−+ hoặc xaxa+−α2cosax =R∈α]][[ xbax −−α2sin][ abax −+=R∈αxyyx−+1 hoặc xyyx+−1==βαtantanyx−∈2;2,ππβαC. CƠ SỞ THỰC TIỄN:2Trong trường THPT hiện nay có rất nhiều đối tượng học sinh, do đó công việcgiảng dạy sao cho đa số học sinh tiếp thu, hiểu và vận dụng giải toán không phải là côngviệc đơn giản của mỗi giáo viên.Để giảng dạy nâng cao kết quả học tập của học sinh, tôi đã thực hiện nhiều biệnpháp từ giáo dục, động viên giúp đỡ trong đó không thể thiếu phương pháp giảng dạykhoa học lôgic, tạo động lực để học sinh say mê, tìm tòi, nghiên cứu, trên cơ sở khoa họcmà người thầy đã gieo. Trong các biện pháp đó có một vấn đề liên quan đến đề tài mà tôiđang trình bày và đề tài có nhấn mạnh đến một số dạng tổng quát dành cho học sinh giỏi,nó không phải là để dạy ở một lớp có nhiều đối tượng học sinh. Tuỳ thuộc vào yêu cầurèn luyện, ôn tập cho học sinh mà người thầy linh hoạt giải quyết.Năm học 2009 – 2010 tôi được phân dạy môn toán lớp 10A1 [là lớp chọn theokhối A của nhà trường], lớp 10A2 và tôi đã theo dạy các em cho đến lớp 12.Kết quả kiểm tra 2 nhóm học sinh [có học lục từ TB khá trở lên] cuối năm lớp 10về chủ đề: Giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình vô tỉ thu được kết quảnhư sau:Nhóm Sĩ sốGiỏi Khá Trung bình YếuSL TL% SL TL% SL TL% SL TL%Nhóm1 20 2 10,0% 10 50,0% 7 35,0% 1 5,0%Nhóm 2 16 0 0,0% 8 50,0% 6 37,5% 2 12,5%D. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU:DẠNG 1: Trong bài có chứa biểu thức dạng 22xa −.Phương pháp: Ta đặt αsinax =, với−∈2;2ππα [hoặc αcosax =, với[ ]πα;0∈].Ví dụ 1: Giải phương trình: 23134 xxx −=−.Nhận xét: Trong phương trình có xuất hiện dấu hiệu 22xa −với 1=a.Giải:Điều kiện: 1012≤⇔≥− xx. [*]Với điều kiện [*] ta đặt [ ]παα;0,cos ∈=x. [**]Khi đó phương trình được chuyển về dạng:αααααααsin3cossin3coscos1cos3cos4[**]23=⇔=⇔−=−−=⇔απα2cos3cos===⇔===⇔+−=+=⇔++−=+−=43cos85cos8cos43858428223223[**]ππππαπαπαππαππαπαπαπαπαxxxkkkk.Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt 43cos,85cos,8cosπππ=== xxx..3Lưu ý: Ta cũng có thể đặt −∈=2;2,sinππααx.Ví dụ 2: Giải phương trình: ]121[1122xxx −+=−+.Nhận xét: Trong phương trình có xuất hiện dấu hiệu 22xa − với 1=a.Giải:Điều kiện: 1012≤⇔≥− xx. [*]Với điều kiện [*] ta đặt −∈=2;2,sinππααx. Khi đó phương trình được chuyển về dạng:]cos21[sincos1]sin121[sinsin1122αααααα+=+⇔−+=−+2cos23sin22cos22sinsin2cos2αααααα=⇔+=⇔==⇔==⇔==⇔=−⇔121262223sin02cos0]23sin21[2cos2xxπαπααααα.Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt ==121xx.Lưu ý: Ta cũng có thể đặt [ ]παα;0,cos ∈=x.Ví dụ 3: Giải bất phương trình: 1131122−−>−xxx.Giải:ĐK: 11012+−⇔⇔−−>−1cot2cot02cot3cot 1cos1cos3cos11222ttttttt−11012xxx. [*]6Với điều kiện [*] ta đặt [ ]∈=2\;0,cos1ππttx. Bất phương trình trở thành253sin1.coscoscos1>+tttt. [2]Xét hai trường hợp:TH1: ∈2;0πt.Phương trình [2] có dạng:ttttttcos.sin53]cos[sin2253sin1cos1>+⇔>+. [2’]Đặt [ ]21cos.sin]2;2[cossin2−=⇒−∈+=uttuttu.BPT [2’] trở thành: 5335 21.5322⇒−⇔⇔>+⇔>−−+π Từ [**] ta được: 1]42cos[224424≤−≤⇔≤−≤−ππππtt.Vậy để bất phương trình có nghiệm thì điều kiện là: 412++−.ĐS: 4